人教版高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)-高考中的概率與統(tǒng)計(jì)

1、規(guī)范答題增分專項(xiàng)六高考中的概率與統(tǒng)計(jì)2022高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI題型一一元線性回歸模型的應(yīng)用例1糖畫(huà)是一種以糖為材料進(jìn)行造型的民間藝術(shù),常見(jiàn)于公園與旅游景點(diǎn).某師傅制作了一種新造型糖畫(huà),為了進(jìn)行合理定價(jià),先進(jìn)行試銷(xiāo)售,其單價(jià)x(單位:元)與銷(xiāo)售量y(單位:個(gè))的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:(1)已知銷(xiāo)售量y與單價(jià)x具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)若該新造型糖畫(huà)每個(gè)的成本為7.7元,為使得進(jìn)入售賣(mài)時(shí)利潤(rùn)最大,請(qǐng)利用所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程確定單價(jià)應(yīng)該定為多少元?(結(jié)果保留整數(shù))參考公式:經(jīng)驗(yàn)回歸直線 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公

2、式分別為對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1為改善人們的居住環(huán)境,某區(qū)增加了對(duì)環(huán)境綜合治理的資金投入.已知今年治理環(huán)境x(單位:畝)與資金投入y(單位:萬(wàn)元)的四組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示,用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 . (注:“畝”為非國(guó)際通用單位)(1)求 的值,并預(yù)測(cè)今年治理環(huán)境10畝所需投入的資金為多少萬(wàn)元;(2)已知該區(qū)去年治理環(huán)境10畝所投入的資金為3.5萬(wàn)元,根據(jù)(1)的結(jié)論,請(qǐng)你對(duì)該區(qū)環(huán)境治理給出一條簡(jiǎn)短的評(píng)價(jià).(2)由(1)知預(yù)測(cè)今年治理環(huán)境10畝所需投入的資金為7.35萬(wàn)元,而該區(qū)去年治理環(huán)境10畝所投入的資金為3.5萬(wàn)元,今年比去年的資金投入將增加一倍以上,說(shuō)明該區(qū)加大了改善人們居住

3、環(huán)境的力度,值得贊揚(yáng).題型二獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率的綜合有關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)的問(wèn)題的解題步驟:(1)提出零假設(shè)H0;(2)作出22列聯(lián)表;(3)計(jì)算隨機(jī)變量2的值;(4)查臨界值,檢驗(yàn)作答.有關(guān)概率問(wèn)題的求解關(guān)鍵是判斷概率模型.例2某企業(yè)為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取100件產(chǎn)品作為樣本,稱出它們的質(zhì)量(單位:mg),質(zhì)量值落在區(qū)間(175,225上的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.甲流水線樣本的頻數(shù)分布表如表所示,乙流水線樣本的頻率分布直方圖如圖所示.(1)根據(jù)乙流水線樣本的頻率分布直方圖,求乙流水線樣本質(zhì)量的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));(2)從甲流水線樣本質(zhì)量在區(qū)間(16

4、5,185的產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品,求這2件產(chǎn)品中恰有1件合格品的概率;(3)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面22列聯(lián)表,依據(jù)小概率值=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否推斷產(chǎn)品的合格與兩條自動(dòng)流水線的選擇有關(guān)?解:(1)由頻率分布直方圖可知前三組的頻率之和為10(0.002+0.009+0.020)=0.310.5,故中位數(shù)在第四組,設(shè)為x.由(x-195)0.034+0.31=0.5,解得x201.故乙流水線樣本質(zhì)量的中位數(shù)為201 mg.(2)由頻數(shù)分布表可知甲流水線樣本質(zhì)量在區(qū)間(165,185的產(chǎn)品共有5件,其中合格品有2件,(3)由已知得甲流水線樣本中合格品有100-3-5=92(件),乙流水線樣本中合格

5、品有100(1-0.002210)=96(件).故22列聯(lián)表如下:零假設(shè)為H0:產(chǎn)品的合格與兩條自動(dòng)流水線的選擇無(wú)關(guān).由22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得根據(jù)小概率值=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認(rèn)為H0成立,即認(rèn)為產(chǎn)品的合格與兩條自動(dòng)流水線的選擇無(wú)關(guān).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2某海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”,估計(jì)A的概率;(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)

6、表,并根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),依據(jù)小概率值=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析箱產(chǎn)量是否與養(yǎng)殖方法有關(guān);(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01).附:解 (1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,故P(B)的估計(jì)值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66.故P(C)的估

7、計(jì)值為0.66.因此,事件A的概率估計(jì)值為0.620.66=0.409 2.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 (3)在新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為題型三概率分布列及其均值、方差突破策略一用字母表示事件法處理獨(dú)立事件、互斥事件的概率分布列、均值問(wèn)題使用簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述解答過(guò)程是解答這類問(wèn)題并得分的根本保證.引進(jìn)字母表示事件可使得事件的描述簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確,使得問(wèn)題描述有條理,既不遺漏,也不重復(fù).例3在某電視臺(tái)娛樂(lè)節(jié)目的一期比賽中,有6名歌手(1至6號(hào))登

