數(shù)學(xué)建模 第一篇第一章

1、 第一篇線性規(guī)劃模型及應(yīng)用第一章線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型及其解的性質(zhì)1-1-1線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型引例：某工廠生產(chǎn)某種型號的機(jī)床，每臺機(jī)床上需要2.9米、2.1米和1.5米長的三種軸各一根，這些軸需要用同一種圓鋼制作，圓鋼的長度為7.4米。如果要生產(chǎn)100臺機(jī)床，應(yīng)如何下料，才能使得用料最??？分析：對于每一根長為7.4米的圓鋼，截成2.9米、2.1米和1.5米長的毛坯，可以有若干種下料方式，把它截成我們需要的長度，有以下8種下料方式（表1-1-1）：下料方式是從大到小、從長到短的順序考慮的。1假若考慮只用B方式下料，需要用料100根；3若采用木工師傅的下料方法：先下最長的、再下次長的、最后下短

2、的（見表1-1-2）：表1-1-2木工師傅的下料情況的用料表下料方式B1B5B8B合計(jì)下料根數(shù)2.9米根數(shù)2.1米根數(shù)1.5米根數(shù)50100050330990120048102296100101100動一下腦筋，就可以節(jié)約用料4根，降低成本。但這仍然不是最好的下料方法。如果要我們安排下料，暫不排除8種下料方式中的任何一種，通過建立數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型）進(jìn)行求解，尋找最好的下料方案。設(shè)用B,B,B,B,B,B,B,B方式下料的根數(shù)分別為x,x,x,x,x,x,x,x，則可以建TOC o 1-5 h z1234567812345678立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型:minS=X1+X2+X3+X4+X5

3、+X6+X7+X82x+x+x+x10012342x+x+3x+2x+x100s.t.q23567Ix+x+3x+2x+3x+4x100134678Ix1，x2,x3,x4,x5,x6,x7,x80用LINGO10.0軟件求解，程序如下：Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;根據(jù)輸出結(jié)果，得：x=40,x=20,x=0,x=0,x=0,x=30,x=0,x=0,minS=90（最優(yōu)解12345678不唯一）；或x=10,x=50,x

4、=0,x=30,x=0,x=0,x=0,x=0,minS=90。這就是最優(yōu)的下料方12345678案。下料問題是在經(jīng)濟(jì)管理中經(jīng)常遇到的問題，引例是條材下料問題、還有板材下料問題（如五金廠生產(chǎn)保險柜、服裝廠下料等）或者更復(fù)雜的下料問題。請考慮一下，下料方式能不能用計(jì)算機(jī)來設(shè)計(jì)？本問題能不能將目標(biāo)函數(shù)確定為余料最少？這都是值得讀者思考的問題。在生產(chǎn)管理和經(jīng)營活動中，經(jīng)?？紤]這樣一類問題：如何合理地利用有限的人力、物力和財力等資源，以便得到最好的經(jīng)濟(jì)效果。下面分四個方面介紹典型的建立線性規(guī)劃模型的方法。一、合理下料問題例1某工廠生產(chǎn)某種型號的機(jī)床，每臺機(jī)床上需要2.9米、2.1米和1.5米長的三種軸

5、分別為1根、2根、1根，這些軸需要用同一種圓鋼制作，圓鋼的長度為7.4米。如果要生產(chǎn)100臺機(jī)床，應(yīng)如何下料，才能使得用料最??？關(guān)于下料方式的分析如引例，下料方式見表1-1-1，該問題的數(shù)學(xué)模型為：設(shè)用B,B,B,B,B,B,B,B方式下料的根數(shù)分別為x,x,x,x,x,x,x,x，貝V：TOC o 1-5 h z1234567812345678minS=x+x+x+x+x+x+x+x123456782x+x+x+x10012342x+x+3x+2x+x200S.t.Q23567x+x+3x+2x+3x+4x100134678x,x,x,x,x,x,x,x012345678可以用LINGO10

6、.0求解，得x=20,x=60,x=0,x=0,x=0,x=40,x=0,x=0;minS=120。12345678注：本題的最優(yōu)解不唯一。一般下料問題：設(shè)用某種材料（條材或板材）下零件A,A,A的毛坯，根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)，在12m一件原料上有B,B2,B種不同的下料方式，每種合理的下料方式可得各種毛坯個數(shù)及每種零件的12n需要量如表1-1-3。問：應(yīng)怎樣安排下料方式，既能滿足需要，又使得用料最??？設(shè)用B方式下料的數(shù)量為x（j=1,2,n），則建立線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型:jj 123 minS=x+xHbx12ncx+cxHbcxa1111221nn1cx+cxHbcxa2112222nn2s.t.

