新人教版初中數(shù)學八年級下冊全冊知識梳理及練習（提高版）（家教補習復習專用）

1、新人教版八年級下冊數(shù)學全冊知識點及鞏固練習題 二次根式（提高）【學習目標】1、理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負數(shù)的理由.2、理解并掌握下列結(jié)論：，并利用它們進行計算和化簡【要點梳理】要點一、二次根式及代數(shù)式的概念1.二次根式：一般地，我們把形如(a0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號要點詮釋：二次根式的兩個要素：根指數(shù)為2；被開方數(shù)為非負數(shù).2.代數(shù)式：形如5，a，a+b，ab，x3，這些式子，用基本的運算符號(基本運算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.要點二、二次根式的性質(zhì)1、；2.；3. 要點詮釋：1.二次根式(a0)的值

2、是非負數(shù)。一個非負數(shù)可以寫成它的算術平方根的形式，即.2.與要注意區(qū)別與聯(lián)系：1）的取值范圍不同，中0，中為任意值.2）0時，=；1; 選項C: 8的立方根是2；選項D:因為關于x軸對稱，所以，及,所以選D. 4【答案】B.【解析】當1a2時，a20，1a0，+|1a|=2a+a1=1故選：B5【答案】D.【解析】 因為=，即.6【答案】B. 二、填空題7.【答案】3【解析】=4，是正整數(shù)，3n是一個完全平方數(shù)n的最小整數(shù)值為3 8.【答案】m0；.9.【答案】.【解析】 即 ，即原式=.10.【答案】3【解析】因為原式=.11【答案】 12.【答案】3.【解析】由數(shù)軸可得：a50，a20，則

3、+|a2|=5a+a2=3故答案為：3三、解答題13.【解析】因為，所以2x-10,1-2x0，即x=，y=， 則.14.【解析】 因為，所以原式= =. 15.【解析】解：（1）y=+8x，2x1=0，解得x=，y=4，=4，4的平方根是2故的平方根是2（2）4x1，2=|x+4|2|x1|=x+4+2（x1）=x+4+2x2=3x+2二次根式的乘除法知識講解（提高）【學習目標】掌握二次根式的乘除法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進行二次根式的乘除運算.了解最簡二次根式的概念，能運用二次根式的有關性質(zhì)進行化簡.【要點梳理】知識點一、二次根式的乘法及積的算術平方根1。乘法法則：（0，0）,即兩

4、個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.要點詮釋： (1)在運用二次根式的乘法法則進行運算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負數(shù)；(在本章中， 如果沒有特別說明，所有字母都表示非負數(shù)). (2)該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：;0，0，.0）; (3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應化簡，如.2.積的算術平方根（0，0）,即積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積.要點詮釋： (1)在這個性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足0，0,才能用此式進行計算或化簡，如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了； (2)二次根

5、式的化簡關鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號外面.知識點二、二次根式的除法及商的算術平方根1.除法法則：（0，0）,即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.要點詮釋：(1)在進行二次根式的除法運算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應特別注意，0，0，因為b在分母上，故b不能為0.(2)運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號.2.商的算術平方根的性質(zhì)（0，0），即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根.要點詮釋：運用此性質(zhì)也可以進行二次根式的化簡，運用時仍要注意符號問題.知識點三、最簡二次根式

6、 （1）被開方數(shù)不含有分母； （2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式. 滿足這兩個條件的二次根式叫最簡二次根式.要點詮釋：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：（1) 被開方數(shù)是分數(shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.【典型例題】類型一、二次根式的乘除【二次根式及其乘除法（下）例9 （2），（3）】1. 計算：（1）（2014秋閔行區(qū)校級期中）（2） （2）（2014春高安市期中）【答案與解析】解：（1）（2）=（2）=(2)原式=【總結(jié)升華】根據(jù)二次根式的乘除法則靈活運算，注意最終結(jié)果要化簡.舉一反三：【二次根式及其乘除法（下）例9 （4）】【變式】【答案】原式=2.計算(1)(

7、-)(m0，n0)； (2)-3() (a0).【思路點撥】復雜的二次根式計算，要注意在化簡過程中運用冪的乘除運算和因式分解運算.【答案與解析】(1)原式=-=-=-；(2)原式=-2=-2=-a.【總結(jié)升華】熟練乘除運算，更要加強運算準確的訓練.舉一反三：【變式】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值【答案】由題意得，即6x9，x為偶數(shù)，x=8原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=當x=8時，原式的值=6類型二、最簡二次根式3.已知00;若0,所以，所以=12【答案】【解析】 =三、解答題. 13.【解析】因為，所以2x-30,3-2x0，即x=，y= 則=.14.【解析】因為，所以 所以

