如何添輔助線解幾何題

1、如何添輔助線解幾何題論文導(dǎo)讀：幾何證明題中的證明思路靈活多變。尤其是對(duì)如果需要添置輔助線才能證明或解答出結(jié)論的題目。我認(rèn)為添輔助線應(yīng)遵循以下三個(gè)原那么。關(guān)鍵詞：幾何證明，輔助線，原那么1、添輔助線的目的幾何證明題中的證明思路靈活多變，尤其是對(duì)如果需要添置輔助線才能證明或解答出結(jié)論的題目，學(xué)生往往就感到束手無策了，這類考查學(xué)生解決問題能力的題目，需要在認(rèn)真審題，分析題目的根底上，在適當(dāng)位置上添輔助線以輔助證明，才能找到解決問題的方法。輔助線是什么呢？輔助線是為了幾何命題證明的需要，在原圖上添畫的線，是將條件和未知條件緊密聯(lián)系在一起，為實(shí)現(xiàn)解題思路而架設(shè)的橋梁。輔助線在幾何證題中起著橋梁作用和化難

2、為易的作用，它是幾何證題中強(qiáng)有力的工具。那么應(yīng)如何添輔助線呢？有無規(guī)律可循呢？輔助線沒有一個(gè)固定的模式可循，是一種難度很大也饒有興趣的技巧，非經(jīng)過長期的磨練不可，不適當(dāng)?shù)妮o助線非但無助于解題思路的發(fā)現(xiàn)和展開，反而使圖形更加凌亂，使問題更加復(fù)雜，因此要靠自己多實(shí)踐，從中摸出一些可行的規(guī)律，做到有目的的添加輔助線。我認(rèn)為添輔助線應(yīng)遵循以下三個(gè)原那么。2、添輔助線的三個(gè)原那么原那么2.1、釋放條件內(nèi)涵在幾何證明中綜合法是經(jīng)常用到的，即從條件出發(fā)，根據(jù)的公理、定理等，逐步推理到達(dá)證出結(jié)論成立的目的，也就是由因?qū)Ч?，?dāng)題目較復(fù)雜時(shí)，用綜合法，深挖中的隱含條件，力求掌握的全部內(nèi)涵，用來加深推理，朝結(jié)論方向

3、前進(jìn)。這時(shí)從釋放條件內(nèi)涵的目的出發(fā)，適當(dāng)添加輔助線將中的隱含條件充分顯示出來，從而擴(kuò)大條件，以便取得有關(guān)過渡性的結(jié)論，到達(dá)推導(dǎo)出結(jié)論的目的。根據(jù)條件添加輔助線一般有以下規(guī)律：如遇條件中有高，角平分線那么可用翻折造全等;來作輔助線；如遇條件中有中點(diǎn)、中線那么可用中點(diǎn)配中點(diǎn)，連成中位線;，延長中線成倍長，造成全等三角形或平行四邊形;來作輔助線。 例1：在中，AD是的角平分線。 求證：分析：要證，直接從條件進(jìn)行推導(dǎo)是行不通的，那么就需要添輔助線，因此從釋放條件內(nèi)涵出發(fā)，盡量尋找新的條件，條件中AD是的角平分線，那么可用翻折造全等;作輔助線，可以把AD看成對(duì)稱軸，把繞AD翻轉(zhuǎn)，得，有，這樣就將BD轉(zhuǎn)移

4、到DC所在的中，此時(shí)只需比擬即可，又因?yàn)槟敲?，所以，即。證明略。如遇條件中有中點(diǎn)、中線那么所用規(guī)律與三角形相同；假設(shè)為梯形那么可以平移一腰，延長兩腰，從小底的兩端向大底引垂線，作中位線；假設(shè)為四邊形可平移對(duì)角線；平行四邊形的輔助線添加法類似于梯形。例2：在梯形ABCD中，/BC，。求證：AB=DC。分析：要證AB=DC，只有根據(jù)條件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線把和結(jié)論聯(lián)系起來，才能找到解題思路；由于四邊形ABCD是梯形，所以可按規(guī)律平移一腰，將DC平移至AE，這樣就把AB，DC放在了同一個(gè)三角形中，即，于是只需證AB=AE，又因?yàn)?，從而，所以AB=AE。證明略。如遇條件中有切線，那么作弦切角；兩圓相交作