7、am11m22mnnmx,x，,x0,整數(shù)12n或者S工minS=xjj=1厶c.x.a.(i=1,2,m)s.t.0,j=1,2,nj建立線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型的基本要素：決策變量明確問題中有待確定的未知變量（稱為決策變量），并用數(shù)學(xué)符號表示；約束條件明確問題中所有的限制條件（約束條件）并且用決策變量的一些表達(dá)式（線性等式或線性不等式）來表示；目標(biāo)函數(shù)明確解決問題要達(dá)到的目標(biāo)，并用決策變量的線性函數(shù)（稱為目標(biāo)函數(shù)）表示，按問題的要求，求其最大值或最小值。通常把決策變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)稱為線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的三個基本要素。從我們所建立的數(shù)學(xué)模型來看，目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)、約束條件是決策

8、變量的線性等式或不等式，因此我們稱此為線性規(guī)劃（LinearProgramming,簡記為LP）模型。二、資源合理利用（資源的最優(yōu)配置）問題例2某工廠要安排一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，該產(chǎn)品有I、II、III三種型號，生產(chǎn)這種產(chǎn)品均需要兩種主要資源：原材料和勞動力。每件產(chǎn)品所需資源數(shù)、現(xiàn)有資源數(shù)量以及每件產(chǎn)品的出售價格如表1-1-4。假定該產(chǎn)品只要生產(chǎn)出來即可銷售出去，試確定這三種產(chǎn)品的日產(chǎn)量使總產(chǎn)值最大。表1-1-4資源利用問題的數(shù)據(jù)產(chǎn)品資源IIIIII現(xiàn)有資源數(shù)量原材料（公斤）436120公斤勞動力（小時）245100小時價格（元）453解：設(shè)該工廠計(jì)劃日產(chǎn)產(chǎn)品I、II、III的數(shù)量分別為,x2,x3

9、件，則可建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型:maxS=4x+5x+3x1234x+3x+6x120123s.t.l2x+4x+5x0,x0,x0123通過LINGO10.0求解，程序?yàn)椋簃ax=4*x+5*x+3*x123;4*x1+3*x2+6*x3=120;2*x+4*x+5*x=100;得到最優(yōu)解：x=18,x=16,x=0,maxS=152123一般地，用m種資源A,A，,A可以生產(chǎn)n種產(chǎn)品B,B，,B?，F(xiàn)有原料數(shù)a（可利用資源12m12ni數(shù)量）、每單位產(chǎn)品所需原料數(shù)c（消耗系數(shù)）及每單位產(chǎn)品可得利潤b（i=1,2,m;j=1,2,n）如ijj表1-1-5。問：應(yīng)如何組織生產(chǎn)才能使總利潤最大？表1

10、-1-5一般資源利用問題的數(shù)據(jù)資源產(chǎn)品B1B2Bn現(xiàn)有原料數(shù)Accca111121n1Accca221222n2Acccamm1m2mnm單位產(chǎn)品利潤b1b2b設(shè)x表示生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量（j=,n），則可建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型:jjmaxS=bx+bxH+bx1122nncx+cxHHcxa1111221nn1cxHcxHHcxa2112222nn2StcxHcxHHcx012n這種類型的資源利用（或者稱為資源配置）問題是最常見的，而且在經(jīng)濟(jì)分析中是最重要的。只要求出最優(yōu)解，最優(yōu)計(jì)劃即可作出，并且可以進(jìn)一步作經(jīng)濟(jì)分析和優(yōu)化分析。三、配料問題（食譜問題）例3某公司飼養(yǎng)實(shí)驗(yàn)用的動物以供出售，已知這些動

