工程力學北京科技大學版材料力學部分(二)(2002年9月15日)1

1、工程力學材料力學部分(二)8/15/20221工程力學第四章 彎曲內力4-1工程中的彎曲問題Bending problems in engineering 受彎之桿曰梁. 例：大梁、車輛軸、鏜刀桿等. P106. 研究步驟：外力 內力 應力.暫時限于：1. 梁有一個對稱面或橫截面有一個對稱軸.2. 所有外力都作用于對稱面內.平面彎曲 Planar bending所有外力都作用于同一平面內, 梁彎曲后的軸線為平面曲線, 且該平面曲線所在的平面與外力所在的平面重合. 8/15/20222工程力學4-2 剪力與彎矩 shearing force and bending moment 依截面法和平衡原

2、理，直接由外力求出內力.大?。?S Y = 0: 剪力 Q = 截面一側所有外力在 y 軸投影的代數(shù)和. S mo = 0: 彎矩 M = 截面一側所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和. 符號： 例 (P113) QMQMo8/15/20223工程力學4-3 剪力圖和彎矩圖 Shearing and bending moment diagram例4-1. 簡支梁受集中力，求作 QM 圖解: (1)求支反力校核： 結果正確.(2)求內力: 第一段: 第二段：(3)危險截面在 Q 及 M 絕對值最大處. (4)標出 Qmax 及 Mmax 的大小及位置. 截面 A 及 C 處 8/15/20224工程力

3、學突變規(guī)則 突變的來源: 集中力的抽象.突變規(guī)則(一) 有集中力P處, Q 圖必有突變, 其值為P. 無集中力處, Q 圖必無突變.突變規(guī)則(二) 有集中力偶m處, M 圖必有突變, 其值為M. 無集中力偶處, M 圖必無突變. 8/15/20225工程力學例4-2. 簡支梁受集中力偶，求作 QM 圖解: (1)求支反力 S mB = 0 RA = m / l. S mA = 0 RB = m / l.校核：S Y = 0: RA + RB = 0. 結果正確.(2)求內力: 第一段: 第二段：(3) 危險截面在 Q 及 M 絕對值最大處. (4)標出 Qmax 及 Mmax 的大小及位置.

4、截面 C 處 8/15/20226工程力學例4-3. 懸臂梁受均布載荷，求作 QM 圖解: (1)求支反力 S mA = 0 MA = ql2 / 2. SY = 0 RA = ql.(2)求內力: (3)危險截面在 Q 及 M 絕對值最大處. (4)標出 Qmax 及 Mmax 的大小及位置.截面 A 處 Qmax = ql, |M|max = ql2 / 2.8/15/20227工程力學例題的啟示: 微分關系8/15/20228工程力學4-3 載荷集度、剪力和彎矩間的關系* Relations between q, Q and M 微分規(guī)則： 由微分規(guī)則可見，當 x 軸選擇向右時：1. q

5、 0, Q 走上坡路; q 0, M走上坡路; Q 0, M 為極小值; q 0, M 為極大值.利用平衡關系, 結合截面法, 可以很快地畫出 QM 圖. 例4-9 (P128) 求作 QM 圖疊加法: 小變形情況下, 內力與外力成線性關系, 內力圖可以疊加.P122剛架：圖畫在受壓一側P123中間鉸鏈：該處 M 為零.P140習題 P136 ：4-2 c, e, j. 4-3 a, 4-5 e, h, j, 4-8c.8/15/20229工程力學第五章 彎曲應力 Bending stresses 困難性：有Q和M 就有 和 , 兩者同時存在時, 研究困難. 辦法：純剪梁不存在, 只好從純彎梁

6、(只有M,)開始研究. 5-1 純彎梁的正應力 (1)實驗觀察 1)平面曲線仍為平面曲線.2)縱線變?yōu)槠叫谢【€, aa縮短, bb伸長. 中性層存在. 中性層與橫截面的交線 稱為中性軸 neutral axis . 直角仍為直角.3)橫截面上變寬, 下變窄.(2)推理假設：平面假設和單向受力假設 assumption of plane-section, assumption of uniaxial stress state. 8/15/202210工程力學(3) 分析計算 1) 平衡方程 equilibrium equation選坐標軸：y軸為對稱軸；z軸為中性軸，其位置暫未知；x軸為過原點且

