經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模例子1

1、本文檔來源于第一文庫網(wǎng)： HYPERLINK /news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模例子一、摘要SARSSARS就是傳染性非典型肺炎，全稱嚴(yán)重急性呼吸綜合癥(Severe Acute Respiratory Syndromes), 簡稱SARS,是一種因感染SARS相關(guān)冠狀病毒而導(dǎo)致的 以發(fā)熱、干咳、胸悶為主要癥狀，嚴(yán)重者出現(xiàn)快速進(jìn)展的呼吸系統(tǒng)衰竭，是一種新的 呼吸道傳染病，傳染性極強(qiáng)、病情進(jìn)展快速。當(dāng)一種傳染病流行的時(shí)候，會(huì)給人們的工作學(xué)習(xí)帶來很大的不變，能有效地進(jìn)行 隔離、預(yù)防，會(huì)大大減少人員的得病率，當(dāng)

2、一種傳染病開始流行時(shí)，在一定的條件下其 趨勢就像真菌的繁殖曲線，如果能通過計(jì)算預(yù)測但大概推算出其發(fā)病率高峰時(shí)期，及 時(shí)的隔離預(yù)防。那會(huì)給社會(huì)人力帶來很大的方便 ，當(dāng)年SARS的爆發(fā)給我們帶來和 大的不便和損失，因此本論文就以SARS為例,來研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和 控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件和幫助。1二、正文1、模型的背景問題描述SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome,嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥，俗稱：非典型肺炎)是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教 訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到

3、定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重 要性。要求:(1)建立傳染病傳播的指數(shù)模型，評(píng)價(jià)其合理性和實(shí)用性。(2)建立一個(gè)適合的模型，說明為什么優(yōu)于問題1中的模型;特別要說明怎樣才能3建立一個(gè)真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和才$制提供可靠、足夠的信息的模型 ，這 樣做的困難在哪里？對(duì)于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評(píng)論，如:提前或延后5天采取 嚴(yán)格的隔離措施，對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。表中提供的數(shù)據(jù)供參考。(3)說明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。2、模型假設(shè)(一)答；用心打造免費(fèi)、綠色、專業(yè)、海量的教育文庫網(wǎng)站 HYPERLINK 本文檔來源于第一文庫網(wǎng)： HYPERLINK /

4、news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html從上列圖表可知道在4月20到5月7日期已確診的發(fā)病人總數(shù)呈指數(shù)增長趨 勢5月20到6月1日增長緩慢，6月1日至IJ 6月12日總數(shù)幾乎不變。其形式與生 物學(xué)中真菌繁殖總數(shù)相似。從表格和準(zhǔn)備中，作如下假設(shè)。1、不考慮SARS在人體中的潛伏期，也就是說當(dāng)人一旦傳染就表現(xiàn)出來立即就 具有傳染性。2、當(dāng)健康者滿足一地條件時(shí)，健康者才被傳染。3、整個(gè)發(fā)病期間為自然狀態(tài)也就是無人為外界干擾，政府等其它形式進(jìn)行隔離預(yù)防。4、忽略特殊情況，如個(gè)別人體質(zhì)弱或強(qiáng)的。假定初始時(shí)刻得病例數(shù)為M0。平均每位病人每

5、天可傳染N個(gè)人，可傳染他人 的時(shí)間為T天。則在T天內(nèi)，病例數(shù)目的增長隨著時(shí)間t（單位天）的關(guān)系是；M（t）=M0（1+N）t如果不考慮對(duì)傳染期的限制則病例數(shù)將按照指數(shù)規(guī)律增長考慮 ，當(dāng)傳染期T的 作用后，變化將顯著偏離指數(shù)規(guī)律，增長速度會(huì)放慢。把達(dá)到T天的病例從可以引發(fā) 直接傳染的基數(shù)中去掉，為了方便從開始到高峰期間，均采用同樣的N值，（從擬合這 一階段的數(shù)據(jù)庫定出），到達(dá)高峰之后在10天的范圍內(nèi)逐步調(diào)整N值，到比較小，然 后保持不變 擬合后在控制階段的全部數(shù)據(jù)。評(píng)價(jià)及其合理性和實(shí)用性；本模型主要有三個(gè)參數(shù)M0、N、T,且都具有實(shí)際意義。T可理解為平均每個(gè) 病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期