11、物的生長對飼料中3種主要營養(yǎng)成分（蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)和維生素）特別敏感，每個動物每天至少需要蛋白質(zhì)70g，礦物質(zhì)3g,維生素10mg，該公司能買到5種不同的飼料州,A2,A3,A4,A5，每種飼料1kg所含各種營養(yǎng)成分和成本如表1-1-6,求既能滿足動物生長需要，又使總成本最低的飼料配方。表1-1-6配料（食譜）問題的數(shù)據(jù)飼料AAAAA呂養(yǎng)最低營養(yǎng)12345要求蛋白質(zhì)（g）0.3210.61.870礦物質(zhì)（g）0.10.050.020.20.053維生素（mg）0.050.10.020.20.0810成本（兀）0.20.70.40.30.5解：設(shè)配方中需要A的數(shù)量別為x（j=123,4,5）kg,

12、則可建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型:jjminS=02x1H07x2H04x3H03x4H05x50.3x+2x+x+0.6x+1.8x70TOC o 1-5 h z1234501x+0.05x+0.02x+0.2x+0.05x3s.t.J123450.05x+0.1x+0.02x+0.2x+0.08x1012345x1,x2,x3,x4,x50通過LINGO10.0求解，程序?yàn)椋篗in=0.2*x+0.7*x+0.4*x+0.3*x+0.5*x12345;0.3*x+2*x+x+0.6*x+1.8*x=70;123450.1*x+0.05*x+0.02*x+0.2*x+0.05*x=3;TOC o 1

13、-5 h z123450.05*x+0.1*x+0.02*x+0.2*x+0.08*x=10;12345求解，得x1=0，x2=0，x3=0，x4=39.74，x5=25.64，minS=24.74。說明：該模型應(yīng)該還要增加約束x+x+x+x+xa1111221nn1cxHcxHHcxa2112222nn2StcxHcxHHcxam11m22mnnmx,x，,x012n注：應(yīng)該還要增加一個約束條件：xHxHHx0(i=1,2;j=1,2,3)ij用LINGO10.0編程：Min=50*x+60*x+70*x+60*x+110*x+60*x111213212223;x11+x12+x13=23;

14、x21+x22+x23=27;x11+x21=18;x12+x22=17;x13+x23=15;通過求解得：x11=6,x12=17,x13=0；x21=12,x22=0,x23=15；minS=2940一般地，某種物資有m個產(chǎn)地：A,A，,A，聯(lián)合供應(yīng)n個銷地B,B，,B。各產(chǎn)地產(chǎn)量a、TOC o 1-5 h z12m12ni HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 各銷地銷量b、產(chǎn)地A到銷地B的單位產(chǎn)品運(yùn)價c(i=1,2,m;j=1,2,n)如表1-1-9，應(yīng)如何組jijij織供應(yīng)才能使得總運(yùn)費(fèi)最省？表1-1-9一般運(yùn)輸問題的數(shù)據(jù)平衡表運(yùn)價表J、

15、銷地產(chǎn)地B1B2Bn產(chǎn)量（噸）B1B2BnA1a1c11c12cA2a2c21c22c2nnAaccc銷量（噸）b1b2bTOC o 1-5 h z設(shè)x表示產(chǎn)地A供應(yīng)銷地B的數(shù)量（i=1,2,m；j=1,2,n）ijij當(dāng)產(chǎn)銷平衡（遲a=b）時，數(shù)學(xué)模型為：iji=1j=1mnminS=乙乙cxijiji=1j=1工x=ai=1,2,miji文1厶x.=b.j=1,2,nijji=1x.0i=1,2,.,m;j=1,2,.,nij當(dāng)產(chǎn)銷不平衡時，（產(chǎn)量大于銷量區(qū)aXb）數(shù)學(xué)模型為:iji=1j=1minS=ijiji=1j=1厶xb)j=1,2，,nijjji=1x.0i=1,2,.,m;j=

16、1,2,.,nij類似的模型還有農(nóng)作物布局問題：某農(nóng)場要在B,B，,B這n塊土地上種植m種農(nóng)作物A,A，,A。土地B的面積b、農(nóng)作12n12mjj物A的計(jì)劃播種面積a以及作物A在土地B上的單產(chǎn)c(i=1,2,.,m;j=1,2,.,n)如表1-1-10。應(yīng)如iiijij何安排種植計(jì)劃，才使總產(chǎn)量最大？表1-1-10農(nóng)作物布局問題的數(shù)據(jù)平衡表產(chǎn)量表土地作物B1B2Bn播種面積B1B2BnA1a1e11e12eA2a2e21eeAaeee土地面積b1b2bnTOC o 1-5 h z設(shè)x表示土地B種植農(nóng)作物A的面積(i=1,2,m；j=1,2,n)，則線性規(guī)劃模型:ijjimaxS=ijiji=1