8、臺(tái)演出,由現(xiàn)場(chǎng)的百家大眾媒體投票選出最受歡迎的歌手,各家媒體獨(dú)立地在投票器上選出3名出彩候選人,其中媒體甲是1號(hào)歌手的歌迷,他必選1號(hào),另在2號(hào)至6號(hào)中隨機(jī)選出2名;媒體乙不欣賞2號(hào)歌手,他必不選2號(hào);媒體丙對(duì)6名歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài),因此在1至6號(hào)歌手中隨機(jī)地選出3名.(1)求媒體甲選中3號(hào)且媒體乙未選中3號(hào)歌手的概率;(2)X表示3號(hào)歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及均值.解:設(shè)事件A表示“媒體甲選中3號(hào)歌手”,事件B表示“媒體乙選中3號(hào)歌手”,事件C表示“媒體丙選中3號(hào)歌手”.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 某電視臺(tái)推出一檔游戲類綜藝節(jié)目,選手面對(duì)15號(hào)五扇大門(mén),依次按響門(mén)上的門(mén)鈴,門(mén)鈴會(huì)播放一

9、段音樂(lè),選手需正確回答這首歌的名字,回答正確,大門(mén)打開(kāi),并獲得相應(yīng)的夢(mèng)想基金,正確回答每一扇門(mén)后,選手可自由選擇帶著目前獎(jiǎng)金離開(kāi),還是繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門(mén)以獲得更多的夢(mèng)想基金,但是一旦回答錯(cuò)誤,游戲結(jié)束并將之前獲得的所有夢(mèng)想基金清零;在整個(gè)游戲過(guò)程中,選手有一次求助機(jī)會(huì),選手可以詢問(wèn)親友團(tuán)成員以獲得正確答案.(1)求該選手在第3號(hào)門(mén)使用求助且最終獲得12 000元夢(mèng)想基金的概率;(2)若該選手在整個(gè)游戲過(guò)程中不使用求助,且獲得的夢(mèng)想基金數(shù)額為X,求X的分布列和均值.解 (1)記“選手能正確回答第i號(hào)門(mén)歌曲名字”為事件Ai(i=1,2,5),“親友團(tuán)能正確回答歌曲名字”為事件B,“回答正確后選擇繼續(xù)

10、挑戰(zhàn)”為事件C,突破策略二在條件概率與分布列的綜合問(wèn)題中要理清P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系1.發(fā)生時(shí)間不同:在P(A|B)中,事件A,B的發(fā)生有時(shí)間上的差異,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同時(shí)發(fā)生.2.樣本空間不同:在P(A|B)中,事件B成為樣本空間;在P(AB)中,樣本空間仍為總的樣本空間,因而有P(A|B)P(AB).例4一個(gè)暗箱中放有除顏色外完全相同的6個(gè)黑球和4個(gè)白球.(1)不放回地依次取出3個(gè)球,若第1次取出的是白球,求第3次取出黑球的概率;(2)有放回地依次取出3個(gè)球,若第1次取出的是白球,求第3次取出黑球的概率;(3)有放回地依次取出3個(gè)球,求取出白球個(gè)數(shù)X的分布

11、列和期望.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4 (1)求隨機(jī)變量X的分布列及其均值;(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下,甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率.題型四二項(xiàng)分布、超幾何分布的應(yīng)用解決二項(xiàng)分布、超幾何分布問(wèn)題,要先判斷隨機(jī)變量服從哪種分布,再利用相關(guān)公式解決問(wèn)題.例5隨著馬拉松運(yùn)動(dòng)在全國(guó)各地逐漸興起,參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加.為此,某市對(duì)參加馬拉松運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查,其中一項(xiàng)是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取100人,對(duì)其平均每月參與馬拉松運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到以下統(tǒng)計(jì)表:(1)以這100人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于各段的頻率代替該市參與馬拉松訓(xùn)練的人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于該段的概率,

12、從該市所有參與馬拉松訓(xùn)練的人中隨機(jī)抽取4人,求恰好有2人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20的概率;(2)依據(jù)統(tǒng)計(jì)表,用分層隨機(jī)抽樣的方法,從這100人中抽取20人,再?gòu)某槿〉?0人中隨機(jī)抽取4人,Y表示抽取的4人中平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20的人數(shù),求Y的分布列及均值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)

13、抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與均值.題型五樣本的數(shù)字特征與正態(tài)分布的綜合解決與正態(tài)分布有關(guān)的問(wèn)題,理解,2的意義,記清正態(tài)分布的密度曲線f(x)是一條關(guān)于直線x=對(duì)稱的鐘形曲線,利用圖象的對(duì)稱性解決問(wèn)題.例6從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量

14、指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù) ,2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布,求P(187.8Z212.2);某用戶從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用的結(jié)果,求E(X).解:(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2分別為 =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+220 0.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+202 0.08+3020.02=150.

15、(2)由(1)知,ZN(200,150),從而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)0.682 7.由知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 7,依題意知XB(100,0.682 7),所以E(X)=1000.682 7=68.27.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6為了解大學(xué)生每年旅游消費(fèi)支出(單位:百元)的情況,隨機(jī)抽取了某大學(xué)的2 000名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出X服從正態(tài)分布N(51,152),若該所大學(xué)共有學(xué)生45 000人,試估計(jì)有多少名同學(xué)的旅游費(fèi)用支出在8 100元以上;(2)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在90,100)范圍內(nèi)的9名學(xué)生中有5名男生、