關(guān)于“拿破侖三角形”的探究

1、關(guān)于拿破侖三角形的探究當(dāng)涂縣第四屆自然科學(xué)優(yōu)秀學(xué)術(shù)論文評(píng)選PAGE 6數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)PAGE 5數(shù)學(xué)探索關(guān)于“拿破侖三角形”的探究太白初中 魏兆飛【簡(jiǎn)歷】魏兆飛，男，生于1965年10月。中共黨員，中學(xué)高級(jí)教師。1987年畢業(yè)于徽州師專生物專業(yè)，后在蕪湖師專進(jìn)修數(shù)學(xué)教育專業(yè)，2003年獲得雙?？茖W(xué)歷。現(xiàn)任教于當(dāng)涂縣太白初中。工作以來，擔(dān)任班主任工作十三年、數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)十九年。多次被評(píng)為太白鎮(zhèn)先進(jìn)教師。1989年被評(píng)為縣先進(jìn)教育工作者，2007年被評(píng)為市級(jí)優(yōu)秀班主任，2008年榮獲縣級(jí)教學(xué)能手稱號(hào)。2009年擔(dān)任市級(jí)初中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入策略的案例研究課題組組長(zhǎng)，于2012年課題順利結(jié)題。教研成果豐碩。 2

2、010年初中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入策略的案例研究初探論文獲市級(jí)二等獎(jiǎng)；2011年市級(jí)課件大賽多彩的幾何圖形獲一等獎(jiǎng)；2012年市級(jí)課件大賽函數(shù)、幾何動(dòng)態(tài)問題探究獲一等獎(jiǎng)；2013年市級(jí)課件大賽二次函數(shù)與反比例函數(shù)動(dòng)態(tài)探究獲一等獎(jiǎng)，2013年中考所任數(shù)學(xué)學(xué)科位居全縣均分第一、及格率第一、優(yōu)秀率第二的優(yōu)異成績(jī)；2014年當(dāng)涂縣第四屆自然科學(xué)優(yōu)秀學(xué)術(shù)論文評(píng)比關(guān)于“拿破侖三角形”的探究獲三等獎(jiǎng)?！菊繑?shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。本文對(duì)古老命題：“拿破侖三角形”進(jìn)行了深入的探究，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)其中存在“三線共點(diǎn)、三圓共點(diǎn)、費(fèi)瑪點(diǎn)”等相關(guān)知識(shí)。以“

3、關(guān)聯(lián)相似”為前提，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)拿破侖三角形定理進(jìn)行猜想、推廣與證明；以三角形三邊，在三角形的外側(cè)（或內(nèi)側(cè)）作三個(gè)“同向相似”的三角形，研究它們其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與所作 “同向相似”三角形之間的聯(lián)系，進(jìn)而將拿破侖三角形定理加以推廣，并以其證明了一道國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，培養(yǎng)了學(xué)生的想象能力、創(chuàng)新能力與數(shù)學(xué)探索精神。【關(guān)鍵詞】拿破侖三角形；三線共點(diǎn)；三圓共點(diǎn)；費(fèi)瑪點(diǎn)；“關(guān)聯(lián)相似”。一、問題的提出問題還是從一堂數(shù)學(xué)活動(dòng)課說起。我在給學(xué)生介紹一些古老的幾何命題時(shí)，講到了法國(guó)政治家、軍事家拿破侖（NapoLeon），他崇尚幾何，曾經(jīng)研究過一道命題：任意三角形，由它的三邊分別向外側(cè)作正三角形，那么這三

4、個(gè)正三角形的中心也構(gòu)成一個(gè)正三角形。圖1人們把這個(gè)由中心構(gòu)成的正三角形稱“拿破侖三角形”，這一命題被稱為拿破侖三角形定理。問題一經(jīng)提出，學(xué)生們?nèi)褙炞⑵饋??！灸闷苼觯∟apoLeon）三角形定理】如圖1。已知：任意ABC，由它的三邊分別向它的形外（或形內(nèi)）作正PBA、正BQC、正ACR，則它們的中心O1、O2、O3組成的O1O2O3也是一個(gè)正三角形（O1O2O3稱為拿破侖三角形）。學(xué)生們被它的美妙而為之震撼！【分析】在這里，我們需要作三個(gè)正三角形的外接圓。設(shè)：PBA與ACR相交于點(diǎn)M，連結(jié)MB、MC分別交O1O2、O2O3于點(diǎn)D、點(diǎn)E。由于P、R都是60，于是得到BMA與CMA都是120，這樣

