近世代數(shù)課件從“群”談起

1、從“群”談起8/19/20221一 、“群”的起源1、法國數(shù)學家，近代代數(shù)學的創(chuàng)始人-伽羅瓦 (E. Galois，1811-1832)方程的根式求解一元一次方程: 一元二次方程：一元三次方程：8/19/20222一元三次方程經過適當?shù)淖兞刻鎿Q后化為如下方程：三個根是:(意大利數(shù)學家卡爾達諾大術1545年)其中 是3次單位根，8/19/20223一元四次方程：移項：兩邊加上： 得： 令右邊的判別式為零，求得 y 的一個三次方程，求其根，代入上式，求得根 x . (卡爾達諾學生-費拉里發(fā)現(xiàn)，記載于大術中)8/19/20224一般一元n次方程是否有類似的根式解？高斯(Gauss C.F. 德國數(shù)學

2、家，1777-1855)于1799年哥丁根大學完成的博士論文證明了代數(shù)基本定理：每一個次數(shù)大于等于1的n次復系數(shù)多項式恰有n個根法國數(shù)學家：拉格朗日(1736-1813)(預解式)，德國數(shù)學家：高斯(分圓方程 )挪威數(shù)學家：阿貝爾(1802-1829)8/19/20225伽羅瓦的最主要功績：首先提出根的置換概念，每一個方程都可以與一個置換群聯(lián)系，從而用群論方法徹底解決的方程根式解問題，更重要的是，群論的引入，為現(xiàn)代代數(shù)學的發(fā)展奠定了基礎。方程與群的聯(lián)系：給定多項式 f(x), 伽羅瓦群 ,其元素是 的所有置換。稱為 f 的分裂域，8/19/202262、抽象群： 來源較多，難以準確說明，有克萊

3、因抽象群說，也有凱萊抽象群說等。8/19/20227二、群的其它應用1、化學分子對稱群（分子對稱群僅有32種）研究分子的對稱性加深人們對物質性質的認識氨分子：(1個氮原子N和3個氫原子H)AabcNHHH8/19/20228試比較分子結構圖與正四面體圖的對稱變換區(qū)別：1)、A為不動點 2)、a,b,c在一個平面上為正三角形，作它們的對稱變換 3)、習慣上記氨的分子對稱群記為 ，由6個元素組成。8/19/20229水分子對稱群：水分子OHH水分子對稱群習慣記為 ,由4個元素組成： 1)、恒等變換2)、過O的軸的旋轉180o 3)、分子所在平面HOH的反射4)、過O且垂直于H聯(lián)線的平面的反射。8/

4、19/2022102、晶體分類 各種晶體中原子排列模型表明，這是一個有一定規(guī)則的多面體，可以利用空間格點加以表述。例: 氯化納(NaCl)晶體原子排列模型：白：鈉原子氯：氯原子8/19/20221119世紀后半葉，科學家發(fā)現(xiàn)：1、晶體外形的全部對稱形式，稱為對稱點群，共32種。2、晶體內部構造一切可能的對稱形式，稱為空間群，230種。 晶體分類的數(shù)學理論是由俄國數(shù)學家E.C.費多羅夫應用群的結構理論于1891年創(chuàng)立。1912年德國物理學家馮.勞厄利用X射線的衍射實驗證實了晶體對稱群的存在性，為此，他獲得1914年度的諾貝爾物理獎。 隨后英國科學家布拉格父子利用勞厄方法和空間群的計算，給出了晶體

5、中原子的固有排列形狀，為此獲得1915年諾貝爾物理學獎。8/19/2022123、科學計算的重要方法例 設有一塊正六邊形的瓷磚，在六個頂點上分別染成三個白色和三個黑色，問有幾種瓷磚圖案？圖示如下：計算結果：4種8/19/202213它們是：8/19/202214如何計算？Burnside定理：設有限群G作用于有限集合M上，對G中每一個元素g，記g的不動元的集合為Fg, 則M在G作用下的軌道數(shù)是8/19/2022154、編碼理論編碼在數(shù)字通訊、計算機和數(shù)據(jù)處理等科學技術中有廣泛應用。信源編碼器信道譯碼器信宿干擾源8/19/202216將信源的信息轉化為數(shù)字信息傳送給收信者稱為數(shù)字通信.工程上最易