7、平行于軸線. (a) 2) 變形諧調條件 compatibility condition 橫截面上只有正應力. 依平面假設, 有 (b) 3) 物理關系 constitutive relation依單向受力假設, 有 (c) 8/15/202211工程力學以(c)代入(a),得 即中性軸 z 過形心. 即外力作用于主慣性平面. (5-1)式中 (5-2)稱為橫截面積對z軸的靜矩static moment, 橫截面積的慣性積product of inertia和橫截面積的慣性矩 moment of inertia. 以(5-1)代入(c), 得 (5-3)可見應力沿截面高度按直線變化.(4) 實

8、驗證明: 圣維難原理 St. Venants Principle ：在遠離（一個特性常數(shù)）加力處的應力分布, 只與加力的合力有關，而與加力方式無關. 8/15/202212工程力學純彎應力公式的應用 Application of the stress formula in pure bending (1) 對于無對稱面的梁, 只要外力作用于主慣性平面內, 上述結論仍成立.(2) 對于非純彎橫力彎曲的情形, 平面假設不再成立. 單向受力假設也不成立. 但是, 進一步分析證明, 對于細長梁仍按公式(8.8)計算正應力誤差不大. 此時，強度條件中應該用危險截面上的彎矩.總之，梁的正應力公式的應用條件

9、除了必須是直梁，材料必須是線彈性的以外, 還必須滿足：由， 中性軸neutral axis必須過形心. 依此確定z軸位置。由， 外力必須作用在主慣性平面principal plane內, 以保證發(fā)生平面彎曲.由， 外力必須過剪心shear center, 以保證只彎不扭. 不滿足上述條件，就成為組合變形.例5-1 P149.8/15/202213工程力學5-2 截面的幾何性質1 形心, 靜矩 Centroid and static moment of the Area 面積為零次矩 靜矩為一次矩 慣性積為二次矩 形心： (5-4)1當時, z 軸過形心.組合圖形形心的求法： (5-4)28/1

10、5/202214工程力學2 慣性矩,平行移軸定理 Moment of inertia, parallel-axis theorem 一. 慣性矩矩形P150：(5-5)空心圓：(5-6)慣性積： 當Iyz = 0時, y 及 z 這一對軸稱為主慣性軸 Principal axes. 對稱軸及與之垂直的軸均為主軸。主慣性軸的例子： 8/15/202215工程力學二. 平行移軸定理 Parallel-axis theorem (5-7)例5-2 P153三. 主慣性軸概念Conception of principal axes of the area當 時稱 y0, z0為主慣性軸. 8/15/2

11、02216工程力學5-3 彎曲強度計算 Calculation of the bending strength 一般細長和實心截面梁(包括軋制型鋼), 主要進行最大正應力校核. 先依M圖及截面, 材料等變化情況, 找到危險截面, 然后對危險點進行校核:最大正應力 (5-8) 抗彎截面系數(shù) (5-9) 矩形截面 (5-10) 圓形截面 (5-11)軋制型鋼的 I 與 W 可以從型鋼表中查出.只有一根對稱軸的截面, 最大拉應力和最大壓應力不相等, 它們都要校核: (5-12) (5-13)8/15/202217工程力學例5-5, P160, 例5-7, P1625-4 提高梁抗彎能力的措施 Mea

12、surements for improving the bending strength因為 . 可用下述措施降低最大彎矩，提高抗彎截面模量來提高彎曲強度。1 合理安排梁的受力情況（1）支座安排：降低最大彎矩。（2）載荷安排：降低最大彎矩.2 梁的合理截面：提高Wz /A. 8/15/202218工程力學2 采用等強度梁使例如矩形截面簡支梁中點受集中力, 若 h = 常數(shù). b = b(x).bmin由剪應力強度條件確定.應用：鋼板彈簧.若 b = 常數(shù). h = h(x).應用：階梯軸和魚腹梁. 第五章習題 P182 ：5-6(強度), 5-9b, (慣性矩), 5-11 (鑄鐵).8/15