5、BMC也是120。BMCQ=180。故而，四點(diǎn)B、Q、C、M四點(diǎn)共圓。也就是說：O1、O2、O3三圓共點(diǎn)。到了這里，由于BM、CM分別是它們的公共弦，根據(jù)連心線垂直平分公共弦，MDO2與MEO2都是直角，于是在四邊形MDO2E中，O2=60。同理可證O1=60，O3=60。這樣，我們證明了拿破侖三角形定理。同學(xué)們臉上都露出了滿意的笑容。推廣與特例：如圖2。任意ABC，由它的三邊分別向它的形內(nèi)作正PBA、正BQC、正ACR，則O1O2O3也是一個(gè)正三角形(證明略)。 如圖3。當(dāng)ABC的頂點(diǎn)A落在邊BC時(shí)，正PBA、正BQC、正ACR，它們的中心O1、O2、O3組成的O1O2O3是正三角形。如圖4

6、。如果O1、O2、O3是AB、QC、RC中點(diǎn)時(shí)，O1O2O3也是正三角形。圖2圖3圖4二、拿破侖三角形與費(fèi)瑪點(diǎn)我便總結(jié)：此問題中，存在一個(gè)“三圓共點(diǎn)”，話音未落，學(xué)生許小青同學(xué)說道：有三圓共點(diǎn)，那么其中有沒有三線共點(diǎn)呢？他的提問，讓同學(xué)們又思索起來。同學(xué)們紛紛議論起來，谷軍同學(xué)首先觀察到：PC、QA、RB似乎三線共點(diǎn)呢？我就順?biāo)浦鄣溃簣D6圖5對(duì)！善于觀察是科學(xué)研究的第一步，在觀察的基礎(chǔ)上提出猜想，再加以證明。有嗎？我們?cè)賮砉餐芯恳幌逻@個(gè)問題，如圖5。分別連結(jié)MA、MP、MB、MQ、MC、MR。我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)證明了“三圓共點(diǎn)”，由圓周角定理可得：RMC=RAC=60，而BMC=120，于是，

7、BMCRMC=180，B、M、R三點(diǎn)共線，同理可證：P、M、C；A、M、Q也三點(diǎn)共線。到了這里，同學(xué)們都異口同聲的說：PC、QA、RB三線共點(diǎn)。我總結(jié)道：拿破侖三角形圖中，“有三圓共點(diǎn)，也有三線共點(diǎn)”，這正是數(shù)學(xué)美的體現(xiàn)。我又追問：這個(gè)M點(diǎn)，還有什么特殊的性質(zhì)嗎？唐志強(qiáng)同學(xué)答道：點(diǎn)M對(duì)AB、BC、CA的張角都是120。對(duì)了！這個(gè)點(diǎn)是一個(gè)著名的點(diǎn)，它是“費(fèi)瑪點(diǎn)”。是用法國(guó)的一位數(shù)學(xué)家費(fèi)瑪?shù)拿謥砻摹W(xué)生們睜大了眼睛，在安靜的思考著、等待著我對(duì)費(fèi)瑪點(diǎn)的推演。對(duì)于這一問題的分析要分三種情況：如圖6。三角形中（每個(gè)角都小于120）存在一個(gè)點(diǎn)對(duì)三邊的“張角”都是120，這個(gè)點(diǎn)就是費(fèi)瑪點(diǎn)。它到三角形的