8、=.15.【解析】解：（1）=；故答案為：；（2）原式=（1）+（）+（）+（）（+1）=（1）（+1）=（）212=20161=2015二次根式的加減-知識講解（提高）【學習目標】1、理解并掌握同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會合并同類二次根式，進行簡單的二次根式加減運算；2、會利用運算律和運算法則進行二次根式的混合運算.【要點梳理】要點一、同類二次根式1.定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.要點詮釋：(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；(2)幾個二次根式是否是同

9、類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關，而與根號外的因式無關.2.合并同類二次根式合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似)要點詮釋：(1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù)；(2)二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要變成假分數(shù)的形式.要點二、二次根式的加減1.二次根式的加減實質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.要點詮釋：（1）在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結(jié)合律及去括號、添括號法則仍然適用. （2）二次根式加減運算的步

10、驟：1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；3)合并同類二次根式.要點三、二次根式的混合運算二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.要點詮釋：(1)二次根式的混合運算順序與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；(2)在實數(shù)運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用；(3)二次根式混合運算的結(jié)果要寫成最簡形式. 【典型例題】類型一、同類二次根式1. （2016春壽光市期末）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a= 【思路點撥】根據(jù)同類二次根式的定義列出方程求

11、解即可【答案】1【解析】解：最簡二次根式與是同類二次根式，4a2+1=6a21，a2=1，解得a=1【總結(jié)升華】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式舉一反三:【變式】（2014春射陽縣校級期末）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a=【答案】1.提示：最簡二次根式與是同類二次根式，4a2+1=6a21，a2=1，解得a=1類型二、二次根式的加減運算【高清ID號： 388064關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題2.（1）-（2）】2.計算：（1） 【答案與解析】 = = =0【總結(jié)升華】一定要注意二次根式的加減要做到先化簡，再合并

12、.舉一反三:【變式】計算 .【答案】 類型三、二次根式的混合運算3.（2015蘇州模擬）計算：【思路點撥】二次根式的混合運算最好是先將每個因式化簡，再合并.【答案與解析】解：原式=+2=4+2=4+【總結(jié)升華】先進行二次根式的乘除運算，再把各二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的加減運算舉一反三: 【高清ID號： 388064關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：二次根式的混合運算】 【變式】【答案】原式= = =4.計算：已知求的值.【答案與解析】 又因為所以，即即原式= 【總結(jié)升華】數(shù)學運算包含著很多技巧性的東西，技巧運用得好計算就會很簡便.二次根式的加減-鞏固練習（提高）一.選擇題 1.

13、（2016欽州）下列運算正確的是（）Aa+a=2aBa6a3=a2C+=D（ab）2=a2b2 2. 與不是同類二次根式的是（ ）A. B. C. D. 3.（2015春平南縣校級月考）若，則x的值等于（）A. 4 B. C. 2 D. 4. 下列各式中運算正確的是（ ）A. B.C. D.5.的運算結(jié)果是（ ）A 0 B. C. D. 6. 等腰三角形兩邊分別為和，那么這個三角形的周長是（ ）A. B. C.或 D.二. 填空題7.若最簡二次根式與是同類二次根式，則.8.與無法合并，這種說法是_的（填“正確”或“錯誤”）.9.設則的值是_10. （2016哈爾濱）計算2的結(jié)果是 11. 長方

14、形的寬為，面積為，則長方形的長約為_（精確到0.1）.12.已知x，則的值等于_.三 綜合題13.計算：14.（2014春無錫期末）若x，y為實數(shù)，且y=+求的值 15已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為求的值.【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A.【解析】A、a+a=（1+1）a=2a，故本選項正確；B、a6a3=a63a2，故本選項錯誤；C、+=2+=3，故本選項錯誤；D、（ab）2=a2+2ab+b2a2b2，故本選項錯誤2【答案】A3【答案】C【解析】先化簡再解方程，原式=，即，.故選C4【答案】A 5.【答案】B【解析】注意運算技巧。原式=6【答案】B 【解析】注意:分類討論腰分別是和兩種