13、/202219工程力學5-5 矩形截面梁的彎曲剪應力簡介* Shearing stresses in beams of rectangular cross-section 橫力彎曲的梁, 有彎矩就有正應力(已知). 有剪力就有剪應力(待求). 方法: 考慮平衡條件.假設：1. 剪應力方向平行于橫截面?zhèn)冗? 2. 剪應力大小沿寬度平均分布. (5-14) 8/15/202220工程力學1 矩形截面 (5-15)2 工字形截面的剪力主要由腹板承擔式(8.9)中的Iz / S*zmax的數(shù)值可以從型鋼表中查到.3 圓形截面 (5-16)彎曲剪應力強度條件：中性軸處為純剪切， (5-17) 8/15/

14、202221工程力學第六章 梁的變形 靜不定梁 Deflection of beams, statically indeterminate beams6-1 引言 Introduction 齒輪軸，吊車梁（出現(xiàn)爬坡）。相反要求：鋼板彈簧，測力扳手。尋找求變形的基本方法.梁剛度計算、靜不定問題和振動計算中都要求計算變形。 1 撓度,轉角及其相互關系Deflection, angle and their relationship 線位移小變形情況下C點沿 x 方向的位移u 可以忽略. 沿 y 方向的位移 v = y. 撓度 y deflection ：與 y 軸同向為正。轉角 slope of t

15、he deflection curve ： 從 x 軸按最小角度轉向 y 軸的方向為正。關鍵在于確定梁的撓度方程 y = y(x). (6-1)8/15/202222工程力學6-2 撓曲線近似微分方程 Differential equation of the deflection curve 問題歸結為求撓曲線 y = f(x). 推導公式時，不計Q的影響，所有的量均選為正。純彎時有曲率 curvature 公式：曲率的數(shù)學公式： 依彎矩及曲率符號的規(guī)定，正彎矩對應正曲率，故取正號這就是精確撓曲線微分方程。注意，若坐標軸方向改變，將改變上述公式的符號。近似微分方程： 其作用是使方程線性化。8/

16、15/202223工程力學6-3 積分法求梁的變形 Finding the deflection of a beam by direct integration 積分常數(shù) constants of integration 由下述條件確定。邊界條件 boundary conditions ：（1）固定端：y = 0, y = 0.（2）鉸支端：y = 0.連續(xù)條件 conditions of continuity ：（ 即各段的邊界條件）對于連續(xù)梁的各截面只有唯一的撓度和轉角。例6-1 懸臂梁受集中力P193, 例6-2 簡支梁受均部載荷, 例6-3 簡支梁, 兩段. 積分法的優(yōu)點是可以求出撓度

17、和轉角的方程。當只需求特定截面的撓度和轉角時，可以用疊加法.8/15/202224工程力學6-4 用疊加法求梁的變形 Finding the deflection by method of superposition 在材料服從虎克定律和小變形情況下，撓曲線微分方程是線性的。線性方程的解可以用疊加法求得：簡單載荷作用下梁的變形見表6-1. P199.例 6-4 P2038/15/202225工程力學6-5 梁的剛度條件 Stiffness condition, 最大撓度和最大轉角不超過規(guī)定值： 例6-5. P205, 例6-6. P206.提高梁的剛度的主要措施 Measurements fo

18、r raising the bending rigidity 因為 可以用下述措施降低彎矩 M，提高梁的剛度EJ, 減少其變形.1 改善結構形式以降低 M。選擇合理截面形狀以提高 I。 習題：P221. 6-1a, c, 6-2b（積分法）, 6-3f（疊加法）.8/15/202226工程力學6-6 靜不定梁 Statically indeterminate beams解法：變形比較法。為一度靜不定問題。4-3 = 1.（1） 列平衡方程，判斷靜不定次數(shù)。（2） 選靜定基本系統(tǒng)（不唯一）。 去掉多余約束，代以多余約束反力。（3）依變形諧調條件列補充方程。平衡方程：諧調條件：求出RB后，就可從平