6、限，在此期限后失去傳染能力，可能原因是 被隔離、病愈或死去等等。N表示某種社會(huì)條件下平均每位病人每天傳播的人數(shù) （但并非文中所述的一個(gè)病人的感染他人的平均概率）。整個(gè)模型抓住了 SARS傳播 過程中兩個(gè)主要特征：傳染期T和傳染率N,反映了 SARS的傳播過程。使人很容易 理解該模型。模型靈活通過調(diào)整M0、N、T值,就可以描述不同地區(qū)，不同環(huán)境下SARS的初期傳播規(guī) 律預(yù)測準(zhǔn)確通過模型對(duì)表格的調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了分析，得到的預(yù)測值與實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)較接 近?？纱笾骂A(yù)測出疫情的爆發(fā)點(diǎn)和發(fā)展趨勢。用心打造免費(fèi)、綠色、專業(yè)、海量的教育文庫網(wǎng)站 HYPERLINK 本文檔來源于第一文庫網(wǎng)： HYPERLINK /

7、news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html預(yù)期模型的缺點(diǎn)：1、對(duì)于如何確定對(duì)于三個(gè)參數(shù) M0、N、T,未給出一般的原則或算法，只能通 過對(duì)于已發(fā)病地區(qū)的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得出。按照作者的表述,N值是以病發(fā)高峰為界取各段的平均值作為傳染概率，雖然簡化了運(yùn)算，但是在現(xiàn)實(shí)情況下，不同地區(qū)的N 值是不同的。在實(shí)際應(yīng)用中，如果沒有一定量的數(shù)據(jù)，是無法得出N值的。在我們對(duì) 該模型5進(jìn)行擬合事發(fā)現(xiàn)，對(duì)于M0、N、T作者未給出調(diào)整的標(biāo)準(zhǔn)和相關(guān)理論，所以我 們很難重復(fù)該求解過程。2、當(dāng)需要對(duì)某一地區(qū)進(jìn)行疫情分析時(shí)，還需考慮到該地區(qū)相對(duì)于表格所給的人 群

8、這類人口密集，人員流動(dòng)性大的城市之間的差異。地域因素會(huì)造成不同地區(qū)的N值不同(如人口密度和人口流動(dòng)大的城市若爆發(fā)傳染病，初期的N值會(huì)比人口密度和 人口流動(dòng)小的城市大，等等),而很難找到地域因素幾乎相同的兩城市。所以此作法可 能導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果相差較大。綜上所述該模型能較好的反映SARS傳染的特征性，具有一定的實(shí)際意 義。但是，參數(shù)的取值包含有一定的主觀因素，且需要大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，且未給出 調(diào)整的標(biāo)準(zhǔn)和相關(guān)理論，在實(shí)際應(yīng)用中實(shí)用價(jià)值不大。(二)答：模型假設(shè)1、在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù) N不變,既不考慮生死，也不考慮遷 移。人群分為易感染者和已感染者兩類，時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分

9、別 記為s (t )和i (t )。2、每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)k ,k稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染為病人。問題分析根據(jù)假設(shè)，可知，人群分為兩類，一是健康者，二是病人，只要一類人群隨時(shí)間的變 化規(guī)律知道，這另一類人群也可馬上求解。由于傳染病過程中通常取病人為研究對(duì) 象，所以決定求解病人隨時(shí)間的變化規(guī)律。3、模型分析、建立對(duì)于t時(shí)刻，病人的增加率為kNsi ,即用心打造免費(fèi)、綠色、專業(yè)、海量的教育文庫網(wǎng)站 HYPERLINK 本文檔來源于第一文庫網(wǎng)： HYPERLINK /news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC

