高考數(shù)學(xué)(理)：1-1集合及其運(yùn)算+1-2命題及其關(guān)系、充要條件+1-3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)量詞與存在量詞

1、第1講集合及其運(yùn)算知 識(shí) 梳 理1集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征： 、 、無(wú)序性(2)元素與集合的關(guān)系為 或 關(guān)系，分別用符號(hào) 或 表示 (3)集合的表示法： 、 、圖示法、區(qū)間法(4)常用數(shù)集：自然數(shù)集N、正整數(shù)集N*(或N)、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R.(5)集合的分類(lèi)：按集合中元素個(gè)數(shù)劃分，集合可以分 為 、無(wú)限集、空集確定性 互異性 屬于 不屬于 列舉法 描述法 有限集 AB 子集 2n 2n1 3集合的運(yùn)算及其性質(zhì)(1)集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算并集：ABx|xA，或xB；交集：AB ；補(bǔ)集：UA U為全集，UA表示A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(2)集合的運(yùn)算性質(zhì)并集的性質(zhì)：AA；AAA

2、；ABABA.交集的性質(zhì)：A；AAA；ABAAB.補(bǔ)集的性質(zhì)：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.x|xA，且xB x|xU，且xA 辨 析 感 悟1元素與集合的辨別(1)若x2,10,1，則x0,1.()(2)含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，真子集個(gè)數(shù)是2n1，非空真子集的個(gè)數(shù)是2n2.()(3)若Ax|yx2，B(x，y)|yx2，則ABx|xR()感悟提升1一點(diǎn)提醒求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件如第(3)題就是混淆了數(shù)集與點(diǎn)集2兩個(gè)防范一是忽視元素的互異性，如(1)；二是運(yùn)算不準(zhǔn)確，尤其是運(yùn)用數(shù)軸圖

3、示法時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心，如(6).考點(diǎn)一集合的基本概念【例1】 (1)(2013江西卷改編)若集合AxR|ax2ax10中只有一個(gè)元素，則a_.(2)(2013山東卷改編)已知集合A0,1,2，則集合Bxy|xA，yA中元素的個(gè)數(shù)是_解析(1)由ax2ax10只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，可得當(dāng)a0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)a0時(shí)，則a24a0，解得a4.(a0不合題意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案(1)4(2)5規(guī)律方法 集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿(mǎn)足互異性答案1 考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系【例2】 (1)已知

4、集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍(2)設(shè)UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值解(1)當(dāng)B時(shí)，有m12m1，則m2.當(dāng)B時(shí)，若BA，如圖(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判別式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，則m1；若B2，則應(yīng)有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，這兩式不能同時(shí)成立，B2；若B1，2，則應(yīng)有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由這兩式得m2.經(jīng)檢驗(yàn)知m1和m2符合條件m1或2.規(guī)律方法 (1)已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中

5、的元素，對(duì)子集是否為空集進(jìn)行分類(lèi)討論，做到不漏解(2)在解決兩個(gè)數(shù)集關(guān)系問(wèn)題時(shí)，避免出錯(cuò)的一個(gè)有效手段是合理運(yùn)用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論【訓(xùn)練2】 (1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，則滿(mǎn)足條件ACB的集合C的個(gè)數(shù)為_(kāi)(2)(2014鄭州模擬)已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，則實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合為_(kāi)考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算【例3】 (1)(2013山東卷改編)已知集合A，B均為全集U1,2，3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，則AUB_.(2)(2014唐山模擬)若集合My|y3x，集合Sx|ylg

6、(x1)，則下列各式正確的是_MSM；MSS；MS；MS解析(1)由U(AB)4知AB1,2,3又B1,2，3A，UB3,4，AUB3(2)My|y0，Sx|x1，故只有正確答案(1)3(2)規(guī)律方法 一般來(lái)講，集合中的元素離散時(shí)，則用Venn圖表示；集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù)時(shí)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況【訓(xùn)練3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，則(UA)B為_(kāi)(2)已知全集UR，集合Ax|1x3，集合Bx|log2(x2)1，則A(UB)_.解析(1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)由log2(x2)1，得0 x22,2x4，所以Bx|2x4故

7、UBx|x2，或x4，從而A(UB)x|1x2答案(1)0,2,4(2)x|1x2數(shù)軸和韋恩(Venn)圖是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合問(wèn)題的常用方法，解題時(shí)要先把集合中各種形式的元素化簡(jiǎn)，使之明確化，盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問(wèn)題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決 創(chuàng)新突破1與集合有關(guān)的新概念問(wèn)題【典例】 已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)解析法一(列表法)因?yàn)閤A，yA，所以x，y的取值只能為1,2,3,4,5，故x，y及xy的取值如下表所示：由題意xyA，故xy只

