高考數(shù)學(xué)-立體幾何知識(shí)點(diǎn)與例題講解-題型方法技巧 學(xué)生用

1、立體幾何知識(shí)點(diǎn)and例題講解 一、知識(shí)點(diǎn)常用結(jié)論1證明直線與直線的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.2證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.3證明平面與平面平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.4證明直線與直線的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5證明直線與平

2、面垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.6證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.7.夾角公式 ：設(shè)a，b，則cosa，b=.8異面直線所成角：=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）9.直線與平面所成角：(為平面的法向量).10、空間四點(diǎn)A、B、C、P共面，且 x + y + z = 111.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.12.三余弦定

3、理：設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BCAC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為則.13.空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A，B，則=.14.異面直線間的距離： (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).15.點(diǎn)到平面的距離：（為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，）.16.三個(gè)向量和的平方公式：17. 長(zhǎng)度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.18. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的).19. 球的組合體(1)球與長(zhǎng)方體的組合體

4、: 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(3) 球與正四面體的組合體: 棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.20.求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積法）二溫馨提示：1.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你是否注意到它們各自的取值范圍及義？ 異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次. 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是 反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是三

5、解題思路：1、平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 線面平行的判定： 線面平行的性質(zhì)： 三垂線定理（及逆定理）： 線面垂直： 面面垂直： 2、三類(lèi)角的定義及求法 （1）異面直線所成的角，090 （2）直線與平面所成的角，090 （三垂線定理法：A作或證AB于B，作BO棱于O，連AO，則AO棱l，AOB為所求。） 三類(lèi)角的求法： 找出或作出有關(guān)的角。 證明其符合定義，并指出所求作的角。 計(jì)算大小（解直角三角形，或用余弦定理（四）棱柱和棱錐（1）. 棱柱.a. = 1 * GB3 直棱柱側(cè)面積：（為底面周長(zhǎng)，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形得出的. = 2 * GB3 斜棱住側(cè)面積：（

6、是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為平行四邊形得出的.b.四棱柱平行六面體直平行六面體長(zhǎng)方體正四棱柱正方體.直四棱柱平行六面體=直平行六面體.c.棱柱具有的性質(zhì)： = 1 * GB3 棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形. = 2 * GB3 棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形. = 3 * GB3 過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注： = 1 * GB3 棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱. （）（直棱柱不能保證底面是矩形,可如圖） = 2

7、* GB3 （直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.d.平行六面體：定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.注：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則 .推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，則.注： = 1 * GB3 有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四棱柱的兩個(gè)平行的平面可以為矩形） = 2 * GB3 各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行） = 3 * GB3 對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱

8、柱一定是長(zhǎng)方體.（）（只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形） = 4 * GB3 棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）（2）. 棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.注：一個(gè)三棱錐四個(gè)面可以都為直角三角形.一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以.a.正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心.注： = 1 * roman i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形） = 2 * roman ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底

9、面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.正棱錐的側(cè)面積：（底面周長(zhǎng)為，斜高為） = 3 * GB3 棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）附：以知，為二面角. 則 = 1 * GB3 ， = 2 * GB3 ， = 3 * GB3 = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 得.注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個(gè)三角形面積和的方法）.b.棱錐具有的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.正棱錐的高、斜

10、高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.c.特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置： = 1 * GB3 棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心. = 2 * GB3 棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心. = 3 * GB3 棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心. = 4 * GB3 棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心. = 5 * GB3 三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心. = 6 * GB3 三棱錐的

11、三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心. = 7 * GB3 每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑； = 8 * GB3 每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.注： = 1 * roman i. 各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（）（各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等） = 2 * roman ii. 若一個(gè)三棱錐，兩條相對(duì)棱互相垂直，則第三組相對(duì)棱必然垂直. 簡(jiǎn)證：ABCD，ACBD BCAD. 令得，已知?jiǎng)t. = 3 * roman iii. 空間四邊形OABC且四邊

12、長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形. = 4 * roman iv. 若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)，則平面90易知EFGH為平行四邊形EFGH為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等，則為正方形.（3）. 球：a.球的截面是一個(gè)圓面.球的表面積公式：.球的體積公式：.b.緯度、經(jīng)度：緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過(guò)點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.附：圓柱體積：（為半徑，為高）圓錐體積：（為

13、半徑，為高） = 3 * GB3 錐體體積：（為底面積，為高） （1）. = 1 * GB3 內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，得.注：球內(nèi)切于四面體：。 = 2 * GB3 外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.二、題型與方法【考點(diǎn)透視】 不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來(lái)完成。 求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量?！纠}解析】考點(diǎn)1 點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.例1如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)ABCD（）求

14、證：平面；（）求二面角的大??；（）求點(diǎn)到平面的距離考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力 考點(diǎn)2 異面直線的距離此類(lèi)題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例2已知三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，棱的長(zhǎng)為2，且垂直于底面.分別為的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離.考點(diǎn)3 直線到平面的距離此類(lèi)題目再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn)面、線

15、面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.例3 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離.BACDOGH思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.考點(diǎn)4 異面直線所成的角此類(lèi)題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形來(lái)求角.異面直線所成的角是高考考查的重點(diǎn).例4、如圖，在中，斜邊可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角是的中點(diǎn)（ = 1 * ROMAN I）求證：平面平面；（ = 2 * ROMAN II）求異面直線與所成角的大小思路啟迪：（ = 2 * ROMAN II）的關(guān)鍵是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi). 考點(diǎn)5 直線和平面所成的角此類(lèi)題主要

16、考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計(jì)算.線面角在空間角中占有重要地位，是高考的?？純?nèi)容.例5. 四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明；（）求直線與平面所成角的大小考查目的：本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力 考點(diǎn)6 二面角此類(lèi)題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)行求解.二面角是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)重視.例6如圖，已知直二面角，直線和平面所成的角為（I）證明； ABCQP（II）求二面角的大小考點(diǎn)7 利用空間向量求空間距離和角眾所周知，利用空間向

17、量求空間距離和角的套路與格式固定.當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體幾何問(wèn)題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)，不僅會(huì)降低題目的難度，而且使得作題具有很強(qiáng)的操作性.例7如圖，已知是棱長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且（1）求證：四點(diǎn)共面； （2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，垂足為，求證：平面； （3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力 考點(diǎn)8.簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積及體積和球的計(jì)算棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積.直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于

18、Sh其中S是底面積，h是棱錐的高.典型例題例8 .已知圓O1是半徑為R的球O的一個(gè)小圓，且圓O1的面積與球O的表面積的比值為，則線段OO1與R的比值為 .RrAO1O命題目的：球截面的性質(zhì)；球表面積公式.過(guò)程指引：依面積之比可求得，再在RtOO1A中即得選擇題辨析注：兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（）（可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（）（射影不一定只有直線，也可以是其

19、他圖形）在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等.（）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段）是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.注：直線與平面內(nèi)一條直線平行，則. （）（平面外一條直線）直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交. （）（平面外一條直線）若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線與平行. （）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面. （）（可能在此平面內(nèi)）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行.（）（兩個(gè)平面可能相交）平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.（）（兩直線可能相交或者異面）直線與平面、所成角相等，則.（）（、可能相交）注：垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.（）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行.（）（一條直線垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面）垂直于同一平面的兩條直線平行.（）注：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn). 一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（）射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上注：有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