19、衡方程求出其他未知數(shù)，從而畫出M圖。8/15/202227工程力學第七章 應力狀態(tài)和強度理論 Analysis of Stress State and Strength Theories 7-1 應力狀態(tài)的概念一點的應力狀態(tài)：過一點各個面上的應力情況。拉壓和純彎曲：單向應力狀態(tài)。扭轉：純剪切應力狀態(tài)。本章分析一點的應力狀態(tài), 建立復雜受力情況下的強度條件. 描述法：用單元體 element 上互相垂直面上的應力來描述.主平面 principal plane ：剪應力為零的平面. 主應力 principal stress ：主平面上的正應力. 主應力的方向為主方向.過一點總可以找到三個互相垂直的

20、主平面, 其上的主應力按代數(shù)值排號. 單向應力狀態(tài) uniaxial stress state ：只有一個主應力不為零.二向應力狀態(tài) plane stress state ：兩個主應力不為零.三向應力狀態(tài) three-dimensional stress state ：三個主應力都不為零. 已知三個互相垂直面上的應力, 則一點的應力狀態(tài)確定. 即, 任意面上的應力可以求得. 每個面上有三個應力分量, 共九個應力分量 這九個應力分量的總體, 是一個二階張量, 稱為應力張量. 8/15/202228工程力學7-2 平面應力狀態(tài) Two-dimensional stress state 1 斜面上的

21、應力分析已知 x, y, xy, 求 1, 2 及 1 之方向 .符號規(guī)定： ： 拉為正. ：對單元體內任一點取矩時, 按右手螺旋法則旋進方向為正. ：從 x 軸按最小角度轉向 y軸的方向為正.聯(lián)解得： (7-1) (7-2) 8/15/202229工程力學2 主應力, 主平面與最大剪應力Principal stresses, principal plane and maximum shearing stress 1) 主應力與主方向的確定 求 的極值: (a) (7-3)應力的極值smax和smin均為主應力。以 0 的兩個值代入式(a)得 (7-4)8/15/202230工程力學2) 最大

22、剪應力及其作用面 的極值： (7-5)可見最大與最小剪應力所在的平面與主平面的夾角為45。以 1 的兩個值代入式(11.1)得 (7-6)例 7-1 P232求斜截面上的應力.例 7-2 P236求主應力和最大剪應力.純剪切和單向應力狀態(tài)P2378/15/202231工程力學FF3)構件中單元體的選取及應力狀態(tài)的描述A點xxA點1, 拉伸矩形桿8/15/202232工程力學xA點A點xxmmm2, 扭轉問題8/15/202233工程力學3）彎曲問題圖示梁的A、B、C、D四點中，單向應力狀態(tài)的點是_，平面應力狀態(tài)的點是_，純剪應力狀態(tài)的點是_，在任何截面上的應力均為零的點是_。8/15/2022

23、34工程力學7-3 三向應力狀態(tài) Three dimensional stress state可以證明三向應力狀態(tài)下，過一點斜截面上的應力的極值如下： (7-7)第七章習題P261 : 7-3c, 7-5bc, （二向應力狀態(tài)） 8/15/202235工程力學廣義虎克定律：Generalized Hookes law 應力張量 stress tensor 可以用矩陣表示：利用單向拉伸的縱向應變 與橫向應變 的結果疊加,得到(7-8)各向同性材料的主應力與主應變方向相同。8/15/202236工程力學7-4 材料的破壞形式不同材料在不同應力狀態(tài)下，可能出現(xiàn)不同的破壞現(xiàn)象。金屬材料同時具有兩種極限

24、抵抗能力：抵抗脆性斷裂的極限抗力用b表示。抵抗塑性屈服的極限抗力用s表示。1. 材料破壞的基本形式：脆性材料（如鑄鐵）通常發(fā)生脆性斷裂。塑性材料（如低碳鋼）通常發(fā)生塑性屈服。2. 應力狀態(tài)對破壞形式的影響：脆性材料在三向壓縮時也可能因屈服而破壞。塑性材料在三向拉伸時也可能因而脆性斷裂而破壞。8/15/202237工程力學7-5 強度理論 Strength theories 1. 強度理論的概念強度理論是關于材料在復雜應力狀態(tài)下強度失效原因的理論。失效 Failure : 屈服Yielding. 斷裂 Fracture.簡單應力狀態(tài)的強度條件是直接以實驗為基礎的。 單向應力狀態(tài)： 純剪切：問題：