8、能取1,2,3,4，由表可知實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)的取值滿(mǎn)足條件的共有10個(gè)，即B中的元素個(gè)數(shù)為10.y xyx12345101234210123321012432101543210法二(直接法)因?yàn)锳1,2,3,4,5，所以集合A中的元素都為正數(shù)，若xyA，則必有xy0，xy.當(dāng)y1時(shí)，x可取2,3,4,5，共有4個(gè)數(shù)；當(dāng)y2時(shí)，x可取3,4,5，共有3個(gè)數(shù)；當(dāng)y3時(shí)，x可取4,5，共有2個(gè)數(shù)；當(dāng)y4時(shí)，x只能取5，共有1個(gè)數(shù)；當(dāng)y5時(shí)，x不能取任何值綜上，滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)為432110.答案10反思感悟 (1)解決集合中新定義問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的實(shí)質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論

9、證，把其轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本運(yùn)算(2)以集合為載體的新定義問(wèn)題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，常見(jiàn)的命題形式有新概念、新法則、新運(yùn)算等，這類(lèi)試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力【自主體驗(yàn)】設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于kA，如果k1A，且k1A，那么稱(chēng)k是A的一個(gè)“好元素”給定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_個(gè)解析依題，可知由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”，則這3個(gè)元素一定是相連的3個(gè)數(shù)故這樣的集合共有6個(gè)答案6第2講命題及其關(guān)系、充要條件知 識(shí) 梳 理1命題的概念在數(shù)學(xué)中用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)

10、的，可以 的語(yǔ)句叫做命題，其中判斷為 的語(yǔ)句叫真命題，判斷為 的語(yǔ)句叫假命題判斷真假 真 假 2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有 的真假性；兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系3充分條件、必要條件與充要條件(1)如果pq，則p是q的 ，q是p的 ；(2)如果pq，qp，則p是q的 充分條件 必要條件 充要條件 相同 感悟提升1一個(gè)區(qū)別否命題與命題的否定是兩個(gè)不同的概念否命題同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，命題的否定僅僅否定原命題的結(jié)論(條件不變)，如(1)把否命題錯(cuò)看成是命題的否定考點(diǎn)一命題及其相互關(guān)系【例1】 已知：命

11、題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”，則否命題是“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)，則m1”，是真命題；逆命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)”，是假命題；逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)”，是真命題；逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”，是真命題以上四個(gè)結(jié)論正確的是_(填序號(hào))解析由f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則f(x)exm0恒成立，m1.命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”是真命題，所以其逆否命題“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增

12、函數(shù)”是真命題答案規(guī)律方法 (1)在判斷四種命題的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的條件與結(jié)論，當(dāng)確定了原命題時(shí)，要能根據(jù)四種命題的關(guān)系寫(xiě)出其他三種命題(2)當(dāng)一個(gè)命題有大前提時(shí)，若要寫(xiě)出其他三種命題，大前提需保持不變(3)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例(4)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假【訓(xùn)練1】 (2013吉林白山二模)命題“若a2b20，則a0且b0”的逆否命題是_答案若a0或b0，則a2b20考點(diǎn)二充分條件、必要條件的判斷【例2】 (1)(2013福建卷改編)設(shè)

13、點(diǎn)P(x，y)，則“x2且y1”是“點(diǎn)P在直線(xiàn)l：xy10上”的_條件(2)(2013濟(jì)南模擬)如果a(1，k)，b(k,4)，那么“ab”是“k2”的_條件解析(1)當(dāng)x2且y1時(shí)，滿(mǎn)足方程xy10，但方程xy10有無(wú)數(shù)多個(gè)解，不能確定x2且y1，“x2且y1”是“點(diǎn)P在直線(xiàn)l上”的充分而不必要條件(2)因?yàn)閍b，所以14k20，即4k2，所以k2.所以“ab”是“k2”的必要不充分條件答案(1)充分而不必要(2)必要不充分規(guī)律方法 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)

14、雜問(wèn)題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題答案充分不必要 1當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫(xiě)出其它三種命題時(shí)，必須保留大前提，也就是大前提不動(dòng)；對(duì)于由多個(gè)并列條件組成的命題，在寫(xiě)其它三種命題時(shí)，應(yīng)把其中一個(gè)(或幾個(gè))作為大前提2數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題與定理是有區(qū)別的；命題有真假之分，而定理都是真的3命題的充要關(guān)系的判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假(2)等價(jià)法：利用AB與綈B綈A，BA與綈A綈B，AB與綈B綈A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若AB，

15、則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件 反思感悟 本例涉及參數(shù)問(wèn)題，直接解決較為困難，先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問(wèn)題來(lái)解決一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問(wèn)題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來(lái)考慮，這是破解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵【自主體驗(yàn)】1(2013山東卷改編)給定兩個(gè)命題p，q.若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的_條件答案充分不必要 2已知命題p：x22x30；命題q：xa，且綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是_1，)；(，1；1，)；(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，可