17、j=1工x=ai=1,2,.,mjisJy?1幾“厶x.=b.j=1,2,.,nijji=1x.0i=1,2,.,m;j=1,2,.,nij這個問題的數(shù)學(xué)模型與運(yùn)輸問題的數(shù)學(xué)模型相同，還有其它的問題也可以建立類似結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，統(tǒng)稱為(經(jīng)典)運(yùn)輸問題，這類數(shù)學(xué)模型稱為康希問題。關(guān)于運(yùn)輸問題有專門的求解方法運(yùn)輸問題的表上作業(yè)法將在本篇第四章中專門介紹。一般地，線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型具有以下形式:min(max)S=ex+ex+.+ex1122nnax+ax+.+ax=b(b,b,b)2112222nn222,s.t.b,0j=1,2,.,nj我們稱滿足所有約束條件的X=(x1,x2,.,x)T為

18、線性規(guī)劃問題的可行解；使目標(biāo)函數(shù)取到最小12n值(或最大值，與模型的目標(biāo)函數(shù)要求一致)的可行解稱為線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際問題的抽象數(shù)學(xué)形式，它反映了客觀事物數(shù)量間的本質(zhì)規(guī)律。建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，沒有統(tǒng)一的方法，要具體問題具體分析。主要是抓住問題的本質(zhì)，建立既簡單又比較真實(shí)反映問題規(guī)律的模型。一般的線性規(guī)劃問題通過計(jì)算機(jī)軟件（Lingo或Matlab等）可以求出最優(yōu)解。下面先介紹兩個變量線性規(guī)劃問題解的圖解法，以便對線性規(guī)劃的解有一個直觀的認(rèn)識。1-1-2兩個變量線性規(guī)劃問題的圖解法例5某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需設(shè)備臺時及對甲

19、、乙兩種原材料的消耗，有關(guān)數(shù)據(jù)如表1-1-11。問：應(yīng)如何安排計(jì)劃，使工廠獲利最大？表1-1-11生產(chǎn)計(jì)劃問題的數(shù)據(jù)、產(chǎn)品資源AB可利用資源設(shè)備128臺時甲4016公斤乙0412公斤單位利潤2百元3百元解：設(shè)計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的數(shù)量分別為x,x,則建立線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型為:12maXS=2X1+3X2x+2x824x16s.t.14x22s.t.一2x+3x012解：該問題的可行解區(qū)域?yàn)闊o界區(qū)域EABCD，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的等值線向右上方移動時，目標(biāo)函數(shù)值可無限增大（如圖1-1-3），因此該問題無有界的最優(yōu)解。maxS=+（只可能出現(xiàn)在可行解區(qū)域無界的情況）。圖1-1-3例8用圖解法求解線性

20、規(guī)劃問題minS=2x+x12x+2x212s.t.一2x+3x012解：該問題的可行解區(qū)域仍為圖1-1-3中的無界區(qū)域EABCD，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的等值線向右上方移動時，目標(biāo)函數(shù)可無限增大。但本題是求目標(biāo)函數(shù)的最小值，目標(biāo)函數(shù)的等值線向左下方移動時，在B點(diǎn)有惟一的最優(yōu)解（如圖1-1-3）。最優(yōu)解為：x=0,x=1,minS=1。12例9用圖解法求解線性規(guī)劃問題minS=3x+2x122x+x312x,x012解：滿足四個約束條件的公共部分不存在（如圖1-1-4），本題無可行解，當(dāng)然亦無最優(yōu)解。420-2242x2x11+x2=2圖1-1-4x1-2x2=3通過以上舉例，我們可以看出線性規(guī)劃解的情況

21、：最優(yōu)解惟一（例5、例8）有最優(yōu)解91100250000；用于混合飛機(jī)汽油解：設(shè)標(biāo)準(zhǔn)汽油1，2，3，4用于混合飛機(jī)汽油1的數(shù)量分別為x,x,x,x12342的數(shù)量分別為x,x,x,x，則可建立數(shù)學(xué)模型：5678maxZ=x+x+x+x1234x+x380000TOC o 1-5 h z5x+x2622006x+x91x+x+x+x1234107.5x+93x+87x+108x、“門x+x+x+x7.11x+F1.38x+5.69x+28.45x12349.96x+x+x+x12347.11x+11.38x+5.69x+28.45x56782500005678s.t.x+x0說明：其中有4個約束