25、圖示單元體能否用上述判據(jù)來校核呢？復雜應力狀態(tài)下，不可能在各種復雜應力狀態(tài)進行無窮多組實驗。只有借助于理論，用簡單實驗的結果去建立復雜應力狀態(tài)的強度。強度理論回答：（1）什么因素促使材料強度失效？ （2）強度條件是什么？假說實驗證實就成為理論。目前還沒有萬能理論。強度理論依它所解釋的失效是斷裂還是屈服分為兩大類。關于斷裂的理論有第一、第二強度理論。關于屈服有第三、第四強度理論。還有基于實驗的莫爾理論8/15/202238工程力學2 . 常用強度理論 Usual strength theories (1)第一強度理論最大拉應力理論 Maximum tensile stress theory 意大

26、利G. Galilo (1564-1642) 就做過簡單的強度實驗。通常認為該理論主要歸功于著名的英國教育家 W. J. M. Rankine (1820-72)，稱為Rankines Theory。認為引起材料斷裂的原因是max = 1。三向應力狀態(tài)時當1達到某極限值 Critical Value時就斷裂。該值可由任何應力狀態(tài)下實驗求得。特別，可在簡單拉伸實驗下求得。強度條件：實驗證明：鑄鐵等材料在單向拉伸時于橫截面斷裂；扭轉時于45面上斷裂等均與實驗符合。后修正為最大拉應力理論缺點：未計及2，3 的影響。無拉應力時無法應用。 8/15/202239工程力學(2)第二強度理論最大線應變理論M

27、aximum strain theory最早由著名物理學家 Mariotto (1682) 提出。該理論常認為由法國著名彈性理論專家 B. de Saint Venant (1797-1886)所創(chuàng)立。稱為St.Venants Theory。圣維南是針對屈服失效提出的，后人用于斷裂。并修正為最大伸長應變理論。認為引起材料強度失效的原因是 max = 1。三向應力狀態(tài)時，當 1 達到某極限時就失效。強度條件：實驗證明：作為屈服失效理論是錯誤的。長期被使用是由于St. Venant 的名氣。作為斷裂失效理論：可解釋單向和拉壓（較大）二向應力的某些實驗結果。缺點：不能解釋許多實驗結果。該理論實際上已

28、經(jīng)不用。 8/15/202240工程力學(3) 第三強度理論最大剪應力理論 Maximum shearing stress theory最初由C. A. Coulumb 1773年提出，后來，1868年H. Tresca 在法國科學院發(fā)表了他的論文：“金屬在高壓下的流動”?，F(xiàn)在該理論常用他的名字，稱為 Tresca 屈服條件。認為引起材料屈服的原因是max 。當max 達到某極限時材料就發(fā)生屈服。強度條件：實驗證明：較好地解釋了屈服現(xiàn)象，與塑性材料二向應力實驗符合較好，且偏于安全。缺點：未計及2。 8/15/202241工程力學(4)第四強度理論最大形狀改變比能理論 Maximum disto

29、rtion energy theory 意大利 E. Beltrami 1885年提出最大應變能理論。它不能解釋三向等壓情況下的實驗。波蘭學者 M.T. Huber 1904 年將其修正為最大形狀改變比能理論 ；后來進一步由德國R. von Mises (1913)和美國 H. Hencky (1925) 所發(fā)展和解釋。這個廣泛應用的理論常稱為 Huber-Hencky-Mises 屈服條件?；蚝喎Q為 von Mises 屈服條件。其實早在1865年，J. C. Maxwell在寫信給W. Thomson 時就已經(jīng)提出最大形狀改變比能理論的思想。在他的信件被發(fā)表后才為人們所知道。認為引起材料屈

30、服的原因是uf 。當 uf 達到某極限時材料就會因屈服而失效。強度條件：實驗證明：很好地解釋了屈服現(xiàn)象，與塑性材料二向應力實驗符合很好8/15/202242工程力學強度理論的應用 Application of strength theories應用強度理論時要注意的問題 四種強度理論與實驗結果的比較：見圖。強度理論的應用：一般情況下1. 鑄鐵、石料、混凝土、玻璃等脆性材料 可以用第一或莫爾理論。2. 碳鋼、鋁、銅等塑性材料可以用第三、 第四強度理論。材料的劃分是有條件的（常溫、靜載、單向受力）。即使同一材料，在不同應力狀態(tài)下，也可能發(fā)生不同形式的失效。特殊情況：3. 塑性材料接近三向等拉時，可