16、知綈p是綈q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件故a1.答案 第3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)量詞與存在量詞 1簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞命題中的“ ”、“ ”、“ ”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞(2)命題pq，pq，綈p的真假判斷且或非真假假假假真真假真假假真假假真假真真真真綈ppqpqqp2. 全稱(chēng)量詞與存在量詞(1)“所有”、“任意”、“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中稱(chēng)為全稱(chēng)量詞，用符號(hào)“x”表示“對(duì)任意x”，含 有 的命題，稱(chēng)為全稱(chēng)命題全稱(chēng)命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為： (2)“有一個(gè)”、“有些”、“存在一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中稱(chēng)為存在量詞用符號(hào)“x”

17、表示“存在x”，含有存在量詞的命題稱(chēng)為 存在性命題“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可以用符號(hào)簡(jiǎn)記為： 全稱(chēng)量詞 xM，p(x) 存在性命題 xM，p(x) 3含有一個(gè)量詞的命題的否定xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)命題的否定命題辨 析 感 悟1邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解與應(yīng)用(1)命題pq為假命題的充要條件是命題p，q至少有一個(gè)假命題()(2)命題pq為假命題的充要條件是命題p，q至少有一個(gè)假命題()2對(duì)命題的否定形式的理解(3)(2013山西四校聯(lián)考改編)“有些偶數(shù)能被3整除”的否定是“所有的偶數(shù)都不能被3整除”()(4)(2013東北聯(lián)考改編)命題p：n0N,2n01

18、 000， 則綈p：n N,2n1 000. ()(5)(2013四川卷改編)設(shè)xZ，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集，若命題p：xA,2xB，則綈p：xA,2xB.()(6)已知命題p：若xy0，則x，y中至少有一個(gè)大于0，則綈p：若xy0，則x，y中至多有一個(gè)大于0.()感悟提升1一個(gè)區(qū)別邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與日常生活中的“或”是有區(qū)別的，前者包括“或此、或彼、或兼”三種情形，后者僅表示“或此、或彼”兩種情形有的含有“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)詞的命題，從字面上看不一定有“且”“或”“非”等字樣，這就需要我們掌握一些詞語(yǔ)、符號(hào)或式子與邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的關(guān)系如“并且”、“綉”的含義為“且”；

19、“或者”、“”的含義為“或”；“不是”、“”的含義為“非”2兩個(gè)防范一是混淆命題的否定與否命題的概念導(dǎo)致失誤，綈p指的是命題的否定，只需否定結(jié)論如(5)、(6)；二是否定時(shí)，有關(guān)的否定詞否定不當(dāng)，如(6)答案假假 規(guī)律方法 若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，再依據(jù)“或”一真即真，“且”一假即假，“非”真假相對(duì)，做出判斷即可【訓(xùn)練1】 (2013湖北卷改編)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定范圍”可表示為_(kāi)(綈p)(綈q)；p(綈q)；(綈p)(綈q

20、)；pq解析命題“至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定范圍”包含以下三種情況：“甲、乙均沒(méi)有降落在指定范圍”“甲降落在指定范圍，乙沒(méi)有降落在指定范圍”“乙降落在指定范圍，甲沒(méi)有降落在指定范圍”或者，命題“至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定范圍”等價(jià)于命題“甲、乙均降落在指定范圍”的否命題，即“pq”的否定答案規(guī)律方法 對(duì)含有存在(全稱(chēng))量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：(1)將存在(全稱(chēng))量詞改寫(xiě)成全稱(chēng)(存在)量詞；(2)將結(jié)論加以否定這類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是沒(méi)有變換量詞，或者對(duì)于結(jié)論沒(méi)給予否定有些命題中的量詞不明顯，應(yīng)注意挖掘其隱含的量詞【訓(xùn)練2】 (1)(2013江門(mén)、佛山模擬)已知命題p：x1，x210，那么

21、綈p是_(2)命題：“對(duì)任意k0，方程x2xk0有實(shí)根”的否定是_解析(1)特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題，所以綈p：x1，x210.(2)將“任意”改為“存在”，“有實(shí)根”改為“無(wú)實(shí)根”，所以原命題的否定為“存在k0，使方程x2xk0無(wú)實(shí)根”答案(1)x1，x210(2)存在k0，使方程x2xk0無(wú)實(shí)根答案p2，p4 規(guī)律方法 對(duì)于存在性命題的判斷，只要能找到符合要求的元素使命題成立，即可判斷該命題成立，對(duì)于全稱(chēng)命題的判斷，必須對(duì)任意元素證明這個(gè)命題為真，而只要找到一個(gè)特殊元素使命題為假，即可判斷該命題不成立. 答案 1邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系“或、且、非”三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞，對(duì)應(yīng)著集合運(yùn)算中的“并、交、補(bǔ)”，因此，常常借助集合的“并、交、補(bǔ)”的意義來(lái)解答由“或、且、非”三個(gè)聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問(wèn)題2正確區(qū)別命題的否定與否命題“否命題”是對(duì)原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得的命題，它既否定其