15、情況,但是當腰為時，所以這種情況不存在，只有腰為一種情況，即.二、填空題7.【答案】1；1【解析】，所以 8.【答案】錯誤9.【答案】10.【答案】2【解析】原式=23=3=2. 11.【答案】 2.8【解析】長= 12.【答案】4【解析】化簡x，得， ，代入原式=4三.解答題13.【解析】 = = = =14.【解析】解：由二次根式的有意義，得，解得x=，故y=，原式=15.【解析】因為的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為 所以， 原式=,代入后原式= 二次根式全章復習與鞏固-知識講解（提高）【學習目標】1、理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除

16、運算，會用它們進行有關實數(shù)的四則運算.3、了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關系方面的作用.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】知識點一、二次根式的相關概念和性質(zhì)1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）.要點詮釋：（1） 一個非負數(shù)可以寫成它的算術平方根的平方的形式，即（），如（）.（2） 中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非

17、負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當取非負數(shù)時，=.3. 最簡二次根式1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式 幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式. 要點詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點二、二次根式的運算1. 乘除法（1）乘除法法則：類型

18、法則逆用法則二次根式的乘法積的算術平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術平方根化簡公式：要點詮釋：（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如. （2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法 將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、二次根式的概念與性質(zhì)1 x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ (1)； (2).【答案】（1）; （2）.【

19、解析】(1) 要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則必有 當時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義；(2) 要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則必有 當時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義；【總結(jié)升華】本例考查了二次根式成立的條件，要牢記，只有時才是二次根式.舉一反三：【變式】已知，求的值.【答案】根據(jù)二次根式的意義有 將代入已知等式得2.（2016柘城縣校級一模）把 中根號外的因式移到根號內(nèi)的結(jié)果是( ).A B C D 【答案】A. 【解析】由二次根式的意義知 ，則 .【總結(jié)升華】在利用二次根式性質(zhì)化簡時，要注意其符號，要明確是非負數(shù)，反過來將根號外的因式移到根號內(nèi)時，也必須向里移非負數(shù)。舉一反三：【變式】（2014春團風縣校級期中）已知x

20、為奇數(shù)，且=，求【答案】解：=，6x9，x為奇數(shù)，x=7，則=8=123. 實數(shù)在數(shù)軸上對應的點如圖：化簡.【答案與解析】由數(shù)軸可知并且=【總結(jié)升華】本題不僅考查了二次根式和絕對值的化簡問題，同時考查了學生的觀察能力.通過觀察確定的大小關系是本題的關鍵.【二次根式 高清ID號：388065關聯(lián)的位置名稱：填空題5】舉一反三：【變式】ABC的三邊長為a、b、c，則= .【答案】.類型二、二次根式的運算4（2015昆山市一模）計算（1）（2）【答案與解析】解：（1）原式=21+3=4；（2）原式=232=3【總結(jié)升華】此題考查二次根式的混合運算，正確掌握二次根式的性質(zhì)化簡以及乘法計算 公式是解決問

21、題的關鍵舉一反三：【變式】計算【答案】5.已知a、b、c為ABC的三邊長，化簡【答案與解析】a、b、c為ABC的三邊長， 原式 【總結(jié)升華】利用三角形任意兩邊之和大于第三邊和進行化簡.6.若，化簡.【答案與解析】【總結(jié)升華】把分子分母分別分解因式，然后約分，可以簡化化簡步驟.舉一反三：【變式】當.【答案】，將代入，原式=3.二次根式全章復習與鞏固-鞏固練習（提高）一、選擇題1是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（ ）A. B. C. D. 2（2016楊浦區(qū)三模）如果，那么 ( ).A B C D3已知，那么滿足上述條件的整數(shù)的個數(shù)是（ ）.A4 B. 5 C. 6 D. 74若x0，則的結(jié)果

22、是( ). A0 B-2 C0或-2 D2 5的值是( ). A-7B-5 C3 D7 6（2015寧夏）下列計算正確的是（）A.B.=2C.（）1=D.（1）2=27小明的作業(yè)本上有以下四題： ；. 做錯的題是( ).A B C D 8相比較，下面四個選項中正確的是（ ）.A. B. C. D. 二. 填空題9. 計算=_.10. 若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則_.11比較大小_；_.（用或填空）12. 已知最簡根式是同類根式，則的值為_.13若m0，則=_.14.已知實數(shù)滿足，則=_.15已知數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則=_.16（2015黔西南州）已知x=，則x2+x+1= 三 綜合