31、以因為拉斷而失效。（剪應力很小，不可能 屈服。）宜用第一強度理論。如螺紋根部。4. 脆性材料接近三向等壓時，可以因為屈服而失效。（無拉應力不可能拉斷。宜用第三或第四強度理論。如滾珠軸承。 應用舉例: 例 7-3 P256例 7-4 第七章習題P264：7-10，7-13（強度理論） 8/15/202243工程力學第八章 組合變形桿件的強度 Compound Stresses8-1 引言 疊加原理 Principle of superposition兩種以上 基本變形的組合情況 稱為組合變形。關鍵（1）基本變形公式的應用范圍。 （2）疊加原理。將組合變形情況分解為幾種基本變形，然后疊加各基本變形

32、的內力、應力、位移和應變，即可以求得組合變形的相應解答。基本變形的應用范圍：拉壓：外力過截面形心，且平行于軸線，截面形狀任意。扭轉：外扭矩的作用面垂直于軸線。截面為圓形。彎曲：（1）中性軸過形心。 （2）外力作用于主慣性平面，且垂直于軸線。 （3）外力過剪心 8/15/202244工程力學拉壓、扭轉、彎曲等重要公式(空心橫截面) 疊加原理前提：（1）材料服從虎克定律。屬于物理線性。（2）小變形情況，初始尺寸原理成立。屬于幾何線性。在上述前提下內力、應力、變形、位移與外力是線性關系。其控制方程是線性（代數(shù)、微分、積分）方程。其解可以疊加。 8/15/202245工程力學8-2 拉彎組合 Comp

33、ound stresses caused by an axial force and bending moments對于矩形截面和短粗桿P268，有 (-1) 例 8-1 P270.壓彎組合。例 8-2 P272.拉彎組合。 8/15/202246工程力學8-3 彎扭組合 Compound stresses caused by a torque and a bending moment圖示軸同時受彎曲和扭轉，危險截面在A處。危險點在a 點，單元體上的應力為代入(7-4), 得代入第三或第四強度理論公式得：(a)以(a)代入上式得：8/15/202247工程力學例, 已知傳遞功率K (kW),

34、轉速n (r/min) 及 a, l, R, r, 等, 校核軸是否安全.解：(1)計算簡圖、外力。 (2)內力、內力圖、找危險截面.危險截面在C處： (3)應力圖、危險點、強度條件.例 8-5 P279, 齒輪軸.習題P285：8-4偏心拉伸, 8-9彎扭, 8/15/202248工程力學第九章壓桿的穩(wěn)定 Stability of Columns 穩(wěn)定性問題 來自工程實踐。破壞的突然性：加拿大奎貝克橋1907、1916兩次失事。瑞士孟漢希太因橋1896之破壞，200人喪生。 當人們采用各種方法節(jié)約材料時, 會遇到細長或薄壁構件. 在一定載荷作用下, 將出現(xiàn)另一種失效形式：失去平衡的穩(wěn)定性.主

35、要矛盾轉化：從強度失效到穩(wěn)定失效. 一定條件下，將出現(xiàn)各種形式的失穩(wěn)現(xiàn)象.受壓之桿：由細變長. 受剪之板：由厚變薄。受扭圓筒：由厚變薄. 受壓圓筒：J由小變大. 受彎之梁：J由小變大. 甚至受拉之軸：由細變長.本章討論: 壓桿穩(wěn)定性概念; 壓桿臨界力的計算方法;壓桿的安全校核. 8/15/202249工程力學9-1穩(wěn)定性的概念 Conception of stability構件在平衡的前提下，平衡形式可以是穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和臨界平衡判斷平衡是否穩(wěn)定，必須加干擾。穩(wěn)定平衡：干擾去掉以后，構件可以完全恢復原有形狀下的平衡。不穩(wěn)平衡：干擾去掉以后，構件不能完全恢復原有形狀下的平衡。臨界平衡：臨界

