整式乘法公式

1、2謙虛謹(jǐn)慎 踏實(shí)認(rèn)真第五課時(shí)完全平方公式和平方差公式二公式及其變形1、完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2.,222、平方差公式：(a+b)(a-b)=a-b22333、立方和公式和立方差公式：(a+b)(a-ab+b)=a+b(a-b)(a223+ab+b)=a4、歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式:位置變化,符號(hào)變化,指數(shù)變化,系數(shù)變化,換式變化,22xy-yx=x-y2222-xyd-yp-x_y=x-y222244xyx-y-y222ab2a-b=4a_bxyzm|xy-zml-xy1zm22=xymzm2222=xy-zzmzmm2222=

2、xy-z-2zm-m增項(xiàng)變化，x-yzx-y=x_y2_z22二X-yx-y-z222=x一xyxyy-z222=x-2xyyz連用公式變化，xyx-yx2y2：E：x2y2x2y244=x-y,.,22逆用公式變化，x-y-xy-z=x-yzxy-zI1x-yzxy-z=2x-2y2z=_4xy4xz、公式的靈活運(yùn)用的經(jīng)典例題22例1.已知ab2,ab=1，求ab的值。例2.已知a8,ab=2，求(a-b的值。2例3:計(jì)算1999-2000X1998222例4：已知a+b=2,ab=1,求a+b和(a-b)的值。例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x2-z2的值。例6:判斷(2

3、+1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1的個(gè)位數(shù)字是幾?例7.運(yùn)用公式簡便計(jì)算2(1)103(2)198謙虛謹(jǐn)慎 踏實(shí)認(rèn)真例&計(jì)算(1)a4b_3ca-Ab-3c(2)3xy-23x_y2例9.解下列各式已知a24b2=i3,ab=6，求(a北2，(a2的值。2222已知ab=7,a-b，求ab,ab的值。(3)已知aa_1-a_b=2，求2的值。1小41x3X4(4)已知x，求x的值。2.2abab例10.四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1,一定是平方數(shù)嗎？為什么?例11.計(jì)算/、22(1)x-x12(2)3mn-p三、乘法公式的用法（一）、套用：這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)

4、弄清乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。（5x2+3y2X5x2-3y2）例1.計(jì)算：（二）、連用：連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例2計(jì)算：H一心+仃*1席+1）例3.計(jì)算:(3x+2y-5z*1X-3x+2y-5zT)（三）、逆用：學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問題。f-(5718c、變用：題目變形后運(yùn)用公式解題。例5.計(jì)算：xy_2zxy6z、活用：把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：TOC

5、o 1-5 h z222ab-2ab=ab HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 222a-b亠2ab=ab HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 2222aba-b2a2b2 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 22aba-b4ab靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例6.已知a=4，ab=5，求a2b2的值。22例7.計(jì)算：(a+b+c_d)+(b+c+d_a)2例8.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x5,z二xy*-9，那

6、么x2y3=()四、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”.例1計(jì)算(-2x2-5)(2x2-5)例2計(jì)算(-a2+4b)2、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3計(jì)算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).例4計(jì)算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2248例5計(jì)算(2+1)(2+1)(2+1)(2+1).(二)、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每兩項(xiàng)乘積的2倍.例6計(jì)算(2x+y-3)2(四)、注意公式的變換

7、，靈活運(yùn)用變形公式3322例7(1)已知x+y=10,x+y=100,求x+y的值;2已知：x+2y=7,xy=6，求(x-2y)的值.22例8計(jì)算(a+b+c)+(a+b-c)+(a-b+c)+(b-a+c)(五)、注意乘法公式的逆運(yùn)用例9計(jì)算(a-2b+3c)-(a+2b-3c)例10計(jì)算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)五、怎樣熟練運(yùn)用公式：、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同，另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)；等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.明確了公式的

8、結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式.、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式.如計(jì)算(x+2y3z)2,若視x+2y為公式中的a,3z為b,則就可用(ab)2=a22ab+b2來解了。、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn).常見的幾種變化是：1、位置變化女口(3x+5y)(5y3x)交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了.2、符號(hào)變化女如(2m7n)(2m-7n)變?yōu)?2m+7r)(2m7n)后就可用