23、題 17 計算：(1) (2) 18. 已知：，求的值.19（2016春張家港市期末）若都是實數(shù)，且，試求的值.20.（2014秋德惠市期末）某號臺風的中心位于O地，臺風中心以25千米/小時的速度向西北方向移動，在半徑為240千米的范圍內(nèi)將受影響、城市A在O地正西方向與O地相距320千米處，試問A市是否會遭受此臺風的影響？若受影響，將有多少小時？【答案與解析】一、選擇題1【答案】B. 2【答案】D.【解析】 ，所以,即.3【答案】C.【解析】由原式得： 所以，因為，,所以.4【答案】D. 5【答案】D. 【解析】則，即.6【答案】B. 【解析】解：與不能合并，所以A選項錯誤；B、原式=2，所以

24、B選項正確；C、原式=，所以C選項錯誤；D、原式=32+1=42，所以D選項錯誤故選B7【答案】D. 【解析】不是同類根式，不能加減.8.【答案】A. 【解析】因為，所以，即.二、填空題9.【答案】.10.【答案】1. 【解析】.11【答案】 【解析】. 又，且12【答案】. 【解析】因為最簡根式是同類根式（注意沒說是同類二次根式），所以根指數(shù)與被開方數(shù)相同，即即.13【答案】-m.14【答案】2011.【解析】因為，所以-20110，即2011， 則原式可化簡為： 即=2011.15【答案】0. 【解析】由圖像知：所以原式=0.16【答案】2【解析】解：x=，x2+x+1=（x+）2+1=（

25、+）2+=+=2故答案為：2 三.解答題17.【解析】 (1) 原式= =. (2) 原式 18.【解析】 原式.19.【解析】， ， 把代入，把，代入= .20.【解析】解：如圖，OA=320，AON=45，過A點作ON的垂線，垂足為H，以A為圓心，240為半徑畫弧交直線OH于M、N，在RtOAH中，AH=OAsin45=160240，故A市會受影響，在RtAHM中，MH=80MN=160，受影響的時間為：16025=6.4小時答：A市受影響，受影響時間為6.4小時勾股定理（提高）【學習目標】1. 掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長

26、2. 掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題3. 熟練應用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題【要點梳理】【勾股定理 知識要點】要點一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關系. （2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的. （3）理解勾股定理的一些變式：， .要點二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1

27、）所示的正方形. 圖（1）中，所以. 方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形. 圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形. ，所以.要點三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關系的證明問題；3. 利用勾股定理，作出長為的線段.【典型例題】類型一、勾股定理的應用1、如圖所示，在多邊形ABCD中，AB2，CD1，A45，BD90，求多邊形ABCD的面積【答案與解析】解：延長AD、BC相交于點E B90，A45 E45， ABBE2 ADC90， DCE45， CDDE1 ， 【總結(jié)升華】求不規(guī)則圖形的面積，關鍵是將

28、其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），轉(zhuǎn)化的方法主要是割補法，然后運用勾股定理求出相應的線段，解決面積問題舉一反三：【變式】（2015西城區(qū)模擬）已知：如圖，在ABC，BC=2，SABC=3，ABC=135，求AC、AB的長【答案】解：如圖，過點A作ADBC交CB的延長線于D，在ABC中，SABC=3，BC=2，AD=3，ABC=135，ABD=180135=45，AB=AD=3，BD=AD=3，在RtADC中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC=2、已知直角三角形斜邊長為2，周長為，求此三角形的面積【思路點撥】欲求Rt的面積，只需求兩直角邊之積，而由已知得兩直角邊之和為

29、，結(jié)合勾股定理又得其平方和為4，于是可轉(zhuǎn)化為用方程求解【答案與解析】解：設這個直角三角形的兩直角邊長分別為，則 即將兩邊平方，得 ，得，所以因此這個直角三角形的面積為【總結(jié)升華】此題通過設間接未知數(shù)，通過變形直接得出的值，而不需要分別求出 的值本題運用了方程思想解決問題3、（2015春黔南州期末）長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求DE的長【思路點撥】在折疊的過程中，BE=DE從而設BE即可表示AE在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解【答案與解析】解：設DE=xcm，則BE=DE=x，AE=ABBE=10 x，ADE中

30、，DE2=AE2+AD2，即x2=（10 x）2+16x=（cm）答：DE的長為cm.【總結(jié)升華】注意此類題中，要能夠發(fā)現(xiàn)折疊的對應線段相等類型二、利用勾股定理解決實際問題4、如圖所示，在一棵樹的10高的B處有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20處的池塘A處，另外一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離的直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？【思路點撥】其中一只猴子從BCA共走了(10+20)=30，另一只猴子從BDA也共走了30，并且樹垂直于地面，于是這個問題可化歸到直角三角形中利用勾股定理解決【答案與解析】解：設樹高CD為，則BD10，AD30(10)40，在RtACD中，解得：

