非線性系統(tǒng)分析相平面

1、關(guān)于非線性系統(tǒng)的分析相平面第一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月1.相平面:以 和 為橫軸和縱軸構(gòu)成的坐標(biāo)平面.2.相點:相平面上任一點3.相軌跡: 對二階系統(tǒng)來講，從某一初始狀態(tài)出發(fā)，以時間t為參變量，便可畫出一條連續(xù)變化的相軌跡。第二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月xx(x,x) 持續(xù)振蕩4.相軌跡特點: 與初始點(狀態(tài))密切相關(guān). 可以不直接求出微分方程而獲得系統(tǒng)所有運動狀態(tài).5.相軌跡判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性第三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月二、相平面圖繪制方法1.解析法:適用于微分方程簡單(二階)或可分段線性化.設(shè)二階系統(tǒng) (*) 若令則直接積分,便解出相軌跡方程

2、并由此畫出相軌跡。第四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月整理上式并積分其中 上式表示一族封閉橢圓，說明:=0時的狀態(tài)為臨界穩(wěn)定，但實際中不存在，將隨時間不是發(fā)散就是收斂。例：如無阻尼二階系統(tǒng)令 則 ，設(shè)初始條件為第五張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月等傾線方程圖解法之一：等傾線法 它多用于解析法中求解微分方程困難的情況。若令二階微分方程令滿足相軌跡上的切線斜率為a第六張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月畫圖原理： 據(jù)不同的斜率a可畫出等斜線方向場（分布）可證明不同a不相交，則對確定初始點 沿等斜率切線變化規(guī)律唯一。這樣便可畫出相軌跡（近似）畫圖步驟：ii.作等傾線分布圖i

3、ii.從初始點出發(fā),沿相鄰等傾線間的平均斜率依次作短直線便可畫得。i.求出等傾線方程相軌跡必然以a的斜率經(jīng)過等斜線。第七張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月說明：等傾線未必都是直線，另外，為保證精度，等傾線分布要有適當(dāng)密度，密度可不一樣。 例如令等斜線方程: 等斜線分布圖.相軌跡 A點直線段交 = 1.2線于B.11.122.111-=-=-=A, 過點第八張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第九張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月三.相軌跡和相平面圖的性質(zhì) 1)相軌跡的斜率 若相軌跡上任意一點的斜率為 ，則 2)相軌跡的對稱性 按照圖形對稱的條件，關(guān)于橫軸或縱軸對稱的曲線，

4、其對稱點處的斜率大小相等，符號相反；關(guān)于原點對稱的曲線，其對稱點處斜率大小相等，符號相同。 a第十張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月則相軌跡關(guān)于 對稱(左右對稱)。則相軌跡關(guān)于 對稱(上下對稱) 。則相軌跡關(guān)于原點對稱。 的點稱為奇點。設(shè)二階系統(tǒng) 的平衡點在原點，即f(0,0)=0，則原點也是奇點。又設(shè) 在原點附近展成臺勞級數(shù)3)相平面圖的奇點 奇點：相平面上同時滿足 第十一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月高階無窮小量 可以省略，得到則該線性化系統(tǒng)的奇點的性質(zhì)取決于特征根在復(fù)平面上的位置。設(shè)特征根為 ，根據(jù) 在復(fù)平面的位置，可以有以下幾種情況：第十二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作

5、于2022年6月一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)根 每條相軌跡都以震蕩方式無限地“卷向”平衡點，這種類型的奇點稱為穩(wěn)定焦點。一對具有正實部的共軛復(fù)根 每條相軌跡都以震蕩方式“卷離”平衡點，這種類型的奇點稱為不穩(wěn)定焦點。 第十三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月特征根為兩個負(fù) 實根 對應(yīng)的相軌跡以非震蕩方式趨聚于平衡點。這種類型的奇點稱為穩(wěn)定節(jié)點。 第十四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月特征根為兩個正實根 對應(yīng)的相軌跡以非震蕩方式從平衡點散出。這種類型的奇點稱為不穩(wěn)定節(jié)點。特征根為一對共軛純虛根，系統(tǒng)處于無阻尼運動狀態(tài)，系統(tǒng)的相軌跡是圍繞平衡點的一組封閉曲線。這種奇點稱為中心點。 第十五