9、平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、數(shù)字變化如98X102,992,912等分別變?yōu)?1002)(100+2，(100-1)2，(90+1)2后就能夠用乘法公式加以解答了.nn衛(wèi)4、系數(shù)變化女口(4m+2)(2m-4)變?yōu)?(2m+4)(2m-4)后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了.5、項(xiàng)數(shù)變化女口(x+3y+2z)(x3y+6z)變?yōu)?x+3y+4z2z)(x3y+4z+2z)后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了.、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡便如計(jì)算(a2+1)2(a21)2,若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法

10、則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡便即原式=(a2+1)(a21)2=(a41)2=a8-2a4+1.11對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向(從左到右)運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向(從右到左)運(yùn)用如計(jì)算(1戸)(1云)(1111T)(1了)(1療),若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò)若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題.111111132491111111即原式=(12)(1+2)(13)(1+3)X-X(1花)(1+10)=2x2X3x3X-X10 x0=2x五=20.有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=(a

11、+b)22ab,a2+b2=(ab)2+2ab等.用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效.女口已知m+n=7mn=18,求m+n2,mimn+n2的值.面對(duì)這樣的問題就可用上述變式來解，即m+n2=(m+n22mn=72X(18)=49+36=85,n?mn+n2=(m+r)23mn=73X(18)=103.下列各題，難不倒你吧？！1111、若a+a=5，求(1)a2+,(2)(aa)2的值.2、求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1的末位數(shù)字.五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次2222乘法公式：(a+b)(ab)=ab,(ab)=a2ab+b

12、,33(ab)(aab+b)=ab.第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡單的套用.例1計(jì)算4-ab+-ba,34(2)(2xy)(2xy).第二層次一用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用.例2計(jì)算22(1)199819983994+1997;卜引卜勻卜井卜卻卜ik第三層次一一活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式.例3化簡：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.22233a+b=(a+b)2ab,a+b=(a例4計(jì)算：(2x3y1)(2x3y+5)第四層次變用：解某些問題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形

13、式，如+b)33ab(a+b)等，則求解十分簡單、明快.例5已知a+b=9,ab=14，求2a2+2b2和a3+b3的值.第五層次綜合后用：將(a+b)2=a2+2ab+b2和(ab)2=a22ab+b2綜合,222222可得(a+b)+(ab)=2(a+b);(a+b)(ab)=4ab;等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷.例6計(jì)算：(2x+yz+5)(2xy+z+5).六、正確認(rèn)識(shí)和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)乘法公式：對(duì)于學(xué)習(xí)的兩種(三個(gè))乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2a

14、b+b2,可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識(shí)乘法公式。如圖1，兩個(gè)矩形的面積之和(即陰影部分的面積)為(a+b)(a-b)，通過左右兩圖的對(duì)照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2中的兩個(gè)圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-b)2,通過面積的計(jì)算方法，即可得到兩個(gè)完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2。a*hf12、乘法公式的使用技巧:提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，以避免負(fù)號(hào)多帶來的麻煩。例1、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：2(-1+3x)(-1-3x)；(2

15、)(-2m-1)例2、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)114x113;(2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)例3、計(jì)算：(1)(x/2+5)2-(x/2-5)2;(2)(a-1/2)2)(2+1/4)2(a+1/2)計(jì)算：(1)(x+y+1)(1-x-y);(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，運(yùn)算過程復(fù)雜，在解答中,運(yùn)算就顯得簡便易行。要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開,先分組，再用公式例1.計(jì)算：(ab+cd)(-abc

16、d)先提公因式，再用公式例2.計(jì)算:先分項(xiàng)，再用公式例3計(jì)算：232y236y先整體展開，再用公式例4計(jì)算：(a2b)(a-2b1)先補(bǔ)項(xiàng)，再用公式例5計(jì)算：3(381)(341)(321)(31)先用公式，再展開例6.計(jì)算:乘法公式交替用例7.計(jì)算：(Xz)(x2-2xzZ2)(x-Z)(x22xzz2)八、中考與乘法公式結(jié)論開放例1.（02年濟(jì)南中考）請(qǐng)你觀察圖1中的圖形，依據(jù)圖形面積的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個(gè)你非常熟悉的公式，這個(gè)公式是T1II5X1*例2.（03年陜西中考）如圖2,在長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（ab），把余下的部分剪成一個(gè)矩形，如圖3,通過計(jì)