5、公共弦或連心線；兩圓相切或相離作內(nèi)外公切線或連心線；如遇弧，那么弧上的弦是輔助線；如遇弦，弦心距為輔助線；條件是圓的直徑或半徑，那么經(jīng)過直徑或半徑端點(diǎn)的切線為輔助線。例3：和相交于P，Q兩點(diǎn)，AB是外公切線，A，B都是切點(diǎn)。論文發(fā)表。求證：分析：要證，根據(jù)圖形的特點(diǎn)可以通過添輔助線把和三角形的內(nèi)角和聯(lián)系起來，由于條件中有和相交，所以按規(guī)律作公共弦或連心線，假設(shè)作連心線并不能到達(dá)目的，于是作公共弦，連接PQ，這樣就可以把和的內(nèi)角和聯(lián)系起來；由AB是兩圓的外公切線，可知，；又因?yàn)?，那么，即。證明略。原那么2.2構(gòu)造所需圖形證明幾何題的另一種方法是分析法,即由所需證明的結(jié)論向條件追溯逐步到達(dá)條件為止

6、,也就是執(zhí)果索因,在分析過程中,圖形之間的關(guān)系不斷發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí),當(dāng)推理到達(dá)某一層次,所需的圖形關(guān)系難以實(shí)現(xiàn)時(shí),可設(shè)想或預(yù)見到要構(gòu)造某種圖形,借以把推理繼續(xù)下去,這就需要為出現(xiàn)這種圖形而添加輔助線。如何構(gòu)造圖形呢？一般可以概括為以下三種情況。例4：在中，AB=AC，BD是中線，AEBD于F交BC于E。求證：。分析：證兩個(gè)角相等，直接推導(dǎo)角之間的關(guān)系是行不通的，可借助全等三角形，但圖形并沒有全等三角形，因此要添加輔助線來構(gòu)造，作的平分線AG交BD于G，這樣就構(gòu)造了全等三角形，。證明：作的平分線AG交BD于G，互余, 互余,又AB=AC, ,AG=CE,AD=CD,.例5：在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分

7、別在AD，DC上。求證：EF=AE+FC分析：要證EF=AE+FC，可設(shè)想把AE，F(xiàn)C放在同一條直線上，再與EF比擬，于是把Rt以B為中心旋轉(zhuǎn)，得Rt，有，這樣就把AE，F(xiàn)C放在了同一條直線上，即為，于是只需證，即證，又因?yàn)?，所以。論文發(fā)表。證明略。例6：中，BD，CE分別是的平分線，且BE=CD求證：AB=AC分析：要證AB=AC，只需證，雖然這兩個(gè)角分別含在和中，而這兩個(gè)三角形全等的條件不夠，因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)條件BE=CD，BC=CB，為此按對(duì)稱構(gòu)造的策略添加輔助線。證明：過點(diǎn)C作CQAB交BD的延長線于Q，過點(diǎn)B作BPAC交CE的延長線于P，BPAC，CQAB 又，PB=CB，QC=CBPB

8、=QCBE=CDAB=AC原那么2.3 化繁為簡用原那么1、2添加輔助線要注意把復(fù)雜的圖形分解為簡單的圖形，把復(fù)雜的問題分解為假設(shè)干個(gè)簡單的問題，把不規(guī)那么圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)那么圖形，使原題轉(zhuǎn)變?yōu)檩^容易解決的問題。添加輔助線的三個(gè)原那么是相輔相承的，證題解題過程中，往往要綜合運(yùn)用這三個(gè)原那么。例7：AD是的的平分線，AD=AB，CMAM。論文發(fā)表。求證：分析：要證，可設(shè)想把AB，AC，AM放在同一條直線上，由于AD是角平分線，AM是垂線，那么可通過變換構(gòu)造把繞AM翻轉(zhuǎn)得Rt，于是，這樣就把AB，AC放在了一條直線上，如何把AM也放在這條直線上呢？從釋放條件內(nèi)涵出發(fā)，由于M是的中點(diǎn)，那么可按規(guī)律中點(diǎn)配中點(diǎn)，連成中位線;作輔助線，過M作BD交于那么，又AB=AD，那么，又，即。證明略。以上例題都是依據(jù)釋放條件內(nèi)涵、構(gòu)造所需圖形、化繁為簡這三個(gè)原那么添輔助線的，從這些例題的輔助線添置中，可以得出添輔助線不能死記硬背，要從條件出發(fā)，看給出什么圖形，再看求證的結(jié)論是什么，要推出這個(gè)結(jié)論應(yīng)具備哪些條件，利用已掌握的有關(guān)知識(shí)圍繞圖形找聯(lián)系、看變化，從而正確添加輔助線