6、張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月特征根為兩個符號相反的實根。此時每條相軌跡都是先趨近平衡點，隨后在尚未達(dá)到平衡點之前又遠(yuǎn)離平衡點而去，只有4條孤立的相軌跡除外，其中兩條趨于平衡點，另兩條從平衡點散出，這時奇點稱為鞍點。 第十六張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 在非線性系統(tǒng)的相軌跡中，可能會存在特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區(qū)域，這種特殊的相軌跡就稱為奇線。 極限環(huán)就是最常見的一種奇線，它是相平面上一條孤立的封閉相軌跡，而且附近的其他相軌跡都無限地趨向或者離開它。 極限環(huán)作為一條相軌跡來說，既不存在平衡點，也不趨向無窮遠(yuǎn)，而是一個無首無尾的封閉環(huán)圈。4）極

7、限環(huán)第十七張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 如果起始于極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡最終都趨于極限環(huán)上，則該極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖 (a)所示。當(dāng)系統(tǒng)受到小擾動的作用而偏離極限環(huán)時，經(jīng)過一段時間后，系統(tǒng)的狀態(tài)又能回到極限環(huán)上。 因此，穩(wěn)定的極限環(huán)上系統(tǒng)就表現(xiàn)為自激振蕩。極限環(huán)橫向與縱向的最大值分別對應(yīng)自激振蕩的振幅與最大變化率。穩(wěn)定的極限環(huán)第十八張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 如圖(b)所示。起始于極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡，最終都卷離極限環(huán)。當(dāng)系統(tǒng)受到很小的擾動而偏離極限環(huán)時，系統(tǒng)狀態(tài)再也不會回到極限環(huán)上來，因此稱為不穩(wěn)定的極限環(huán)。不穩(wěn)定的極限環(huán)第十九張，PPT共六十四頁

8、，創(chuàng)作于2022年6月半穩(wěn)定的極限環(huán) 如果極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡，一側(cè)是卷向極限環(huán)，而另一側(cè)卷離極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為半穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖(c)與圖(d)所示。 對于圖(c)所示的系統(tǒng)顯然是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，設(shè)計系統(tǒng)時應(yīng)設(shè)法避免；而圖(d)所示的系統(tǒng)則同不穩(wěn)定的極限環(huán)一樣，應(yīng)使它的尺寸盡可能的大。 第二十張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月5）由相軌跡求時間增量 當(dāng)相軌跡在 x 方向移動一個增量 時，如果在 區(qū)間 的變化不很劇烈，則可以把該區(qū)間內(nèi) 的平均值 近似當(dāng)成 x 在此區(qū)間內(nèi)勻速變化的速度。這樣就可以用下式近似求出該區(qū)間對應(yīng)的時間增量 。第二十一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6

9、月三線性系統(tǒng)的相平面分析一階線性系統(tǒng)自由運動微分方程為相軌跡方程為設(shè)系統(tǒng)初始條件為 ，則相軌跡圖下圖所示第二十二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月二階線性系統(tǒng)自由運動微分方程為當(dāng)b0 時，上述方程可表示為特征根為相軌跡微分方程為第二十四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月令 得到等傾線方程當(dāng)a2-4b0，且b0時，可得滿足 k=a 的兩條特殊的等傾線，其斜率為該式表明，特殊的等傾線斜率等于位于該等傾線上相軌跡任一點的切線斜率，即當(dāng)相軌跡運動至特殊的等傾線上時，將沿著等傾線收斂或發(fā)散，而不會第二十五張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于202

10、2年6月脫離該等傾線。下面就線性二階微分方程參數(shù) b0 的三種不同情況具體討論，其相軌跡采用等傾線法或解析法繪制。 b0。 系統(tǒng)特征根s1，s2為符號相反的互異實根，相平面圖如下。第二十六張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月由圖可知，圖中兩條特殊的等傾線是相軌跡，也是其他相軌跡的漸近線。當(dāng)初始條件位于對應(yīng)的相軌跡上時，系統(tǒng)的運動將趨于原點，但只要受到微小擾動，運動將偏離該軌跡，并沿著 相軌跡方向發(fā)散。因此b0時，相軌跡收斂并最終停止在 c 軸上；a0。由前面可知當(dāng)b0時，方程可以表示為可得 根據(jù) 的選取，可以分為以下幾種情況：第三十張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) 系統(tǒng)微分方