17、算兩個(gè)圖形的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是。條件開放2例3.（03年四川中考）多項(xiàng)式9x1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)整式的完全平方，則加上的單項(xiàng)式可以是（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)即可，不必考慮所有的可能情況）。找規(guī)律例4.（01年武漢中考）觀察下列各式：x-1x1=x2-1x-1x2x1=x3-1x-1x3x2x1=X4-1由猜想到的規(guī)律可得xxxn，x推導(dǎo)新公式例5.在公式a12a1中，當(dāng)a分別取1,3,n時(shí)，可得下列n個(gè)等式22-1121-122-1222212213223122nTn亠2nT將這n個(gè)等式的左右兩邊分別相加，可推導(dǎo)出求和公式:123n=(用含n的代數(shù)式表示)例6.(0

18、4年臨汾中考)閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際22上還有一些等式也可以用這種形式表示，例如：2abab=2a3ab就可以用圖4或圖5等圖表示。右ababb2aabaJabbuFaa.bS4圖5請(qǐng)寫出圖6中所表示的代數(shù)恒等式|A3ab卜11必試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示：“22aba3b=a4ab3b請(qǐng)仿照上述方法另寫一個(gè)含有a，b的代數(shù)恒等式，并畫出與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形。對(duì)應(yīng)訓(xùn)練一：平方差公式：語言敘述：兩數(shù)的。(5+6x)(5-6x)中公式中的a，是公式中的b，(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b(x-2y)(x+2y

19、)中是公式中的a，是公式中的b.(-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的(a+b+c)(a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b，(a-b+c)(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b(a+b+c)(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b33謙虛謹(jǐn)慎 踏實(shí)認(rèn)真、判斷題(7wt+2島)(7趕一也)=-64(伽+1)(4血一1)=加-1(3+2)(3-2x)=9-2x+=4za-y(x-6)0+6)=-6(5xy+l)(-5xy+l)=1-25xy填空題：22(1)a-4ab+()=(a-2b)2.（“4X4”）鞏）2一（）73.，一+-:(8用+6w)1yr口X（43）43)5.(

20、rV+2)(y-2)(莎)()=9j1-x()(&T)=-&10.L%+脾必+用）=16於-9/則11LOlxO.9912、(2x-1)()=4x2-113、(-4x+)(-4x)=16x22-49y14、(a1)(a-1)二15、(3a-b)(3ab)二16、17、(x3)()=x2-918(a5)()=25-a219、(_3x-5y)(3x-5y)二20、(-a2-b3)(b3-a2)二直接運(yùn)用公式1.(a+3)(a-3)2.(2a+3b)(2a-3b)3.(1+2c)(1-2c)4.(-x+2)(-x-2)5.(2x+1)(2x-1)6.(a+2b)(a-2b)227.(2a+5b)(2

21、a-5b)8.(-2a-3b)(-2a+3b)9、1998X200210、498X50211、999X100112、1.01X0.9913、30.8X29.214、(100-1)X(99-2)1815、(20-)X(19-994謙虛謹(jǐn)慎 踏實(shí)認(rèn)真完全平方公式:(2)語言敘述：兩數(shù)的2222填空題(1)a-4ab+(_)=(a-2b)(2)(a+b)-(_)=(a-b)222().A.(a-b)=a-ab+b222C.(a+b)2=a2+2ab+b222)A.8(a-b)B.8(a+b)2、(3x-2y)=3、選擇題（1）下列等式能成立的是222B.（a+3b）2=a2+9b2（2）（a+3b）

22、2-（3a+b）2計(jì)算的結(jié)果是（一、計(jì)算：1、（x亠y）2=2D.(x+9)(x-9)=x2-92222C.8b-8aD.8a-8b122(ab)=4、(-2t-1)5、(-3abc)2=36、(|x|y)2=327、（”仁2(8)102=2(9)197(10)(x3)2-x2=22(11)y-(xy)=(12)xy-2-xyxy-)=(14)(xy1)2(xy-1)2=(13)(a3)(a-3)-(a-1)(a4)=(2a3)2-3(2a-1)(a4)=(ab3)(ab-3)=(x-y2)(xy-2)=(a_b_3)(a_b3)=2(19)(2x-7y)=2(20)(-2a-5)=2(21)

