綜述維修線性流量閥時的內(nèi)筒設(shè)計問題

1、維修線性流量閥時的內(nèi)筒設(shè)計問題 2006研究生數(shù)學(xué)建模競賽C題 1 油田采油用的油井都是先用鉆機(jī)鉆幾千米深的孔后，再利用固井機(jī)向四周的孔壁噴射水泥砂漿得到水泥井管后形成的。固井機(jī)上用來控制砂漿流量的閥是影響水泥井管質(zhì)量的關(guān)鍵部件，但也會因磨損而損壞。目前我國還不能生產(chǎn)完整的閥體，固井機(jī)仍依賴進(jìn)口。由于損壞的內(nèi)筒已經(jīng)被磨損得面目全非，根本無法測繪出原來的形狀，因此維修時只能根據(jù)工作原理并結(jié)合閥的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計。 根據(jù)儀表刻度可知控制流量的閥是一個線性閥，即閥體的旋轉(zhuǎn)角度與砂漿流量成正比。在設(shè)計分析中假設(shè)砂漿的壓力恒定，進(jìn)而流量與“過流面積“（嚴(yán)格定義見下文）成正比，因此閥體的旋轉(zhuǎn)角度應(yīng)該與“過流面

2、積“成正比。 2 一般來講，控制流量的閥體為兩個同心圓柱筒（兩筒直徑大致相等）。外筒固定，它的側(cè)面上有一個孔，形狀為兩個直徑不等（相差至少3、4倍以上）的圓柱體的交線（見示意圖，孔的形狀可能由于輸出水泥砂漿的管道是圓柱形的和磨損方面的考慮而取上述形狀）。內(nèi)筒和外筒軸向之間沒有相對運(yùn)動，內(nèi)筒可以自由轉(zhuǎn)動。內(nèi)筒的側(cè)面上也有一個孔，它原來的形狀未知（維修的任務(wù)就是設(shè)計內(nèi)筒孔的形狀），砂漿可以從兩個孔的相交部分即“過流面積”流過。顯然“過流面積”不能超過外筒孔的面積?，F(xiàn)在數(shù)控機(jī)床比較普及，只要知道曲線的形狀就可以在維修所需要的內(nèi)筒上加工出合適的孔。當(dāng)然從實(shí)際加工角度考慮，內(nèi)筒孔的形狀也不宜太復(fù)雜。3可

3、以把兩個圓柱筒展開成平面，即為兩個長方形，筒的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為兩個長方形的平動來思考，此時可將外筒孔近似看作圓孔。（1）討論在上述閥體結(jié)構(gòu)下，在“過流面積”從為零直到外筒孔面積的范圍（簡稱“最大范圍”）內(nèi)，能否通過選擇內(nèi)筒孔形狀實(shí)現(xiàn)“過流面積”與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角度成嚴(yán)格的線性關(guān)系。如果不能，請?jiān)O(shè)計內(nèi)筒孔的形狀，在“最大范圍”內(nèi)，使“過流面積”與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角近似成線性關(guān)系，同時在“最大范圍”內(nèi)，實(shí)際情況與嚴(yán)格線性關(guān)系的誤差在某種意義下最小。4（2）實(shí)際上，固井機(jī)向孔壁噴射水泥砂漿時經(jīng)常采用的“過流面積”是在一個稍小的范圍內(nèi)，被稱為主要工作區(qū)，它是 “最大范圍”中的一段。因此，在維修固井機(jī)內(nèi)筒時，比較令人滿意的

4、內(nèi)筒孔形狀應(yīng)該使主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長（至少達(dá)“最大范圍”區(qū)間長度的75%以上），而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大（至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上），并且使“過流面積”和內(nèi)筒的旋轉(zhuǎn)角度之間的“線性關(guān)系”盡量地好。請按此要求設(shè)計內(nèi)筒孔的形狀。如果固井機(jī)的外筒孔也發(fā)生了程度較輕的磨損，怎么辦？ 5 可以把兩個圓柱筒展開成平面，即為兩個長方形，筒的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為兩個長方形的平動來思考，此時可將外筒孔近似看作圓孔。 把外圓柱孔展開圖看成圓，與實(shí)際展開圖形相比，存在一定誤差，稱之為圓誤差考慮到求解的精度，對展開圖的圓誤差進(jìn)行分析。30.18從左圖中看出，外洞孔展平看成圓孔還是有