10、78F004.html diN kNsi dt =(1)又因?yàn)镾 (t )+i (t尸1(2)再令初始時(shí)刻白病人比例為i0,這,(0)0diki i i i dt =-=(3) 顯然此為logistic模型，它的解為1()1(1/01)kt i t i e -= +-(4)參數(shù)的確定 通過對(duì)圖表的累計(jì)病例數(shù)用spss進(jìn)行曲線擬合，結(jié)果如下 可得擬合的函數(shù)關(guān)系式為11/25250.001(0.865)t y = +,y=N*i 通過取一系列t來估計(jì)出相應(yīng)的k值，結(jié)果如下時(shí)間20 30 40 50 60k 值大小 0.1919 0.1763 0.1685 0.1638 0.1607 7由圖像可知，

11、當(dāng)t較大時(shí)，曲線擬合的數(shù)據(jù)與實(shí)際測量值越接近，所以就取t=60 時(shí)所對(duì)應(yīng)的k值，即0.1607。此值可以近似看做當(dāng)政府沒有采取措施，即傳染病的自 然傳染能力大小。但同時(shí)根據(jù)附件1的求解方法，我們計(jì)算了 4月20日到4月29 日期間每日的k值大小，再求平均，得k =0.169346。對(duì)于k和k之間的差異，這是 由于模型1并未考慮到政府控制前和控制后 k值將改變，且k1k2。所以由于k只 考慮控制前，所以比k要略大，我們考慮傳染病的每天平均自然傳染人數(shù)時(shí)，取值為k =0.169346。但由于此模型未考慮到病人會(huì)被治愈而成為健康者，所以在模型1的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，建立了模型2。模型2在模型1的假設(shè)條件

12、下增加的條件為，1,每天被治愈的病人數(shù)或死于該傳染病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)p。病人治愈后由于獲得了免疫能力，同時(shí)也由于心理作用，更加保護(hù)自己，所以可以假設(shè)治用心打造免費(fèi)、綠色、專業(yè)、海量的教育文庫網(wǎng)站 HYPERLINK 本文檔來源于第一文庫網(wǎng)： HYPERLINK /news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html愈后再次感染的幾率為0,且該種人群在總?cè)巳褐兴加械谋壤秊閡 (t)。不難看出，考慮到假設(shè)3,模型1中的(1)式應(yīng)修改為,(0)0diN kNsi pNi i i dt=-=(5)而且對(duì)于健康者，其增加率為,(0)0d

13、sksi s s dt=-=(6)對(duì)于移出者而言，其增加率為duN pNi dt=(7)由于人群只由健康者，病人和移出者組成，所以S(t)+i(t)+u(t)=1(8)4、模型求解查資料，得到2003年北京市市區(qū)總?cè)丝跀?shù)目為 698.8萬人從而可以得到初始條件 i0= 339/(698.8*10A(-4)=4.851*10A(-5) ,s0=0.99995149(取4月20號(hào)為初始條件)同時(shí)根據(jù)附件2中的死亡累計(jì)和治愈累計(jì)，求得每日的移出率p，在求平均值得 到p =0.05121。 在模型一中求得k =0.169346;將上述參數(shù)代入(5)式和(6)式，求 得數(shù)值解和繪制的圖像010.0590

14、50100150200用心打造免費(fèi)、綠色、專業(yè)、海量的教育文庫網(wǎng)站 HYPERLINK 本文檔來源于第一文庫網(wǎng)： HYPERLINK /news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html6時(shí)間能感染的病人數(shù)由圖像可得i (t )隨時(shí)間的推移先逐漸變大，之后變小,趨向于0,s(t)隨時(shí)間 的推移而逐漸減小，根據(jù)常識(shí)，一種傳染病中的病人比例最終是為 0,由此模型2還是 比較符合客觀事實(shí)的，但從圖像中大致可以判斷i (t尸0時(shí)大約要經(jīng)過225多天。 這與實(shí)際過程中大約經(jīng)過100多天北京的SARS就平息存在較大誤差，仔細(xì)分析，

