高等數(shù)學(xué)上冊(cè)第五節(jié)函數(shù)微分以及其應(yīng)用

1、關(guān)于高等數(shù)學(xué)上冊(cè)第五節(jié) 函數(shù)的微分及其應(yīng)用第一張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、微分的概念 引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為 A , 則面積的增量為關(guān)于x 的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在 的微分當(dāng) x 在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其第二張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月的微分,定義: 若函數(shù)在點(diǎn) 的增量可表示為( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù)而 稱為記作即定理: 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,第三張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理 : 函數(shù)證: “必要性” 已知在點(diǎn) 可微 ,則故在

2、點(diǎn) 的可導(dǎo),且在點(diǎn) 可微的充要條件是在點(diǎn) 處可導(dǎo),且即第四張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理 : 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件是在點(diǎn) 處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn) 的可導(dǎo),則第五張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月說(shuō)明:時(shí) ,所以時(shí)很小時(shí), 有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)?shù)诹鶑?，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng) 很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記二.微分的幾何意義第七張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1 設(shè)求當(dāng)及時(shí)，函數(shù)的增量和微分的值 .解:當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增量 則時(shí)， 則時(shí)，第八張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、

3、 微分運(yùn)算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則(C 為常數(shù))分別可微 ,的微分為微分形式不變式5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)基本初等函數(shù)的微分公式 (見(jiàn) P72表)第九張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3.設(shè)解:，求 第十張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例4.設(shè) 求解:先化簡(jiǎn)第十一張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例+. 設(shè)求 解: 利用一階微分形式不變性 , 有例5. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說(shuō)明: 上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意: 數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.第十二張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往

4、往出現(xiàn)多值性 , 例如第十三張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月四、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:（一）函數(shù)值的近似計(jì)算第十四張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得第十五張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解: 以例6.半徑為10 厘米的金屬圓片加熱后， 半徑伸長(zhǎng)了0.05厘米， 問(wèn)面積達(dá)約增加了多少？分別表示圓片的面積及半徑， 則當(dāng)厘米， 厘米，時(shí) 面積的增量（厘米2）第十六張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月的近似值 .例7. 求解: 設(shè) 則令則由得第十七張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月的

5、近似值 .例8. 求解: 由公式第十八張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月內(nèi)容小結(jié)1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可微2. 微分運(yùn)算法則微分形式不變性 :( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差第十九張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù)的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并說(shuō)明其正負(fù) .第二十張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2.第二十一張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1. 已知求解：因?yàn)樗詡溆妙}第二十二張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月方程兩邊求微分, 得已知求解：2.第二十三張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（二）函數(shù)的誤差估計(jì)例1. 計(jì)算球的體積可精確至， 若根據(jù)這個(gè)體積來(lái)推算球的半徑 則的相對(duì)誤差是多少？解: 由公式則于是 因此 第二十四張，PPT共二十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2.有一批半徑為1cm 的球 , 為了提高球面的光潔度,解: 已知球體體積為鍍銅體積為 V 在時(shí)體積的增量因此每只球需用銅約為( g )用銅多少克 .