5、比較大的誤差。那么，上述處理是否存在問題？實(shí)際上，展平看成圓孔是可行的。因?yàn)闆Q定水泥砂漿流量的是閥的瓶頸部分，而瓶頸部分是外洞孔的最小截面，外洞孔的投影即上述圓孔。需要注意的是，在求出內(nèi)孔洞的形狀后，應(yīng)該要將它返回到空間曲線上。6點(diǎn)接觸？線接觸？ACBD過作弧線，使得且。設(shè)圍成的圖形面積為，則位移為0時，；位移為時，與關(guān)系為：圍成的圖形面積等于與弧長 的乘積，即初始時刻，在點(diǎn)O的鄰域內(nèi)，O為唯一切入的點(diǎn).又在O的鄰域內(nèi),曲線連續(xù),則7又在位移為處， 如果保持嚴(yán)格的線性，則過流面積不會增加。所以內(nèi)孔洞和外孔洞一定不是點(diǎn)接觸，而是線接觸。而且線接觸要達(dá)到一定的長度，才可能保證內(nèi)孔洞長度比較小。8流

6、量線性的評價函數(shù) 為了建立評價閥流量與線性接近程度的函數(shù)，我們可以設(shè)想流量是按閥的旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行的抽樣，可以借用概率統(tǒng)計中對隨機(jī)變量與常數(shù)接近程度的評價思想，用絕對誤差的數(shù)學(xué)期望和方差來評價。時，理想情況下“過流面積”與在位移為位移的關(guān)系是：而設(shè)計得出面積變化關(guān)系為之間的絕對線性誤差是：評價函數(shù)應(yīng)該表現(xiàn)為它與理想線性函數(shù)之間的誤差之積分，則函數(shù)構(gòu)造為:所設(shè)計的內(nèi)孔曲線的類似用方差來刻畫誤差波動的大小也可以構(gòu)造一個刻畫線性誤差度的函數(shù)，構(gòu)造的函數(shù)為：，它們9目標(biāo)函數(shù) 此問題的本質(zhì)顯然是優(yōu)化問題，因此最重要的是選擇一個恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)。很多參賽隊(duì)都選擇線性化的程度作為目標(biāo)函數(shù)，對這個實(shí)際的問題是不全面

7、的。正如命題人指出的，目標(biāo)還應(yīng)該考慮內(nèi)孔的總長度，否則總行程變長，或者總旋轉(zhuǎn)角超過一個圓周而不能用或者引起閥體的機(jī)械強(qiáng)度下降，這些都是不符合實(shí)際要求的設(shè)計。 另外還需要考慮是否容易磨損的問題,因?yàn)槿绻麅?nèi)孔洞的邊界曲線在某些點(diǎn)的曲率太大，那么很快就會磨損。 因此總的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)該是線性化程度、內(nèi)孔的總長度，以及邊界上最大曲率三者的加權(quán)。由此可見，若使用更多節(jié)、更長的“拉桿天線”， 盡管線性化程度有所提高，但是并不實(shí)用。10絕對線性變化的唯一形式引理 若使內(nèi)孔旋轉(zhuǎn)角度與“過流面積” 呈線性變化,則內(nèi)孔曲線與外孔圓的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之差必為常數(shù),即與內(nèi)孔旋轉(zhuǎn)角度呈線性的必要條件.為過流面積a圖b圖引理 若使

8、內(nèi)孔旋轉(zhuǎn)角度與“過流面積” 呈線性變化,則內(nèi)孔曲線與外孔圓的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之差必為常數(shù)與內(nèi)孔旋轉(zhuǎn)角度呈線性的必要條件.為過流面積11證明:設(shè)內(nèi)孔曲線任意向下移動,曲線為,當(dāng)曲線時,“過流面積”增加量平行四邊形組成,如上圖b所示,表示為: 移動微元由兩邊近似三角形和若要使面積特性曲線滿足線性關(guān)系,則只須使曲線的向下移動距離與“過流面積”滿足線性關(guān)系,即微元面積與有線性關(guān)系:曲線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)x由（表示下降時的曲線）求得: ,12整理上式得:其中是由前式算出的關(guān)于自變量的表達(dá)式,上式對dh求導(dǎo)，g3、g4是dh的函數(shù)，x3、x4同時滿足方程，得13 可以證明只有滿足內(nèi)孔邊界是兩條水平的直線才可以實(shí)現(xiàn)交