22、條件是分式不等式，可以化為線性不等式。整理以后就是線性規(guī)劃模型。maxS=x+x+x+x1234x+x380000TOC o 1-5 h z5x+x2622006x+x4081007x+x0s.t.J12347.5x-7x-13x+8x056782.85x-1.42x+4.27x-18.49x012342.85x-1.42x+4.27x-18.49x05678x+x+x+x2500005678x,x,x,x,x,x,x,x012345678下面我們用LINGO10.0來解這一線性規(guī)劃問題。輸入語句Model:max=x1+x2+x3+x4;x1+x5=380000;x+x=262200;26x

23、3+x7=408100;x4+x8=0;12347.5*x5-7.0*x6-13.0*x7+8.0*x8=0;2.85*x-1.42*x+4.27*x-18.49*x=0;12342.85*x5-1.42*x6+4.27*x7-18.49*x8=0;x5+x6+x7+x8=250000;End說明：開頭的Model:和結(jié)尾的End可以省略。LINGO規(guī)定變量非負(fù)的，我們可發(fā)現(xiàn)輸入方式與我們的數(shù)學(xué)模型的書寫形式基本一致。運(yùn)行結(jié)930400.0果輸出如下：Objectivevalue:Totalsolveriterations:VariableValueReducedCostX1264732.80

24、.000000X2132708.90.000000X3408100.00.000000X4124858.20.000000X5115267.20.000000X6129491.10.000000X70.0000000.000000X85241.7540.000000RowSlackorSurplusDualPrice1930400.01.00000020.0000001.00000030.0000001.00000040.0000001.00000050.0000001.00000065123700.0.00000070.0000000.00000080.0000000.00000094771

25、4.000.000000100.000000-1.000000下面給出其結(jié)果的一般解釋：“Objectivevalue:930400.0”表示最優(yōu)目標(biāo)值為930400?！癟otalsolveriterations:7”表示用單純形方法迭代7次求得問題的最優(yōu)解?！癡alue”給出最優(yōu)解中各變量的值?！癝lackorSurplus”給出松弛變量的值。本例中第10行松弛變量=0（模型第1行表示目標(biāo)函數(shù)，所以第10行對應(yīng)第9個約束，以此類推）?！癛educedCost”列出最優(yōu)單純形表中判別數(shù)所在行的變量的系數(shù)，表示當(dāng)變量有微小變動時，目標(biāo)函數(shù)的變化率，其中基變量的reducecost值應(yīng)為0,對于非

26、基變量x相應(yīng)的reducecost值表示xjj增加一個單位（此時假定其他非基變量保持不變）時目標(biāo)函數(shù)減小的量（max型問題）。本例中：X對應(yīng)的reducecost值為0,表示當(dāng)x有微小變動時，目標(biāo)函數(shù)值不變。“DualPrice”（對偶價格）列出最優(yōu)單純形表中判別數(shù)所在行的松弛變量的系數(shù)，表示當(dāng)對應(yīng)約束有微小變動時，目標(biāo)函數(shù)的變化率，輸出結(jié)果中對應(yīng)每一個約束有一個對偶價格（影子價格）。若其數(shù)值為X，表示對應(yīng)約束中不等式右端項(xiàng)若增加一個單位，目標(biāo)函數(shù)將增加x個單位（max型問題）。本例中：第10行對應(yīng)的對偶價格值應(yīng)為-1，表示當(dāng)約束x+x+x+x250000變?yōu)?678x+x+x+x250001

27、時，目標(biāo)函數(shù)值=930400-1=9303995678當(dāng)ReducedCost或DualPrice的值為0。表示當(dāng)微小擾動不影響目標(biāo)函數(shù)。有時，通過分析DualPrice，也可對產(chǎn)生不可行問題的原因有所了解。默認(rèn)情況下LINGO的靈敏度分析的功能是關(guān)閉的。如果要看靈敏度分析結(jié)果，必須激活靈敏度分析功能才會在求解時給出靈敏度分析結(jié)果。想要激活它，必須運(yùn)行LINGOIOptions命令，選擇GengralSolver，在DualComputation列表框中，選擇PricesandRanges（默認(rèn)Prices）選項(xiàng)并確定。本題的靈敏度分析結(jié)果如下：Rangesinwhichthebasisisu