31、15答：這棵樹高15【總結(jié)升華】本題利用距離相等用未知數(shù)來表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量關系列方程求解舉一反三：【變式】如圖，有一個圓柱，它的高等于12，底面半徑等于3，在圓柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取3)【答案】解：如圖所示，由題意可得： ， 在RtAAB中，根據(jù)勾股定理得： 則AB15 所以需要爬行的最短路程是15【鞏固練習】一.選擇題1如圖，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為，則的值是（ ） A B C D2（2015東莞模擬）如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10

32、，則S=（）A25 B31 C32 D403. 如圖所示，折疊矩形ABCD一邊，點D落在BC邊的點F處，若AB8，BC10，EC的長為（ ）cmA3 B4 C5 D64如圖，長方形AOBC中，點A的坐標為（0，8)，點D的縱坐標為3，若將矩形沿直線AD折疊，則頂點C恰好落在邊OB上E處，那么圖中陰影部分的面積為（ ）30 B32 C34 D16 5如圖，已知ABC中，ABC90,ABBC，三角形的頂點在相互平行的三條直線，上，且，之間的距離為2 , ，之間的距離為3 ,則AC的長是（ ）A B C D76.在ABC中，AB15，AC13，高AD12則, ABC的周長為（ ）A.42 B.32

33、C.42或32 D.37或33二.填空題7若一個直角三角形的兩邊長分別為12和5，則此三角形的第三邊長為_8. 如圖，將長8，寬4的長方形紙片ABCD折疊，使點A與C重合，則折痕EF的長為_.9.（2015黃岡）在ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC邊上的高為12cm，則ABC的面積為 cm210. 如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（-6，0）、（0，8）以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C，則點C的坐標為_11. 已知長方形ABCD，AB3，AD4，過對角線BD的中點O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，則AE的長為_.12在直線上依次擺

34、著7個正方形(如圖)，已知傾斜放置的3個正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個正方形的面積是則_ 三.解答題13.（2015春無棣縣期中）如圖所示，一架長為2.5米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時梯子的底端距離底0.7米，求梯子頂端離地多少米？如果梯子頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子底端將向左滑動多少m？14. 現(xiàn)有10個邊長為1的正方形，排列形式如左下圖, 請把它們分割后拼接成一個新的正方形要求： 在左下圖中用實線畫出分割線, 并在右下圖的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形.15. 將一副三角尺如圖拼接：含30角的三角尺（ABC）的長直角邊與含45角的

35、三角尺（ACD）的斜邊恰好重合已知AB2，P是AC上的一個動點 （1）當點P在ABC的平分線上時，求DP的長； （2）當點PDBC時，求此時PDA的度數(shù). 【答案與解析】一.選擇題1.【答案】A； 【解析】1所表示的點到點A的距離為，OA的距離為.2.【答案】B；【解析】解：如圖，由題意得：AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，BC2=AB2+AC2=31，S=BC2=31，故選B3.【答案】A； 【解析】設CE，則DE(8)在RtABF中，由勾股定理，得BF6 FC1064()在RtEFC中，由勾股定理，得，即解得即EC的長為34.【答案】A；【解析】由題意CDDE5，BE4，

36、設OE，AEAC，所以，陰影部分面積為.5.【答案】A；【解析】如圖，分別作CD交于點E，作AF，則可證AFBBDC，則AF3BD,BFCD235，DF538AE，在直角AEC中，勾股定理得AC.6. 【答案】C； 【解析】高在ABC內(nèi)部，第三邊長為14；高在ABC外部，第三邊長為4，故選C.二.填空題7. 【答案】13或；【解析】沒有指明這兩邊為直角邊，所以要分類討論，12也可能是斜邊.8. 【答案】；【解析】設AEEC，EB，則，解得，過E點作EHDC于H，EH4，F(xiàn)H532，EF.9. 【答案】126或66；【解析】解：當B為銳角時（如圖1），在RtABD中，BD=5cm，在RtADC中

37、，CD=16cm，BC=21，SABC=2112=126cm2；當B為鈍角時（如圖2），在RtABD中，BD=5cm，在RtADC中，CD=16cm，BC=CDBD=165=11cm，SABC=1112=66cm2，故答案為：126或6610.【答案】（4，0）；【解析】首先利用勾股定理求出AB的長，進而得到AC的長，因為OC=AC-AO，所以OC求出，繼而求出點C的坐標11.【答案】；【解析】連接BE，設AE，BEDE，則，.12【答案】4； 【解析】，故.三.解答題13.【解析】解：由題意可得：AB=2.5m，AO=0.7m，故BO=2.4（m），梯子頂端沿墻下滑0.4m，DO=2m，CD