9、點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差始終是常數(shù)；反之顯然。證明如下：求交點(diǎn)，上差式不可能為常數(shù)，所以結(jié)論成立。在b2-b1為常數(shù)時，若14解決問題的兩種思路（1） 根據(jù)上面的結(jié)論，要保持線性性，內(nèi)孔洞的邊界是兩條平行直線，但這是在過流面積沒有任何減少的情況下。如果過流面積有減少，那么增加的一部分就用來補(bǔ)償減少的部分。 同時，過流面積要根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度的增加而線性增加，所以總的增加面積要大于線性部分。故上圖中的“臺階”有一個向前凸的形狀。 當(dāng)過流面積不再減少的時候，內(nèi)孔洞的邊界又是兩條平行直線，經(jīng)過這幾個“臺階”的擴(kuò)展，內(nèi)孔洞就可以完全覆蓋外孔圓。 這里的遺留問題，一是可否通過補(bǔ)償使得在“臺階”部分過流面積的增加仍然是線

10、性的；二是擴(kuò)展到外孔圓的最上端及最下端時可否仍然保持線性變化。15解決問題的兩種思路（2）ABC 從實(shí)用的角度出發(fā)，不追求絕對的線性化，只要將線性化的誤差控制在一個很小的工程上可以接受的范圍內(nèi)。 首先為了擴(kuò)大思路，可以不要求內(nèi)孔洞是對稱的（對稱是不對稱的特例）。所以可先確定內(nèi)孔洞的形狀，再來確定其中的參數(shù)，最終決定內(nèi)孔洞邊界的方程。 根據(jù)思路1猜測，內(nèi)孔洞的切入部分應(yīng)該與圓的下面部分相吻合，而為了擴(kuò)大過流面積，曲線需向上延伸，到了最后則應(yīng)包含整個外孔圓。所以開始段可能是二次曲線，中間段嚴(yán)格單調(diào)上升（初始可取直線代替），最終段與外孔圓相當(dāng)。16過流面積有減少時如何進(jìn)行補(bǔ)償？ 前面已經(jīng)遇到過流面積

11、單純增加，以及有增加亦有減少的情況。有減少時一定要進(jìn)行補(bǔ)償。DE17 當(dāng)由點(diǎn)A向點(diǎn)C位置移動時，其實(shí)是弧線AD平移至CE，故過流面積的減少可以看作弧線所掃過面積的減少（面積是線的積分），因此補(bǔ)償?shù)臅r候可按照弧的長度來進(jìn)行補(bǔ)償。 又因?yàn)檫^流面積是內(nèi)孔圓與外孔圓相交的部分，補(bǔ)償?shù)牟糠直仨氃谕饪讏A的里面，所以應(yīng)該按照外孔圓的邊界來補(bǔ)償，補(bǔ)償?shù)拈L度等于退出弧線的長度。 如果這個辦法一定可以實(shí)現(xiàn)，那么“拉桿式天線”的思路就能夠滿足絕對線性化。可惜的是，我們可以證明一定有無法補(bǔ)償?shù)牟糠郑饕獑栴}是在外孔圓的最上端和最下端。所以，“過流面積”與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角度成嚴(yán)格的線性關(guān)系是不可能的。18泛函分析模型 選取極

12、特殊的內(nèi)筒孔形狀無法得到較理想的面積特性曲線,為更精確地逼近線性面積特性曲線,引入最小二乘法思想,建立泛函極值模型,通過殘差平方和是否達(dá)到最小,來判斷面積特性曲線是否最優(yōu). 為使“過流面積”最大,內(nèi)孔曲線形狀的上半部須全部與外孔上半圓相交（見圖中陰影部分重合）,故假設(shè)內(nèi)孔曲線形狀上半部分為半圓,而其余部分的形狀未定,為簡化計算,可假定內(nèi)孔曲線形狀的右半部分為直線,進(jìn)一步假定是一條豎直線,根據(jù)以上分析內(nèi)孔曲線形狀大致可取如右圖中的粗實(shí)線形狀,這樣只需確定圖中的曲線 形狀即可.19與之對應(yīng),那么變量定義 對某一類函數(shù)中的每一個函數(shù)有一個稱為依賴于函數(shù)的泛函,記作:不同的內(nèi)孔曲線形狀影響了面積特性曲線的取值,故是依賴于并與變量有關(guān)的泛函,記作:的值泛函極值數(shù)學(xué)模型為:目的是求,