科大自控第三章

1、2022/8/161第三章 線性 控制系統(tǒng)的時域分析 系統(tǒng)分析是指利用數學模型，對已有系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差及瞬態(tài)過程等三方面的性能進行分析。包括穩(wěn)定性的判別、系統(tǒng)性能指標的計算穩(wěn)定性、性能指標與系統(tǒng)參數之間的關系如何調整參數來改善系統(tǒng)的性能系統(tǒng)分析方法直接分析法間接分析法_時域分析法_根軌跡分析法_頻域分析法2022/8/162 時域分析法是根據控制系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯變換作為數學工具，在給定輸入信號作用下，求解控制系統(tǒng)輸出變量的時間解，即時域響應。 然后，依據時域響應的表達式及其曲線來分析控制系統(tǒng)的性能，諸如穩(wěn)定性、快速性和準確性等，并找出系統(tǒng)結構、參數與這些性能之間的關系。 時域分

2、析法是一種在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有直觀和準確的優(yōu)點2022/8/1633-1 線性定常系統(tǒng)的時域響應 一、基本分析方法系統(tǒng)的時域響應是指該系統(tǒng)在一定的輸入信號x(t)作用下，輸出y(t)隨時間的變化規(guī)律，即式（3-1）所示微分方程的解。（）在時域內研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和瞬態(tài)過程等各項性能指標，可以通過分析系統(tǒng)的時域響應得到。控制工程基礎4線性微分方程的解由兩部分組成 :齊次微分方程的通解，也稱自由運動解，是系統(tǒng)響應的過渡過程分量，或稱暫態(tài)分量，其值與系統(tǒng)的結構參數及初始條件有關，而與輸入信號無關，即：零輸入解:微分方程的特解，它是系統(tǒng)在輸入信號作用下的強迫運動分量，取決于系統(tǒng)

3、的結構和參數，以及輸入信號的形式，即：零狀態(tài)解:是系統(tǒng)響應的過渡過程分量，或稱暫態(tài)分量、瞬態(tài)分量，其值與系統(tǒng)的結構、參數及初始條件有關，而與輸入信號無關。:時域相應的穩(wěn)態(tài)分量，有著與給定輸入相同的形式。2022/8/165為了評價自動控制系統(tǒng)性能的優(yōu)劣、便于不同系統(tǒng)之間進行比較，人們約定了一些函數作為典型形式的輸入信號。常用的典型輸入信號有：脈沖函數階躍函數斜坡函數拋物線函數正弦函數控制工程基礎典型輸入信號的特點：數學表達式簡單 對于實際系統(tǒng)具有代表性3.1 引言一、典型輸入信號2022/8/166單位理想脈沖函數時域表達式0 圖3-1 單位脈沖信號沖量為的理想脈沖函數，用表示拉普拉斯變換象函

4、數2022/8/167階躍函數時域表達式拉普拉斯變換象函數A為階躍函數的階躍幅值，A=1的階躍函數稱為單位階躍函數，用1(t)表示階躍幅值為A的階躍函數表示為1(t)控制工程基礎0 圖3-2 階躍信號t2022/8/168斜坡函數時域表達式速度階躍函數為速度階躍階躍幅值，=1的斜坡函數稱為單位斜坡函數0 圖3-3 斜坡信號拉普拉斯變換象函數2022/8/169拋物線函數時域表達式加速度階躍函數為加速度階躍階躍幅值，=1的拋物線函數稱為單位拋物線函數0 圖3-4 加速度信號拉普拉斯變換象函數2022/8/1610正弦函數時域表達式拉普拉斯變換象函數控制工程基礎2022/8/1611二、時域響應的

5、形式系統(tǒng)的時域響應是指該系統(tǒng)在一定的輸入信號x(t)作用下，輸出y(t)隨時間的變化規(guī)律，即上式的微分方程的解。在時域內研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和瞬態(tài)過程等各項性能指標，可以通過分析系統(tǒng)的時域響應得到。控制工程基礎12線性微分方程的解由兩部分組成 :齊次微分方程的通解，也稱自由運動解，是系統(tǒng)響應的過渡過程分量，或稱暫態(tài)分量，其值與系統(tǒng)的結構參數及初始條件有關，而與輸入信號無關，即：零輸入解:微分方程的特解，它是系統(tǒng)在輸入信號作用下的強迫運動分量，取決于系統(tǒng)的結構和參數，以及輸入信號的形式，即：零狀態(tài)解:是系統(tǒng)響應的過渡過程分量，或稱暫態(tài)分量、瞬態(tài)分量，其值與系統(tǒng)的結構、參數及初始條件有關，而

6、與輸入信號無關。:時域相應的穩(wěn)態(tài)分量，有著與給定輸入相同的形式。2022/8/1613三、時域響應的性能指標穩(wěn)定系統(tǒng)的單位階躍響應函數有衰減振蕩和單調上升兩種類型。 圖3-6 衰減振蕩階躍響應 y(t)t0 0F y0圖3-7 單調上升的階躍響應曲線0ty0y(t)控制工程基礎動態(tài)性能指標2022/8/1614圖3-6 衰減振蕩階躍響應 y(t)t0 0F ymax y() 0.5y() td tr tp ts5%y() 或2%y()衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標 1最大超調量（簡稱超調量） 定義：瞬態(tài)過程中輸出響應的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分數 2峰值時間定義：輸出響應達到最大值所需的時間，即超過穩(wěn)

7、態(tài)值達到第一個峰值所需的時間叫峰值時間。上升時間 定義：輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值所需的時間，或由穩(wěn)態(tài)值的上升到所需的時間。2022/8/1615圖3-6 衰減振蕩階躍響應 y(t)t0 0F ymax y() 0.5y() td tr tp ts5%y() 或2%y()衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標 定義：輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值的所需的時間。延遲時間 調節(jié)時間或過渡過程時間 定義：當和之間誤差達到規(guī)定的允許值（一般取的或，稱允許誤差范圍，用表示），且以后不再超出此范圍所需的時間稱為調節(jié)時間 振蕩次數定義：在調節(jié)時間內，偏離的振蕩次數。2022/8/1616圖3-6 衰減振蕩階躍響應 y(t)t0

8、 0F ymax y() 0.5y() td tr tp ts5%y() 或2%y()衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標 反映瞬態(tài)過程快速性的指標反映瞬態(tài)過程振蕩性的指標延遲時間上升時間峰值時間調節(jié)時間（最大）超調量振蕩次數2022/8/1617單調變化瞬態(tài)過程的性能指標 0ty()0.05y() 圖3-7 單調上升的階躍響應曲線y(t)或0.02y() 由于響應過程不出現(xiàn)超調，一般只取調節(jié)時間作為瞬態(tài)性能指標。 定義：當與之間誤差達到規(guī)定的允許值即的所需的時間稱為調節(jié)時間 或2022/8/1618 穩(wěn)態(tài)響應過程是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，時間t趨于無窮時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。 采用穩(wěn)態(tài)誤差 ess來衡量

9、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，穩(wěn)態(tài)誤差的定義為：當時間t趨于無窮時，系統(tǒng)輸出響應的期望值與實際值之差。即 (3-17) 穩(wěn)態(tài)誤差ess評價系統(tǒng)的準確性，反映控制系統(tǒng)復現(xiàn)或跟蹤輸入信號的能力。 穩(wěn)態(tài)性能指標2022/8/16193-線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 一、穩(wěn)定的概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義：處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，外界擾動使系統(tǒng)偏離平衡狀態(tài)，輸出c(t)產生偏差c(t)。擾動消除后，經過一段時間如果系統(tǒng)能夠回到原來的平衡狀態(tài)，或者偏差c(t) 可以小到任意的數值，即lim| c(t) | (t)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的?？刂乒こ袒A2022/8/1620閉環(huán)傳遞函數(s)與

10、控制系統(tǒng)時域響應的關系為系統(tǒng)的極點單位階躍輸入s是輸入信號拉氏變換象函數的極點2022/8/1621線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:暫 （瞬）態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量為負實數或具有負的實部閉環(huán)極點均位于左半平面 系統(tǒng)是否穩(wěn)定,取決于暫瞬態(tài)分量，即閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數極點情況2022/8/1622只要有一個位于右半平面的閉環(huán)極點系統(tǒng)不穩(wěn)定有一個位于平面虛軸上的閉環(huán)極點時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定是閉環(huán)系統(tǒng)能夠正常工作的前提條件，只有穩(wěn)定、且穩(wěn)態(tài)誤差和瞬態(tài)性能均滿足設計要求的系統(tǒng)才能完成自動控制任務的系統(tǒng)?？刂乒こ袒A2022/8/1623二、勞斯（Routh）穩(wěn)定判據特征多項式特征方程即閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根即為系

11、統(tǒng)的閉環(huán)極點線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根均位于左半平面24Routh穩(wěn)定判據指出：特征方程滿足下面兩個條件時，閉 環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的特征方程的各項系數均大于零依據特征方程系數列寫Routh行列表的首列元素均大于零。 特征方程Sn anan-2an-4an-6 an-8 Sn-1 an-1an-3an-5an-7 Sn-2 b1b2b3 b4 Sn-3 c1c2 c3 S2d1d2 S1 e1S0f12022/8/1625Sn anan-2an-4an-6 an-8 Sn-1 an-1an-3an-5an-7 Sn-2 b1b2b3 b4 Sn-3 c1c2 c3 S2d1d2 S1

12、 e1S0f1Routh行列表中各未知元素的計算方法 Routh行列表中的某一行，各元素同時乘以（或除以）一個大于0的數，不會改變元素的符號。2022/8/1626S4 S3 S2 S1 S0應用Routh穩(wěn)定判據時，可能遇到的幾種情況1第一列元素全為正，這說明特征方程式的根全是左 根，系統(tǒng) 穩(wěn)定。例3-1系統(tǒng)特征方程為 利用勞斯穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 位于左半復平面的特征根0.0251.510.5511.4510.6212022/8/1627應用Routh穩(wěn)定判據時，可能遇到的幾種情況2第一列有不大于的元素，這說明特征方程有位于右半的根（不穩(wěn)定的極點），系統(tǒng)不穩(wěn)定。不穩(wěn)定的極點個數等于第一列

13、元素的符號變化次數。S S4 1S3 S2 -1.51S1 19/3S01例3-系統(tǒng)特征方程為 利用勞斯穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 解：符號變化次符號變化次結論：有個位于右半的極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定2022/8/1628應用Routh穩(wěn)定判據時，可能遇到的幾種情況S S4 1S3 (0) 1S2 S1 S0解：第次符號變化結論： Routh行列表首列元素符號變化兩次，系統(tǒng)有2個位于右半的極點，不穩(wěn)定第一列有零元素，用一個任意小的正數代替為零的元素繼續(xù)計算Routh行列表的其它元素。判別穩(wěn)定性時，上面和下面的元素符號相反，算作一次符號變化。 例3-系統(tǒng)特征方程為 利用勞斯穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 第次符號變

14、化2022/8/1629應用Routh穩(wěn)定判據時，可能遇到的幾種情況某一行元素全為零 ，系統(tǒng)有對稱于坐標原點的特征根（大小相等、符號相反的實根或共軛虛根，或一對純虛根），系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定。將不全為零的最后一行各元素作為系數構成輔助方程，對輔助方程求導，可得到一組新的系數，用新系數代替全零一行的各元素可繼續(xù)計算勞斯行列表的以下各行。求解輔助方程可得對系統(tǒng)稱于坐標原點的特征根。系統(tǒng)位于右半的極點個數仍等于Routh行列表首列元素符號變化的次數2022/8/1630應用Routh穩(wěn)定判據時，可能遇到的幾種情況例3-系統(tǒng)特征方程為 利用勞斯穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 S -4S4 -8S3 0 0S2

15、 S1 S0解：123構造輔助方程：輔助方程兩邊求導：32-8100/3-8求解輔助方程，可得：符號改變1次系統(tǒng)有1個位于右半s平面的極點2022/8/1631二階系統(tǒng)一階系統(tǒng)S1 S0 一、二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程的各項系數均大于三階系統(tǒng)S3 S2 S1 S0三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程的各項系數均大于，且S2 S1 S02022/8/1632三、Routh穩(wěn)定判據的應用判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數取值范圍 臨界參數：使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時，可調參數的值用對應參數加腳標“p”表示例3-系統(tǒng)結構如圖3-8所示。試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數的取值范圍及臨界放大系數。 控制工程基礎2022/8/1633_圖3-8 例3-5系統(tǒng)結構圖解： 先求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數 再求系統(tǒng)的特征方程 2022/8/1634這是一個三階系統(tǒng)，穩(wěn)定的充要條件：使系統(tǒng)穩(wěn)定的放大系數的取值范圍是：確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量反映系統(tǒng)的穩(wěn)定程度即系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和描述極點距離虛軸遠近 j圖3-9 系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度所有的閉環(huán)極點都位于s上線的左側，稱系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕度使系統(tǒng)穩(wěn)定的放大系數的取值范圍是：臨界開環(huán)放大系數35 j圖3-9 系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度在原特征方程D(