36、情況。以細長壓桿為例，若為理想直桿中心受壓。即假設：(1)桿是絕對直桿，無初曲率。(2)外力P絕對通過軸線，無偏心。(3)材料絕對均勻。則在外力 P 的作用下, P 無論有多大, 也沒有理由往旁邊彎曲 8/15/202250工程力學設桿受到干擾而彎曲, 則任意橫截面上, 有兩種彎矩在抗衡： MW = -Py使桿繼續(xù)彎曲. M = EIy”使桿回彈.若 MW M , 桿將繼續(xù)彎曲, 桿在原來形狀下的平衡 是不穩(wěn)定的. (當壓力為P時)若 MW = M, 或 EIy”= -Pcry 時, 桿件處臨界平衡狀態(tài). 當 P Pcr, 桿件存在兩種可能的平衡形式, 即直線的(E點)和曲線的(F點)平衡形式

37、, 但是直線的平衡形式是不穩(wěn)定的. 在外界干擾下, 將轉變到F點而達到曲線形式的平衡. 這種現(xiàn)象稱為“平衡形式的分叉”, 在P f 圖上由直線段和曲線段所表征. 壓桿從直線平衡形式到曲線平衡形式的轉變稱為“失穩(wěn)”或“屈曲”.穩(wěn)定的直線平衡形式和不穩(wěn)定的平衡形式之間的分界點(Pf圖中的B點), 稱為臨界點. 因為在臨界點之后發(fā)生平衡形式的分叉, 又稱為分叉點.由此得到 Euler 方程. 利用它可以求出臨界壓力 Pcr.穩(wěn)定條件： P Pcr/ ncr.或工作安全系數(shù)應該大于或等于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)n = Pcr / P ncr.8/15/202251工程力學9-2 細長桿的臨界力，Euler公

38、式 Eulers formula 臨界平衡時： EIy”= Pcry通解：邊界條件：齊次代數(shù)方程有非零解的充分必要條件為：n = 1時，使Pcr為最小值。 這就是有名的 Euler 公式。8/15/202252工程力學從物理上看：已知曲線形狀的平衡，反求 Pcr， 這屬于大位移問題。從數(shù)學上看：為特征值問題 characteristic value problems即求齊次微分方程在齊次邊界條件下k =? 時有非零解。例如，求振動的固有頻率、求穩(wěn)定問題的臨界值、求主應力、主應變和主慣性軸等等，都是特征值問題。應用范圍：（1） p 。 （2）小變形。否則 .進一步分析指出，有偏心時，上述臨界值仍

39、然正確8/15/202253工程力學其他常見支座形式下細長壓桿的臨界壓力 Critical values for columns with other end restraints 各種支座情況下的臨界壓力為： l為相當長度 effective length. 為長度系數(shù) effective length factor. 見表9-1。 例 9-1兩端固定P296.表-1 壓桿的約束條件長度系數(shù)兩端鉸支 = 1一端固定，一端自由 = 2兩端固定 =1/2一端固定一端鉸支 = 0.78/15/202254工程力學9-3 臨界應力與柔度Critical stress and slenderness

40、ratio, three kinds of columns Euler公式的適用范圍是： p大柔度桿, p, 用Euler公式： 臨界應力總圖 中柔度桿, s p, 用經(jīng)驗公式：小柔度桿, s, 按強度校核.A3鋼的 p 近似為100.例9-2. P3038/15/202255工程力學9-4 壓桿的穩(wěn)定計算 Design of columns 工作安全系數(shù)不小于規(guī)定的安全系數(shù)例 9-3. P306, 例 9-4. P307. 9-5 提高壓桿承載能力的措施 Measurements for raising the carrying capacity of columns （1）選擇合理截面形狀

41、：加大J和i。使各個方向 相等。（2）改變桿的約束條件：加中間支座、改為固定端。（3）合理選擇材料：大柔度桿臨界壓力與材料無關。中柔度桿臨界壓力與材料有關。采用優(yōu)質鋼可以提高臨界壓力。 第九章習題 P314：9-2, 9-4 8/15/202256工程力學第十章 材料的力學性能Mechanical properties 10-3 交變應力下材料的疲勞極限 fatigue limit1. 交變應力的類型最大應力 max, 最小應力 min.應力幅度Stress Range: 平均應力average stress: 循環(huán)特征（應力比） cyclic characteristic：1. 對稱循環(huán): symmetric