6、實現(xiàn)的是二元數(shù)字信息的傳送，二元數(shù)字信息就是有限長的二元n元數(shù)組(c1,cn ),其中每一個ciZ2.二元n元數(shù)組可以表達2n種不同的符號，因此英文字母、數(shù)字及有關號碼可用適當?shù)亩猲元數(shù)組表示之。為解決數(shù)字傳輸過程中可能出現(xiàn)的干擾，除采用各種技術處理外，常采用抗干擾編碼的方法。8/19/202217設Z2n是信息源的原始數(shù)字信息集合。取自然數(shù)mn, 作單射E: Z2n Z2m. ImE稱為碼，ImE中元素稱為碼字，m 稱為碼長，碼字的分量稱為碼元。顯然 Z2m 是域Z2上的向量空間，如果ImE是Z2m的子空間, 稱ImE是二元線性碼，由于(Z2m,+)的子群與子空間一致，因此二元線性碼也稱為

7、群碼。特別地，當對某些特殊的編碼函數(shù)E : Z2n Z2m,可以使E成為群同態(tài)。比如，E : Z2n Z2m使E(X)=XG, 其中G是一個nm矩陣。數(shù)字通信 群的問題8/19/202218三、高中數(shù)學新課程“對稱與群”選修課雜談 1、起點：初中畢業(yè) 2、開課學期：高中階段的任意一個學期3、共計18學時 4、教學目的： (1) 學會用數(shù)學思想觀察世界，落實到這一專題，應使學生了解群是研究和觀察對稱現(xiàn)象的一種數(shù)學方法。并能夠應用群的方法對平面上基本圖形的對稱性進行觀察。8/19/202219(2) 掌握軸對稱，中心對稱的變換形式以及正確的表達方法(反射與旋轉)(3) 掌握置換群的運算，特別是為什

8、么這些運算有別于數(shù)的運算。(4) 了解一些數(shù)學史，特別是近代代數(shù)學是如何發(fā)展起來的。8/19/202220 5、難點：置換表達(2) 置換運算(合成)8/19/202221(1) 觀察各種對稱現(xiàn)象，引導對稱性的正確表述，如軸對稱，中心對稱等。利用距離進行一些必要的計算以加深對稱的理解。6、 18學時安排參考：(2) 熟悉平面基本圖形：等邊三角形，正方形，正五邊形等的對稱軸，對稱中心。并學會如何用符號標記它們，特別是對稱軸過頂點時，應如何標記才是正確。如： abcdl對稱軸l用ab表示有什么問題？8/19/202222(3) 平面剛體運動，利用平面剛體運動重新認識軸對稱與中心對稱。(4) 平面剛

9、體運動的基本性質：直線變直線，線段變線段，射線變射線。如何理解平面剛體運動將平面上任意正n邊形仍然變?yōu)樾螤詈痛笮”３植蛔兊恼齨邊形。(5) 有不動點的平面剛體運動-僅一點不動的為旋轉，僅一直線不動的為反射。(6) 平面圖形K的對稱變換，找出等邊三角形，正方形，正五邊形等基本圖形的對稱變換。8/19/202223(7) 對稱變換的運算-合成(8) 進一步熟悉變換合成：變換表示，恒等變換，逆變換。 (9) 合成的結合律，但一般情況下，沒有交換律，用集合形式表達圖形K上的所有對稱變換，并引入乘法表。(10) 寫出平面上常見圖形的對稱群，以及乘法表。寫出某些化學分子對稱群。(11) n個文字上的一一對應表達方式，結合前面平面圖形進行教學。8/19/202224(12) 置換合成運算，寫出用置換表達的平面圖形K上對稱群的乘法表。(13) n個文字對稱群