11、程為特征根為兩個具有負(fù)實部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)穩(wěn)定，過渡過程呈衰減震蕩形式。其等傾線方程為第三十一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月特征根為兩個不相等的負(fù)實根，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為非震蕩衰減形式，存在兩條特殊的等傾線，其斜率為相平面圖如下圖所示。當(dāng)相軌跡初始點落在兩條特殊等傾線上時，相軌跡沿該直線趨于原點；除此之外，相軌跡最終將沿著 的方向趨于原點。第三十三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月系統(tǒng)特征根為兩個相等的負(fù)實根。取其相平面圖如下。與 相比，相軌跡的特殊等傾線蛻化為一條。第三十五

12、張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個共軛虛根 ，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，過渡過程為等幅震蕩。改寫系統(tǒng)方程為積分后得到相軌跡方程為第三十六張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十七張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) 系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個具有正實部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，過渡過程震蕩發(fā)散。等傾線為第三十八張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十九張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) 系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個不相等的正實根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，過渡過程為非周期發(fā)散。等傾線方程為第四十張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十一張，PPT共

13、六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月系統(tǒng)特征根為兩個相同的正實根，存在一條特殊的等傾線，系統(tǒng)相軌跡發(fā)散，相平面圖如下圖所示。第四十二張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月1）分段列寫非線性系統(tǒng)微分方程2）在相平面上確定每一個微分方程所在區(qū)域及開關(guān)線。3）按照線性系統(tǒng)相軌跡的作法，分段求解相軌跡方程。4）在開關(guān)線上做好兩條相軌跡的鏈接。注意，下一條相軌跡的初始條件是上一條相軌跡的終止條件。四非線性系統(tǒng)的相平面分析一般非線性系統(tǒng)利用分段線性微分方程來描述。第四十三張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月(1) 具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng)第四十四張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月取 作為狀

14、態(tài)變量，因為 ，第四十五張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月給定參數(shù)T=1, K k =1，根據(jù)二階線性系統(tǒng)相軌跡分析結(jié)果，可得奇點類型區(qū)域 I：奇點(-，0)為穩(wěn)定焦點，相軌跡為向心 螺旋線( );區(qū)域 II：奇點(x，0)，x(-, )為穩(wěn)定焦點， 相軌跡沿直線收斂；區(qū)域 I：奇點(，0)為穩(wěn)定焦點，相軌跡為向心 螺旋線( );由零初始條件 和得到e(0)=R, 。相軌跡如下圖所示：第四十六張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月若用比例環(huán)節(jié) k =1 代替死區(qū)特性，即無死區(qū)影響時，線性二階系統(tǒng)相軌跡如圖中虛線所示?？梢员容^出死區(qū)特性對系統(tǒng)運動的影響。第四十七張，PPT共六十四頁，

15、創(chuàng)作于2022年6月(2) 具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)圖中系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，且第四十八張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月下面分別研究系統(tǒng)在 r (t)=R1(t) 和 r (t)=V0 t 作用下的相軌跡。1） r (t)=R1(t) 。 A 為常數(shù)第四十九張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月相軌跡方程為等傾線方程為為一簇平行于橫軸的直線，其斜率 k 為零。當(dāng)a=0 得 ，即為特殊的等傾線(k=a=0)。對于線性區(qū)域的奇點，求得為原點，且其特征根為負(fù)實部共軛復(fù)根，所以奇點是穩(wěn)定焦點。由初始條件可知，e(0)=R， 。取R=2，繪制相軌跡如圖所示。第五十張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十一張，PPT共六十四頁，創(chuàng)作于2022年6月2） r (t)=V0(t) 。在線性區(qū)間，奇點 為穩(wěn)定能夠的焦點。負(fù)飽和區(qū)和正飽和區(qū)內(nèi)漸近線分別為第五