38、=2.5m，由勾股定理得CO=1.5m，AC=COAO=1.50.7=0.8（m）答：梯子底端將向左滑動0.8m14.【解析】解：如圖所示：15.【解析】解：（1）連接DP，作DHAC，在RtABC中，AB2，CAB30，BC，AC.BP是ABC的角平分線，CBP30，CP.在RtADC中，DHAHHCAC，HP，DP.（2）當PDBC1時，P點的位置可能有兩處，分別為， 在Rt中，所以30，304575；同理，453015. 所以PDA的度數(shù)為15或75.勾股定理的逆定理（提高）【學習目標】1. 掌握勾股定理的逆定理及其應用理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關系2. 能

39、利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.3. 能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應用范圍.【要點梳理】【勾股定理逆定理 知識要點】要點一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.要點二、如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關系.若，則ABC是C=90的直角三角形；若，則ABC不是直角三角形.要點詮釋：當時，此三角形為鈍角三角形

40、；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點三、互逆命題如果兩個命題的題設與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個叫原命題，則另一個叫做它的逆命題.要點詮釋：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤；正確的命題我們稱為真命題，錯誤的命題我們稱它為假命題.要點四、勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果是勾股數(shù)，當為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形

41、.要點詮釋：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長； （2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長； （3） （是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；【典型例題】類型一、原命題與逆命題1、寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）同位角相等，兩直線平行；（2）如果，那么；（3）等腰三角形兩底角相等；（4）全等三角形的對應角相等（5）對頂角相等（6）線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等【思路點撥】寫一個命題的逆命題的關鍵是分清它的題設和結(jié)論，然后將其交換位置，判斷一個命題為真命題要經(jīng)過證明，是假命題只需舉出反例說明即可【答案與解析】解：（1）逆命題是：兩直線平行，同位角相等，它是真命題（2）

42、逆命題是：如果，那么，它是假命題（3）逆命題是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形，它是真命題（4）逆命題是：對應角相等的兩個三角形全等，它是假命題（5）逆命題是：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角，它是假命題（6）逆命題是：到線段兩個端點距離相等的點一定在線段的垂直平分線上，它是真命題【總結(jié)升華】寫一個命題的逆命題的關鍵是分清它的題設和結(jié)論，然后將題設和結(jié)論交換位置，寫出它的逆命題，可以借助“如果那么”分清題設和結(jié)論每一個命題都有逆命題，其中有真命題，也有假命題舉一反三：【變式】下列定理中，有逆定理的個數(shù)是（ ）有兩邊相等的三角形是等腰三角形；若三角形三邊滿足，則該三角形是直角三角形；全等三

43、角形對應角相等；若，則A1個 B2個 C3個 D4個【答案】B；提示：的逆命題是：等腰三角形有兩邊相等，是真命題；的逆命題是：若三角形是直角三角形，則三邊滿足（為斜邊）；但對應角相等的兩個三角形不一定全等；若，與不一定相等，所以、的逆命題是假命題，不可能是定理類型二、勾股定理逆定理的應用2、如圖所示，四邊形ABCD中，ABAD，AB2，AD，CD3，BC5，求ADC的度數(shù)【答案與解析】解： ABAD， A90，在RtABD中， BD4， ，可知ADB30，在BDC中， ， BDC90， ADCADB+BDC30+90120【總結(jié)升華】利用勾股定理的逆定理時，條件是三角形的三邊長，結(jié)論是直角三角

44、形，即由邊的條件得到角的結(jié)論，所以在幾何題中需要進行邊角的轉(zhuǎn)換時要聯(lián)想勾股定理的逆定理 舉一反三：【勾股定理逆定理 例4】【變式1】ABC三邊滿足，則ABC是（ ）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】D；提示：由題意，因為，所以ABC為直角三角形.【變式2】如圖所示，在ABC中，已知ACB90，ACBC，P是ABC內(nèi)一點，且PA3，PB1，PCCD2，CDCP，求BPC的度數(shù)【答案】解：連接BD CDCP，且CDCP2， CPD為等腰直角三角形，即CPD45 ACP+BCPBCP+BCD90， ACPBCD CACB， CAPCBD(SAS)， DBPA3在R

