1-1-2二(三)階行列式

1、第一章 行列式一. 二（三）階行列式二. 排列與逆序三. n 階行列式的定義四. 行列式的性質(zhì)五. 行列式按行（列）展開六. Cramer 法則 行列式概念的形成 行列式的基本性質(zhì)及計算方法（定義） 利用行列式求解線性方程組本章安排1本章主要討論以上三個問題。首先來看行列式概念的形成問題的提出：分析二、三元線性方程組求解過程二階、三階行列式的概念引出2第一節(jié) 二階與三階行列式1. 二階行列式二元線性方程組：由消元法，得得同理，得于是，當(dāng)時，方程組有唯一解3為便于記憶，采用記號稱為二階行列式其中 ，數(shù)稱為二階行列式元素 為行標(biāo)，表明元素位于第 行 為列標(biāo)，表明元素位于第 列4注：(1) 二階行列

2、式 算出來是一個數(shù)。(2) 運算方法：對角線法則主對角線上元素之積 副對角線上元素之積因此，上述二元線性方程組的解可表示為5綜上，令則，稱 D 為方程組的系數(shù)行列式。6例1：解方程組解：因為所以72. 三階行列式類似地，為討論三元線性方程組記稱為三階行列式其中 ，數(shù)稱為元素 為行標(biāo)， 為列標(biāo)。8注：(1) 三階行列式 算出來也是一個數(shù)。(2) 運算方法：對角線法則例：9對于三元線性方程組，若其系數(shù)行列式可以驗證，方程組有唯一解:其中:10第二節(jié) n階行列式的的定義定義1：由自然數(shù)1，2，n 組成的一個有序數(shù)組 稱為一個 n 級排列。例如：12345 5432151234 4213553214

3、53124都是數(shù)1，2，3，4，5的排列。 回憶：n個數(shù)的不同排列共有 個。n !自然排列：按數(shù)的大小次序，由小到大排列：思考：n級排列中，自然排列只有一種除此之外，任一n級排列都一定出現(xiàn)較大數(shù)碼排在較小數(shù)碼之前的情況。12345. . . n一、 排列11定義21）在一個排列中，若某個較大的數(shù)排在某個較小的 數(shù)前面，就稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序。2）一個排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)稱為這個排列的奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。逆序數(shù)，定義312計算排列的逆序數(shù)的方法：法 1：n個數(shù)的任一n級排列，先看數(shù)1，看有多少個比1大的數(shù)排在1前面，記為再看有多少個比2大的數(shù)排在2前面，記

4、為繼續(xù)下去，最后至數(shù)n，前面比n大的數(shù)顯然沒有，則此排列的逆序數(shù)為例1是偶排列。是奇排列。13法 2：n 級排列的逆序數(shù)法3：14例2：求排列 3，2，5，1，4 的逆序數(shù)。解：（法1）（法2）（法3）例3：求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序數(shù)。15考慮，在 1，2，3 的全排列中有 個偶排列：有 個奇排列：123，231，312132，213，32133一般說來，在n個數(shù)碼的全排列中，奇偶排列各占一半定義4：把一個排列中的任意兩個數(shù)交換位置，其余數(shù)碼不動，叫做對該排列作一次對換，簡稱對換。將相鄰的兩個數(shù)對換，稱為相鄰對換。16定理1：對換改變排列的奇偶性。證明思路：先證相鄰兩數(shù)的對換，再

5、證一般對換。定理2：時，n個數(shù)的所有排列中，奇偶排列各占一半，各為個。證明：設(shè)n個數(shù)的排列中，奇排列有 p 個，偶排列有 q 個，則 pqn！對 p 個奇排列，施行同一對換，則由定理1得到 p 個偶排列。（而且是p個不同的偶排列）因為總共有 q 個偶排列，所以同理所以17二. 3階行列式的規(guī)律觀察三階行列式尋找規(guī)律：1. 三階行列式是 3！ 項的代數(shù)和。2. 每一項都是取自不同行、不同列的 3 個元素的乘積。3.（每項的符號規(guī)律）其任一項可寫成：其中是123的一個排列當(dāng)是偶排列時，項取正號當(dāng)是奇排列時，項取負(fù)號18根據(jù)二、三階行列式的構(gòu)造規(guī)律，我們來定義 n 階行列式定義5：n 階行列式指的是

6、n！項的代數(shù)和，其中每一項都是取自不同行、不同列的 n 個元素的乘積，其一般項為這里是12n的一個排列當(dāng)是偶排列時，項前面帶正號當(dāng)是奇排列時，項前面帶負(fù)號三. n 階行列式的定義 19即其中表示對所有n元排列取和注：(1) 當(dāng)n=1時，一階行列式此處不是a的絕對值，例如行列式定義表明，計算n階行列式，首先必須作出所有的可能的位于不同行、不同列的n個元素的乘積，把這些乘積的元素的第一個下標(biāo)（行標(biāo)）按自然順序排列，然后看第二個下標(biāo)（列標(biāo)）所成的奇偶性來決定這一項的符號。20例4寫出四階行列式中含有因子的項。例5若為四階行列式的項，試確定i與k，使前兩項帶正號，后一項帶負(fù)號。例7計算四階行列式例6計

7、算行列式21四個特殊行列式(1)上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素都為0）(2)下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素都為0）22(3)（顯然）(4)23定理3在行列式中的符號等于證明：由行列式定義可知，確定項的符號，需要把各元素的次序進行調(diào)動，使其行標(biāo)成自然排列。為此，我們先來研究若交換項（1）中某兩個元素的位置時，其行標(biāo)和列標(biāo)排列的奇偶性如何變化。對換任意兩元素，相當(dāng)于項（1）的元素行標(biāo)排列及列標(biāo)排列同時經(jīng)過一次對換。24設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為s，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t。設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為由定理，對換改變排列的奇偶性所以，是奇數(shù)也是奇數(shù)所以是偶數(shù)，即是偶數(shù)，所以與同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)。即，交換項（1）中任意兩個元素的位置