23、(34y)=(22)(2m3n)2=12(23)(尹4y)二(24)(丄a3b)2-3132倍）（孑尹二2(26)(6m-3n二3a+2bW(29)11（27）（尹2計(jì)2八11(28)(-x9y)(x-9y)=33323(xy)(xy)二434(32)1七22(30)(4xy)(4y)-(31)44 踏實(shí)認(rèn)真(35)(a+b+c+d)2=(33)(1x2y2)(1x2-y2)=2(34)(x片)_(x+yxy(_)=a2(36)(-1)(37)(2a25b3)2222(38)(-3m-4n)(39)(2a-3b-1)(2a3b1)222(40)(x-2y)(x-4y)(x2y)(41)(2a-

24、b-3)14、先化簡，再求值(1)(x3+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x2-2)2，其中x=-2.(2)1(-a-2b)2ab-(丄a2b)2-2其中a=2b=-1其中x-1,y-2(3)、bx2-(x+y)(x-y)】(一x-y)(-x+y)+2y25、立方差公式2(1)(x-5)(x5x25)2(2x3)(4x-6x9)222142112(-a-b)(a-abb)(4)(xy)(xxyy)32934(a1)(a-1)(a4a21)(6)(x1)(x-1)(x2x1)(x2-x1)6、計(jì)算(；5)2-(|-5)27、(a-1)%21)2(a丄)22428、化簡(21)(22

25、1)(241)(281)1謙虛謹(jǐn)慎9、計(jì)算(2x_3y-1)(_2x_3y5)10、設(shè)x2_2x4=0，求x2-9的值11、已知a2b2a2b21=4ab求a、b的值1112、已知x5求x3亍的值xx13、ab=5a3b3=50求a2b2的值214、已知(xy)=3(x-y)2=1求x2y2的值:22215、已知xy=12xy=4求xy的值:2求y2xyy2的值:109332216、已知xy=468xyxy=420221.(a+2b)=a+23.(2x-)二25.x-xy+27.(-2m-3n)=+4b2.4xy+y2.=(x-2.(3a-5)2=9a2+25-.4.(3m2+)2=+12m2

26、n+6.49a2-+81b2=(+9b)2.11&(4s+t2)2229.4a+4a+3=(2a+1)+17、已知ab=9ab=14求a3b3的值351對(duì)應(yīng)訓(xùn)練二：(C)(2y-x)1(D)-(x-2y)2謹(jǐn)慎TOC o 1-5 h z10.(a-b)2=(a+b)2-.11.a2+b2=(a+b)2-=(a-b)2-.2(a-b+c)=.(a2b+3cd)(a+2b3cd)=(ad)()(ad)+()=()-()(a2-1)2-(a2+1)2=(a2-1)+(a2+1)(a2-1)-()=.111代數(shù)式xy-x2-4y2等于(A)(x-2y)2(B)(-x-2y)2謙虛TOC o 1-5 h

27、 z已知x(x216)+a=(x28)2,貝Va的值是(A)8(B)16(C)32(D)64如果4a2Nab+81b2是一個(gè)完全平方式，貝VN等于()(A)18(B)18(C)36(D)64若(a+b)2=5,(ab)2=3,貝Va2+b2與ab的值分別是()11(A)8與2(B)4與2(C)1與4(D)4與119.(1)(2a+5b)2；12(2)(2ab23c)(3)(x3y2)(x+3y2(a+2b3c1);(4)(x2y)(x24y2)(x+2y);(5)(2a+3)2+(3a2)2;(6)(a2b+3c1)(8)(t3)2(t+3)(7)(s2t)(s2t)(s2t)221222。、1、雹心飛妒）23、(3a-b2)22、(xn2)24、(xy3)(xy-3)5、(xy_z)(xy)2(xy)z-z216、106947、(a-b)(a-b)(b-c)(bc)(c-a)(ca)8、(m1)2-5(m1)(m-1)3