45、tCPD中，又 PB1，則 ， ， DPB為直角三角形，且DPB90， CPBCPD+DPB45+901353、（2015春信豐縣校級期中）如圖，已知在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，ABC=90猜想A與C關系并加以證明【思路點撥】連接AC，然后根據(jù)勾股定理求出AC的值，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷ADC為Rt，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可得到A與C關系【答案與解析】證明：猜想A與C關系為：A+C=180連結(jié)AC，ABC=90，在RtABC中，由勾股定理得：AC=25cm，AD2+DC2=625=252=AC2，ADC是直角三角形，且D=90，

46、DAB+B+BCD+D=360，DAB+BCD=180，即A+C=180【總結(jié)升華】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解題的關鍵是：根據(jù)勾股定理的逆定理判斷ADC是直角三角形舉一反三：【變式】（2015秋埇橋區(qū)校級月考）下列各組數(shù)中，全是勾股數(shù)的一組是（）A2，3，4；6，8，10；5，12，13B3，4，5；10，24，26；7，24，25C，；8，15，17；30，40，50D0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41【答案】B；解：A、2+34，不是勾股數(shù)，此選項錯誤；B、3+4=5，10+24=26，7+24=25，此選項正確；C、，不是勾股數(shù)，此選項錯誤；D、0.4，1

47、.2，1.3不是勾股數(shù)，此選項錯誤；故選B類型三、勾股定理逆定理的實際應用4、如圖所示，MN以左為我國領海，以右為公海，上午9時50分我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時13海里的速度偷偷向我國領海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時間進入我國海域？【答案與解析】解： ， ABC為直角三角形 ABC90又BDAC，可設CD， 得，解得 0.85(h)51(分)所以走私艇最早在10時41分進入我國領?！究偨Y(jié)升華】（1）本題用勾股定理作相等關系列方程解決問

48、題，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，為勾股定理的運用提供了條件【鞏固練習】一.選擇題1.（2015詔安縣校級模擬）下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長度的是（）Aa=7，b=24，c=25 Ba=1.5，b=2，c=2.5C Da=15，b=8，c=172. 下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三個內(nèi)角之比為561 B. 一邊上的中線等于這一邊的一半C.三邊之長為20、21、29 D. 三邊之比為1.5 : 2 : 3 3. 下列命題中，不正確的是（ ）A. 三個角的度數(shù)之比為1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三邊之比為1: :2的三角形是直角三角形；C. 三個角的度數(shù)之比為

49、1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三邊之比為:2的三角形是直角三角形.4. 如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（）ACD、EF、GH BAB、EF、GH CAB、CF、EF DGH、AB、CD5五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（ ）6. 為直角三角形的三邊，且為斜邊，為斜邊上的高，下列說法：能組成一個三角形 能組成三角形能組成直角三角形 能組成直角三角形其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D4二.填空題7若ABC中，則B_.8如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正

50、方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的ABC是_三角形9若一個三角形的三邊長分別為1、8(其中為正整數(shù))，則以、為邊的三角形的面積為_10ABC的兩邊分別為5，12，另一邊為奇數(shù)，且是3的倍數(shù)，則應為_，此三角形為_11（2015春滑縣期末）如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則三角形為 三角形12. 如果線段能組成一個直角三角形，那么_組成直角三角形.(填“能”或“不能”).三.解答題13已知是ABC的三邊，且，試判斷三角形的形狀14（2015春江津區(qū)校級月考）如圖所示，在正方形ABCD中，M為AB的中點，N為AD上的一點，且AN=AD，試猜測CMN是什么三角形，請

51、證明你的結(jié)論（提示：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）15.在等邊ABC內(nèi)有一點P，已知PA=3，PB=4，PC=5.現(xiàn)將APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60，使P點到達Q點，連PQ，猜想PQC的形狀，并論證你的猜想. 【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C； 【解析】解：A、滿足勾股定理：72+242=252，故A選項不符合題意；B、滿足勾股定理：1.52+22=2.52，故B選項不符合題意；C、不滿足勾股定理，不是勾股數(shù)，故C選項符合題意；D、滿足勾股定理：152+82=172，故D選項不符合題意故選：C2.【答案】D； 【解析】D選項不滿足勾股定理的逆定理.3.【答案】C；【解析】度數(shù)之比為1