28、nchanged:ObjectiveCoefficientRanges（目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的靈敏度分析）CurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX11.0000000.00.0X21.0000000.00.0X31.000000INFINITY0.0X41.00000015.131860.0X50.00.00.0X60.00.00.0X70.00.0INFINITYX80.00.01.162101RighthandSideRanges（約束條件右端常數(shù)項(xiàng)的靈敏度分析）RowCurrentAllowableAllowabl

29、eRHSIncreaseDecrease2380000.039519.5916741.753262200.033601.4179317.484408100.026377.2411174.245130100.02580.5306091.44660.05123700.INFINITY70.01890576.382470.080.047714.00112630.890.047714.00INFINITY10250000.0256061.0175607.2靈敏度分析：如果作靈敏度分析，則系統(tǒng)報告當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的費(fèi)用系數(shù)和約束右端項(xiàng)在什么范圍變化（此時假定其他系數(shù)保持不變）時，最優(yōu)基保持不變。報告中INFI

30、NITY表示正無窮，如本例中，目標(biāo)函數(shù)中xx4的變量系數(shù)為1,當(dāng)它在1-0,1+15.13186=1,16.16186范圍變化時，最4優(yōu)基保持不變。第9個約束右端項(xiàng)為250000（飛機(jī)汽油2不低于250000），當(dāng)它在250000-175607.2,250000+256061=74392.8,506061范圍內(nèi)變化時，最優(yōu)基保持不變，對偶價格-1保持不變。例12兩輛鐵路平板車的裝貨問題（美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽1988年B題）有七種規(guī)格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度（t,以厘米計(jì)）及重量（w,以公斤計(jì)）是不同的。表1-1-14給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量

31、。每輛平板車有10.2米長的地方可用來裝包裝箱（像面包片那樣），載重為40噸。由于當(dāng)?shù)刎涍\(yùn)的限制，對C5、C6、C7類的包裝箱的總數(shù)有一個特別的限制：這類箱子所占的空間（厚度）不能超過302.7厘米。試把包裝箱（見表1-1-14）裝到平板車上去使得浪費(fèi)的空間最小。表1-1-147種規(guī)格的包裝箱的厚度、重量及數(shù)量C1C2C3C4C5C6C7t（厘米）48.752.061.372.048.752.064.0w（公斤）200030001000500400020001000件數(shù)8796648解：設(shè)第i輛鐵路平板車裝載第j種規(guī)格的包裝箱的數(shù)目為xji=1,2;j=123,4,5,6,7），則可以建立整數(shù)

32、規(guī)劃模型。(略)用LINGOIO.O求解的程序如下：max=48.7*x11+48.7*x21+52*x12+52*x22+61.3*x13+61.3*x23+72*x14+72*x24+48.7*x15+48.7*x25+52*x16+52*x26+64*x17+64*x27;x11+x21=8;x12+x22=7;x13+x23=9;x14+x24=6;x15+x25=6;x16+x26=4;x17+x27=8;2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17=40;2*x21+3*x22+x23+0.5*x24+4*x25+2*x26+x27=40;48.7

33、*x11+52*x12+61.3*x13+72*x14+48.7*x15+52*x16+64*x17=1020;48.7*x21+52*x22+61.3*x23+72*x24+48.7*x25+52*x26+64*x27=1020;48.7*x15+52*x16+64*x17+48.7*x25+52*x26+64*x2760%15%8.002000B6.002500C20%60%50%4.001200加工費(fèi)（元千克）2.0161.2售價（元）1361149A1A2B1，B2，B3B1B2A22某廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品I、II、III,每種產(chǎn)品都要經(jīng)過A,B兩道工序加工。設(shè)該廠有兩種規(guī)格的設(shè)備能完成A工序，它們以A1，A2表示；有三種規(guī)格的設(shè)備能完成B工序，它們以B1,B2,B3表示。產(chǎn)品I可在A，B任何一種規(guī)格的設(shè)備上加工，產(chǎn)品II可在任何規(guī)格的A設(shè)備上加工，但完成B工序時，只能在B1設(shè)備上加工；產(chǎn)品III只能在A2與B2設(shè)備上加工。已知在各種設(shè)備的單位工時、原材料費(fèi)