15、我 們發(fā)現(xiàn)該模型忽略了 SARS的潛伏期，實(shí)際上健康人與SARS患者接觸后雖然被感 染了，但還處于潛伏期，沒有傳染能力。所以將模型2進(jìn)行改進(jìn)，得到模型3。模型3 模型假設(shè)1,將人群分為四類，分別為健康人群，能感染的病人SARS ,SARS潛伏者和移出 者(包才S SARS的死亡者和治愈者),他們?cè)谌巳褐械谋戎胤謩e為s(t),i(t),w(t),u(t);其中已確診病人和SARS潛伏者統(tǒng)稱為SARS病毒攜帶者，記為x1(t ),表示其t時(shí) 刻的人數(shù)，人口總?cè)藬?shù)為N。2，每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)k ,k稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染為病人。SARS潛伏者無傳染能

16、力，但最終會(huì)成為病人，具有傳染能力。問題分析該模型比起模型2更為復(fù)雜,在該模型中還必須將SARS病毒攜帶者分為兩類， 顯然增加了計(jì)算難度，在此中還應(yīng)該考慮潛伏周期T。模型求解在t時(shí)亥J SARS病毒攜帶者x1(t)=Ni(t)+Nw(t)(9) SARS 病毒攜帶者的增長率為1()()()()dx t Ni t ks t Ni t p dt=-(10)健康人的增長率為()()ds i t ks t dt =-(11) 移出者的增長率為duip dt=(12) 潛伏者的增長率為用心打造免費(fèi)、綠色、專業(yè)、海量的教育文庫網(wǎng)站 HYPERLINK 本文檔來源于第一文庫網(wǎng)： HYPERLINK /new

17、s/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5DC78F004.html()()()()()dw t i t ks t i t T ks t T dt=-(13)確診病人的增長率為()()()di t dw t T i t p dt dt-=-(14)除此之外，還有一條公式，為S(t)+i(t)+w(t)+u(t)=1(15) 由 到(16)式聯(lián)立，可得到()()()()di t i t T ks t T i t p dt=-(16) 將(14)和(17)式聯(lián)立，可得()()()dw t T i t T ks t T dt-=-(17) 將t-T用t代替，可得()

18、()()dw t i t ks t dt=(18) 在對(duì)(16)式兩邊對(duì)t進(jìn)行求導(dǎo)，可得()()()()0d s t d i t d w t d u td t d t d t d t+=(19) 結(jié)合(11),(12),(18)可求得()()di t i t p dt=-(20) 最終對(duì)(11),(18),(20)聯(lián)立的方程組進(jìn)行數(shù)值求解,可得圖像如下數(shù)學(xué)建模11-0.60.81用心打造免費(fèi)、綠色、專業(yè)、海量的教育文庫網(wǎng)站 HYPERLINK 本文檔來源于第一文庫網(wǎng)： HYPERLINK /news/9EED8CF5DC78F004.html /news/9EED8CF5D

19、C78F004.html1.200.050.40.450.5SARS疫情傳播的數(shù)學(xué)模型與預(yù)測00.511.522.533.56時(shí)間能感染的病人數(shù)從圖像中我們可以觀察到在300多天時(shí)i (t )會(huì)接近于0,這比模型2還要 久,，因此，我們還把政府的干預(yù)考慮進(jìn)來，也就得到了模型4。由于時(shí)間限制，模型4中考慮的因素更多，所以一時(shí)沒能解決，也就導(dǎo)致了第二問 實(shí)際上還不能完全解決，但是我們已經(jīng)有了思路，即再引入一類人群，就是隔離人群，通 過引入該人群，實(shí)際上是改變了病人的有效接觸人數(shù)k，我們根據(jù)4月29日之后的實(shí)際數(shù)據(jù)，求得每日的k值兩求平均，得2k =0.019413;我們想采用分段函數(shù)，即確 定一個(gè)時(shí)刻t ,k值改變的時(shí)刻，在這個(gè)時(shí)刻前與后都可以適用模型 3。只是在考慮t時(shí)刻后，它的 初始條件為4月29日的數(shù)據(jù)。通過t的改變，可以解決第二問中政府早五天調(diào)控和 晚五天調(diào)控的差別。5、模型的應(yīng)用與推廣模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型 的替代物，集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。用心打造免費(fèi)、綠色、專業(yè)、海量的教育文庫網(wǎng)站 HYPERLINK 本文檔來源于第一文庫