8、三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小。太美妙了，學(xué)生們不停地問。關(guān)于它的證明，要用到我們幾何中的“構(gòu)造”或“旋轉(zhuǎn)”。如果ABC內(nèi)存在一點(diǎn)F，它對(duì)邊AB、BC、CA的張角都等于120，即：AFB、BFC、CFA都是120，那么就有：F點(diǎn)是費(fèi)瑪點(diǎn)。它到ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和（FAFBFC）最小。過A、B、C分別作FA、FB、FC的垂線相交構(gòu)成ABC的外接正A1A2A3，顯然，A1A2A3是一個(gè)正三角形，大家知道，正三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)到三角形三邊的距離之和是一個(gè)定值，等于此正三角形的高H（設(shè)A1A2A3高為H）。于是：在A1A2A3內(nèi)任取一點(diǎn)F1，那么它到A1A2A3三邊的距離之和也等于正A1A2A3的高H。F

9、1AF1G，F(xiàn)1BF1E，F(xiàn)1CF1D，F(xiàn)1AF1BF1CF1GF1EF1D。F1GF1EF1D=H，F(xiàn)1AF1BF1CFAFBFC。這樣我們也就證明了費(fèi)瑪點(diǎn)的最短性質(zhì)。如圖7。如果當(dāng)ABC中，有一個(gè)角等于120時(shí)，如何證明呢？我們一道來研究一下，采取旋轉(zhuǎn)的辦法來解決。 在ABC中，若A=120，那么費(fèi)瑪點(diǎn)存在嗎？我們不妨在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)Q，那么它到ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和QAQBQC。大家可以采取旋轉(zhuǎn)的辦法。將AQC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到ADE的位置，圖7此時(shí)ADQ變成了一個(gè)正三角形，QAQBQC就成了BQQDDE。由于旋轉(zhuǎn)角是60，因而CAE=60。BACCAE=180。B、A、E三點(diǎn)共線。根

10、據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊。可以得出：QAQBQC=BQQDDEBE（即ABAC）。就是說：A點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最短。A點(diǎn)就是費(fèi)瑪點(diǎn)。當(dāng)然也可以用上述方法構(gòu)造外接正三角形來解決，同樣精彩。如圖8。如果A120，運(yùn)用上述方法。 將AQC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，圖8由于BAC120，CAE=60，BACCAE180。這樣：BAE是內(nèi)折線，而BQDE是外折線， 后者包圍著前者。多次運(yùn)用三角形兩邊之和大于第三邊。即可完成QAQBQC=BQQDDEABAE（即ABAC）。A點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小，A點(diǎn)就是費(fèi)瑪點(diǎn)（也可用三角函數(shù)證明）?？偨Y(jié)：當(dāng)三角形各角均小于120時(shí)，在三角形內(nèi)部，存一點(diǎn)與三邊

11、的張角均為120，這一點(diǎn)就是費(fèi)瑪點(diǎn)；當(dāng)三角形有一個(gè)角大于或等于120時(shí)，這個(gè)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)瑪點(diǎn)。費(fèi)瑪點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最短。由此，我們可以通過“拿破侖三角形圖”來確定三角形的“費(fèi)瑪點(diǎn)”。三、關(guān)聯(lián)相似定理下面分析、證明推廣。先介紹一個(gè)相似預(yù)備定理。圖9【關(guān)聯(lián)相似定理】如圖9。若ABCADE，那么ABDACE，反之也能成立，這一結(jié)論姑且稱為“關(guān)聯(lián)相似定理”。即: ABCADE ABDACE?！痉治觥緼BCADE， EQ f(AB,AD) = EQ f(AC,AE)，BAC=DAE。BAD=CAE。ABDACE。反之也成立。它有著廣泛的應(yīng)用，下面就用關(guān)聯(lián)相似定理來解決“拿破侖三角形定理”的

12、推廣。四、拿破侖三角形定理的推廣【拿破侖三角形定理的推廣】如圖10。以任意ABC的三邊，向形外（或形內(nèi)）作三個(gè)同向相似的三角形，即：PBABQCACR，存在對(duì)應(yīng)點(diǎn)O1、O2、O3。滿足：PO1ABO2CAO3R；PO1BBO2QAO3C；AO1BCO2QRO3C。那么：圖10O1O2O3PBA?！痉治觥筷P(guān)鍵一步是“構(gòu)造MO2CABC”，在ABC內(nèi)部取一點(diǎn)M，構(gòu)造MO2CABC。于是由“關(guān)聯(lián)相似定理”得到：BO2CAMC，而BO2CAO3R（條件），AMCAO3R。這樣再由關(guān)聯(lián)相似定理得到：AMO3ACRPBA。于是，我們只需要證明AMO3O1O2O3。如果有AMO3O1O2O3。那么根據(jù)關(guān)聯(lián)相

