直角三角形中成比例的線段

1、 HYPERLINK 華夏教育資源庫直角三角形中成比例線段(二)一、教學(xué)目的和要求.使學(xué)生掌握直角三角形中成比例線段的性質(zhì)。.使學(xué)生會(huì)解直角三角形中，已知兩個(gè)條件(至少一邊)的題。二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)掌握直角三角形中成比例線段的關(guān)系為難點(diǎn)，應(yīng)用為重點(diǎn)。三、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)、引入直角三角形有哪些性質(zhì)？一一由學(xué)生回答再歸納。(1)兩銳角互余(2)勾股定理(3)斜邊中線等于斜邊一半(4) 30 口角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半(5)斜邊上高線分出的兩個(gè)三角形與原三角形相似(6)根據(jù)面積關(guān)系，兩直角邊乘積等于斜邊乘以斜邊上的高。(二)新課今天我們進(jìn)一步研究直角三角形中成比例線段的性質(zhì)。我們知道 9BC中

2、，NACB =90、CD_LAB于D,這里可以得到三對(duì)相似三角形, 分別寫出它們對(duì)應(yīng)邊的比例式。(見圖1)CA DB圖1AB AC BCABC ACD ,- AC AD CDABC CBD , AB = AC = BCBC CD BD ACD CBD ,任=CD =世 CB CB CD在上面提到的三對(duì)相似三角形中都有一條公共邊，但它們不會(huì)是對(duì)應(yīng)邊，將含有公共邊的比例式改寫成等積式是 (1)中：AC2=AD AB (2)中BC2 =BD AB (3)中CD2=BD AD這三個(gè)關(guān)系式在以前的課本上是以定理的形式出現(xiàn)，而現(xiàn)行的九年義務(wù)教育教材中此內(nèi)容只是在例題中出現(xiàn)，考慮這 個(gè)結(jié)論在以后“圓”中運(yùn)用

3、較多，而變成等積式后特點(diǎn)較突出對(duì)記憶有好處，建議老師仍將“射影定理”的名稱及內(nèi)容告訴學(xué)生，便于以后分析問題，(但注意不可直接使用)。這三個(gè)式子反映出一條線段是其余兩條線段的比例中項(xiàng)，教師一定要將三條線段的位置關(guān)系 HYPERLINK 華夏教育資源庫 HYPERLINK 華夏教育資源庫 HYPERLINK HYPERLINK 華夏教育資源庫分析清楚，只要明白是哪兩個(gè)三角形相似得來的，比例式自然就可寫出。如圖 2, CD 是 RtAABC 的斜邊 AB 上的高，設(shè) BC = a , CA = b , AB = c, CD = h ,AD =q, DB = p，用a、b、c、h、p、q表示圖中的關(guān)系

4、。C TOC o 1-5 h z b / h、aq li p _DcB圖2.勾股定理22a b = c222h2q2=b2一222(3)h2 p2 =a2.比例中項(xiàng)關(guān)系2 h - p q2a = p c = p(p q)_2(3)b = q c = q(p q).面積關(guān)系ab = ch2 p a.其匕 一二q b通過以上關(guān)系，我們可以分析出在 RtAABC的六條線段 a、b、c、h、p、q中知道任意兩線段的長(zhǎng)，可以求出其它線段的長(zhǎng)。下面我們舉出幾種題型。例1 如上圖CD是RtAABC的斜邊AB上的高。(1)已知：a=3,b=4,求：h解： ACB =90 , CD-ABc 二，a - b2 =

5、 32 42 =5ab = chab12ab12 HYPERLINK 華夏教育資源庫 HYPERLINK 華夏教育資源庫 HYPERLINK HYPERLINK 華夏教育資源庫注意：求h要選擇其它方法都比較麻煩，利用面積關(guān)系最簡(jiǎn)單。(2)已知：b =5, h =3,求：c解：先求q利用勾股定理q 4vb2 - h2 =4,2b=q c TOC o 1-5 h z 442h2 9925、=P q, P,c = p q 4 =-)q444(3)已知：b =2 , p =3,求：h ,a分析：求h,必先知q；q與b、c有關(guān)，而c = p+q ,其中p是已知線段。 , 2，、解：b = q(q p)二

6、4 = q2 +3q (得到關(guān)于q的一元二次方程，只要含有一個(gè)未知數(shù)就 可解)二q1 = -4(不合題意，舍去)q2 =1h2 = p q = 3 h = . 3 2一一一 一a2 = p c = 3(3 1) a = 2 3練習(xí)：條件如例1(1)已知：p=25,h=60，求：q, a (144,65)(2)已知：a=3,p=1.8，求：c, h (5,2.4)60 25、(3)已知：a =5, c = 13，求：h , p (,)13 13(4)已知：a=20,q = 9,求：c, b(25,15)請(qǐng)同學(xué)們充分討論。目前解題中可以直接使用射影定理，目的為了熟悉直角三角形中 邊的各種關(guān)系。例2

7、 已知：&ABC中，/BAC是直角，AD是高，AB = 2AC,求證：5AD = 2BC 分析：求證中是研究 AD與BC的關(guān)系，斜邊BC與斜邊上的高，AD不會(huì)有比例關(guān)系, HYPERLINK HYPERLINK 華夏教育資源庫 HYPERLINK 華夏教育資源庫而 HYPERLINK 華夏教育資源庫而 AD 與 DC, BD 有比例關(guān)系，且 BC = CD + DB,由于AB 2一 =_ ,所以可利用。AC 1ADB ACDA來求AD、BD、DC間倍數(shù)關(guān)系。圖3證明：:/BAC是直角，AD是高ADB CDAADCdABACDBADCdABACDBDA=2-1DB = 2AD , CD = AD

8、 2BC = DB CD = 5 AD 25AD =2BC（三）小結(jié)直角三角形中的成比例線段很重要，在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到。其中要抓住兩直角邊、及斜邊上的高是比例中項(xiàng)的情況（即h2 = pq , a2 = qc , b2 = pc）。注意要使用這個(gè)關(guān)系時(shí)，還要再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例證明一下。因?yàn)樗皇嵌ɡ?。由于直角三角形中的關(guān)系除了射影定理外，還有勾股定理，所以在求某一線段時(shí)，關(guān) 系較多，方法并不唯一，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真分析題意。一般情況下，若勾股定理或射影定理都 能使用時(shí)，往往利用射影定理，因?yàn)樗挠?jì)算較勾股定理簡(jiǎn)單。（四）作業(yè)CD 是 RtMBC 的 斜 邊 AB 上 的 高， 設(shè)BC =a,CA=b, AB=c,CD =h,AD = q, DB=p。(1)已知：c = 29 , p = 4 ,求 h和 b ；(2)已知：a =5 , h =4 ,求p和q ；(3)已知：a =10, p=6,求q和b； HYPERLINK 華夏教育資源庫 HYPERLINK 華夏教育資源庫(4)已知: