隨機變量分布函數(shù)

1、關(guān)于隨機變量的分布函數(shù)第一張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 問： 在上 式中，X, x 皆為變量. 二者有什么區(qū)別？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？X是隨機變量, x是參變量.F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.第二張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 由定義，對任意實數(shù) x1x2，隨機點落在區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.第三張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通

2、過它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來研究 隨機變量.第四張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月二、離散型 r.v的分布函數(shù)設(shè)離散型r.vX 的概率分布列是P X=xk = pk , k =1,2,3,則 F(x) = P(X x) = 由于F(x) 是 X 取 的諸值 xk 的概率之和，故又稱 F(x) 為累積概率函數(shù).第五張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng) x0 時， X x = ， 故 F(x) =0例1.，求 F(x).當(dāng) 0 x 1 時， F(x) = P(X x) = P(X=0) =F(x) = P(X x)解:X 0 1 2 P第六張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年

3、6月當(dāng) 1 x 2 時， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =當(dāng) x 2 時， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1例1.，求 F(x).F(x) = P(X x)解:X 0 1 2 P第七張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下.第八張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月概率函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫 分布函數(shù)圖X 0 1 2 P第九張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 不難看出，F(xiàn)(x) 的圖形是階梯狀的圖形，在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X

4、=2).第十張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月三、分布函數(shù)的性質(zhì)(3) F(x) 非降，即若 x1x2，則F(x1) F(x2) ;(2) F( ) = F(x) = 0 (4) F(x) 右連續(xù)，即 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.v X 的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)(1)-(4)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.F( ) = F(x) = 1(1) 0F(x)1, x+;第十一張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月試說明F(x)能否是某個r.v 的分布函數(shù).例2. 設(shè)有函數(shù) F(x) 注意到函數(shù) F(x)在 上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能

5、是分布函數(shù).不滿足性質(zhì)(2)， 可見F(x)也不能是r.v 的分布函數(shù).或者解：第十二張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月P66定理3.2.1 例3.3.2 一個班有100名學(xué)生其中20歲的 有30人，21歲的有40人，22歲的有30人?，F(xiàn)從班上任意挑選一名學(xué)生，是學(xué)生的的年齡，求 的分布函數(shù)第十三張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例3.2.3 在ABC中任取一點，設(shè)為該點到底邊AB 的距離。又已知AB上的高位h，求的分布函數(shù)F(x)及F(x)的導(dǎo)數(shù)，并畫出F(x)的圖像。第十四張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例3.2.4 設(shè)是某臺儀器從時刻零開始持續(xù)工作的時間。假設(shè)在

6、時刻t以前沒有損壞，而在時間間隔（t，t+t）中損壞的條件概率為 求 的分布函數(shù)為。第十五張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月3.4 連續(xù)型隨機變量 連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間, 對這種類型的隨機變量, 不能象離散型隨機變量那樣, 以指定它取每個值概率的方式, 去給出其概率分布, 而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式. 下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.第十六張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月. 連續(xù)型隨機變量、概率密度定義 設(shè)F（x）是隨機變量X的分布函數(shù)，若存在一個非負的函數(shù)f(x),對任何實數(shù)x，有 ，則稱X為連續(xù)型隨機變量，同時稱f(x)為X的概

7、率密度函數(shù)，簡稱概率密度。 f (x)xoy第十七張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月由定義知：1. 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x) 是連續(xù)函數(shù).2. 對f(x)的連續(xù)點，有 由此 F(x)與f(x)可以互推。第十八張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月概率密度函數(shù)的性質(zhì)1.2.這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù) f(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件.o f (x)xy第十九張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月3 f (x)xoyx1x2第二十張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的

8、極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當(dāng)于線密度. 若x是 f(x)的連續(xù)點，則：=f(x)4. 對 f(x)的進一步理解:P79中第二十一張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度. f (x)xo第二十二張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月若不計高階無窮小，有： 它表示隨機變量 X 取值于 的概率近似等于 .在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.第二十三張

9、，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因為需要指出的是:由于連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)， 從而P( X = a )=0. 第二十四張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 P( X = a )=0的充分必要條件是F( x )是連續(xù)函數(shù)。任意aR。由此得，1) 對連續(xù)型 r.v X,有第二十五張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2) 由P(X=a)=0 可推知而 X=a 并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0, 不能推出由P(B)=1, 不能推出 B=S第二十六張，PPT共

10、四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月下面給出幾個r.v的例子. 由于連續(xù)型 r.v唯一被它的密度函數(shù)所確定. 所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型 r.v的概率規(guī)律就得到了全面描述. f (x)xo第二十七張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月解：例1. 設(shè)r.v X 的密度函數(shù)為 f (x)求 (1) A , (2) F(x) , (3)（1）由性質(zhì)2， A=2.第二十八張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月對x 1， F (x) = 1求 F(x).解：F(x) = P(X x) = (2)第二十九張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月即(3). 第三十張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022

11、年6月大家一起來作下面的練習(xí).求 F(x).例2 設(shè)由于f(x)是分段表達的，求F(x)時注意分段求.第三十一張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月=01F(x)第三十二張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月對連續(xù)型r.v，若已知F(x)，我們通過求導(dǎo)也可求出 f (x)，請看下例.即第三十三張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 設(shè)r.vX的分布函數(shù)為(1) 求X取值在區(qū)間 (0.3,0.7)的概率； (2) 求X的概率密度.解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4 (2) f(x)=注意到F(x)在1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被

12、積函數(shù)在個別點處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在 沒意義的點處，任意規(guī)定 的值.第三十四張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月幾種重要的連續(xù)型隨機變量均勻分布（1）若 r.vX的概率密度為：則稱X服從區(qū)間 a, b 上的均勻分布，記作：X U(a, b)第三十五張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月它的實際背景是： r.v X 取值在區(qū)間a, b 上，并且取值在a, b中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比.則 X 具有a,b上的均勻分布.分布函數(shù)為: f(x)0, 滿足概率密度性質(zhì)。 第三十六張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月若XU a, b, (x1, x2)為a,

13、b的任意子區(qū)間，則 公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形： 如在數(shù)值計算中，由于四舍五 入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；第三十七張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例4. 某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機變量, 試求他候車時間少于5 分鐘的概率.解：依題意， X U ( 0, 30 ) 以7:00為起點0，以分為單位第三十八張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 為使候車時間X少于

14、 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達車站.所求概率為：從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是1/3.第三十九張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例5. 設(shè)K在0，5上服從均勻分布， 求方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的概率。解： KU0，5， 有實根等價于0，即 16K216（K+2）0， K1，or K2故方程有實根的概率為：P( K1) +P( K2) =第四十張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 區(qū)間( 0, 1)上的均勻分布U(0,1)在計算機模擬中起著重要的作用. 實用中，用計算機程序可以在短時間內(nèi)產(chǎn)生大量服從 ( 0, 1)上均勻分布的隨機數(shù). 它是由一種迭代過程產(chǎn)生的. 嚴格地說，計算機中產(chǎn)生的U (0,1) 隨機數(shù)并非完全隨機，但很接近隨機，故常稱為偽隨機數(shù).第四十一張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 如取n足夠大，獨立產(chǎn)生n個U(0,1)隨機數(shù)，則從用這 n 個數(shù)字畫出的頻率直方圖就可