13、似定理，O3AO1O3MO2。這樣，我們只需設(shè)法證明O3AO1O3MO2成立即可。【簡(jiǎn)證】AO1BCO2Q， EQ f(O1A,AB) = EQ f(O2C,QC) ，MO2CABC， EQ f(AB,O2M) = EQ f(BC,O2C) 。與這兩個(gè)比例式兩邊分別相乘得到： EQ f(O1A,O2M) = EQ f(BC,QC) 。BQCACR，AMO3ACR， EQ f(BC,QC) = EQ f(AR,RC) = EQ f(O3A,O3M) 。 EQ f(O1A,O2M) = EQ f(O3A,O3M) 。下面來證明：O1AO3=O2MO3。BO2CAMC， BO2C=AMC。BO2C=

14、O2BQO2CQBQC，AMC=AMO3O3MC，而AMO3ACR，AMO3=ACR=BQC，BO2CAMC，AMC=BO2C。O2BQO2CQ=O3MC。O2BQO2CQ=O3ACO1AB。（已知的相似條件，O2BQ=O3AC，O2CQ=O1AB）。O3MC=O3ACO1AB。 又MO2CABC， BAC=O2MC。O1AO3=O3ACO1ABBAC=O3MCO2MC=O2MO3。O1AO3=O2MO3。由兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，O3AO1O3MO2。由關(guān)聯(lián)相似定理，可得：O1O2O3AMO3。AMO3ACR， O1O2O3ACRPCR。這就是說：任意三角形三邊向形外作三個(gè)

15、同向相似的三角形，它們的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”構(gòu)成的三角形與所作的同向相似三角形也相似。如圖11。若向ABC形內(nèi)作三個(gè)同向相似的三角形，結(jié)論仍然成立(證明略)。特例：如圖12。當(dāng)O1、O2、O3分別是PBA、BQC、ACR是三個(gè)等腰直角三角形的外心時(shí)。O1O2O3是等腰直角三角形；圖11圖12圖13如圖13。當(dāng)ABC的頂點(diǎn)A落在邊BC時(shí)，O1O2O3是等腰直角三角形。五、拿破侖三角形定理推廣的應(yīng)用下面運(yùn)用拿破侖三角形定理推廣，我們來解決第十七屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽第3題。題目：如圖14。任意三角形ABC的邊上，向外作ABR、BCP、CAQ，使CBP=CAQ=45，BCP=ACQ=30，ABR=BAR=15

16、。證明：QRP=90；QR=RP?！竞?jiǎn)證】這個(gè)問題，如果采取“補(bǔ)形法”就能變成 “拿破侖三角形定理”的圖。在ABC的形外構(gòu)造三個(gè)等腰直角三角形，使得DAC=AEB=CBF=90。由題設(shè)，易得：圖14QDA=RAE=PCB=30；QAD=REA=PBC=45；CDQ=BAR=FCP=15；QCA=RBE=PFB=30。易證：Q、R、P這三個(gè)點(diǎn)是這三個(gè)同向等腰直角三角形的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，滿足拿破侖定理推廣的條件。所以：QRP與DAC（AEB，CBF）同向相似。 QRP=90；QR=RP。就本題只要滿足拿破侖定理推廣的條件，改變已知條件中的角度大小，即改變了對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q、R、P的位置，仍有QRP=90；QR=RP。這道競(jìng)賽題實(shí)際上是拿破侖定理推廣的一個(gè)特例。這道競(jìng)賽題本身還有許多種證法，在這里就不在贅述了。六、拿破侖三角形定理推廣的猜想至此，拿破侖三角形定理的推廣證明總算完