52、:2:2，則三角形內(nèi)角分別為36：72：72.4.【答案】B；【解析】，所以這三條線段能構成直角三角形.5.【答案】C；【解析】.6.【答案】C；【解析】因為，兩邊之和等于第三邊，故不能組成一個三角形，錯誤；因為，所以能組成三角形，正確；因為，所以，即，正確；因為，所以正確.二.填空題7【答案】90； 【解析】由題意，所以B=90.8【答案】直角；【解析】=13，=52，=65，所以.9.【答案】24；【解析】79，8 10【答案】13；直角三角形；【解析】717.11.【答案】直角；【解析】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10ca2+b2+c26a8b10c+50=0即a26a+9+

53、b28b+16+c210c+25=0（a3）2+（b4）2+（c5）2=0a=3，b=4，c=5a2+b2=c2三角形為直角三角形12【答案】能；【解析】設為斜邊，則，兩邊同乘以，得，即 .三.解答題13【解析】解：因為，所以所以或，此三角形為等腰三角形或直角三角形.14【解析】解：CMN是直角三角形理由如下：設正方形ABCD的邊長為4a，則AB=BC=CD=AD=4aM是AB的中點，AM=BM=2aAN=AD，AD=4a，AN=a，DN=3a在RtAMN中，滿足AM2+AN2=MN2，且AM=2a，AN=a，MN=a同理可得：MC=a，NC=5aMN2+MC2=（a）2+（a）2=25a2，

54、NC2=（5a）2=25a2，MN2+MC2=NC2，CMN是直角三角形15.【解析】解：因為APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60得到AQC，所以APBAQC，PAQ=60，所以AP=AQ=PQ=3，BP=CQ=4，又因為PC=5，所以PQC是直角三角形.勾股定理全章復習與鞏固（提高）【學習目標】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應用勾股定理及逆定理解決有關的實際問題.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】【 勾股定理全章復習 知識要點】要點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：） 2.勾股定理的應用 勾股定理反映了直角三角

55、形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；（3）求作長度為的線段.要點二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個命題的題設和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為；（2）驗證與是否具有相等關系，若，則ABC是以C為直角的

56、直角三角形，反之，則不是直角三角形. 3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應斜邊相差1.3.假設三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判

57、定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.【典型例題】類型一、勾股定理及逆定理的應用1、如圖所示，直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD，AB，BC，E是AB上一點，且AE，求點E到CD的距離EF【思路點撥】連接DE、CE將EF轉(zhuǎn)化為DCE一邊CD上的高，根據(jù)題目所給的條件，容易求出CDE的面積，所以利用面積法只需求出CD的長度，即可求出EF的長度，過點D作DHBC于H，在RtDCH中利用勾股定理即可求出DC【答案與解析】解：過點D作DHBC于H，連接DE、CE，則ADBH，ABDH， CHBCBH DHAB，在RtCDH中， CD25， 又

58、 ， ， EF10【總結(jié)升華】（1）多邊形的面積可通過輔助線轉(zhuǎn)化為多個三角形的面積，利用面積法求三角形一邊上的高是一種常用的簡易方法（2）利用勾股定理求邊長、面積時要注意邊長、面積之間的轉(zhuǎn)換 舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，D是BC邊上的點，已知AB13，AD12，AC15，BD5，求DC的長【答案】解：在ABD中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知ADB90在RtADC中，類型二、勾股定理與其他知識結(jié)合應用2、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是

59、多少？【思路點撥】作點A關于直線CD的對稱點G，連接GB，交CD于點E，利用“兩點之間線段最短”可知應在E處飲水，再根據(jù)對稱性知GB的長為所走的最短路程，然后構造直角三角形，利用勾股定理可解決【答案與解析】解：作點A關于直線CD的對稱點G，連接GB交CD于點E，由“兩點之間線段最短”可以知道在E點處飲水，所走路程最短說明如下：在直線CD上任意取一異于點E的點I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE 點G、A關于直線CD對稱， AIGI，AEGE由“兩點之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GIBIGBAEBE，于是得證最短路程為GB的長，自點B作CD的垂線，自點G作BD的垂線交于

60、點H，在直角三角形GHB中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 GB1000，即最短路程為1000米【總結(jié)升華】這是一道有關極值的典型題目解決這類題目，一方面要考慮“兩點之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選一個量，通過與求證的那個“最大”“最小”的量進行比較來證明，如本題中的I點本題體現(xiàn)了勾股定理在實際生活中的應用舉一反三：【變式】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點E，AE3，EB1，在AC上有一點P，使EPBP最短求EPBP的最小值【答案】解：根據(jù)正方形的對稱性可知：BPDP，連接DE，交AC于P，EDEPDPEPBP， 即最短距離