人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題六 以菱形為背景的證明與計(jì)算

1、人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題六 以菱形為背景的證明與計(jì)算如圖，AEBF，AC 平分 BAD，且交 BF 于點(diǎn) C，BD 平分 ABC，且交 AE 于點(diǎn) D，連接 CD求證：四邊形 ABCD 是菱形如圖，在平行四邊形 ABCD 中，以點(diǎn) A 為圓心，AB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交 AD 于點(diǎn) F；再分別以點(diǎn) B，F(xiàn) 為圓心，大于 12BF 的相同長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn) P，連接 AP 并延長(zhǎng)交 BC 于點(diǎn) E，連接 EF，則所得四邊形 ABEF 是菱形根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過(guò)程，求證四邊形 ABEF 是菱形如圖，在平行四邊形 ABCD 中，E 為 BC 邊上的一點(diǎn)，連接 AE，BD，且 AE

2、=AB(1) 求證：ABE=EAD；(2) 若 AEB=2ADB，求證：四邊形 ABCD 是菱形如圖，在 RtABC 中，ACB=90，D 為 AB 的中點(diǎn)，且 AECD，CEAB，連接 DE 交 AC 于 F(1) 證明：四邊形 ADCE 是菱形；(2) 試判斷 BC 與線段 EF 的關(guān)系，并說(shuō)明理由已知：如圖，在 ABC 中，點(diǎn) D，E 分別是邊 AB，BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) F，G 是邊 AC 的三等分點(diǎn)，DF，EG 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) H(1) 求證：四邊形 FBGH 是平行四邊形(2) 如果 AC 平分 BAH，求證：四邊形 ABCH 是菱形如圖，在 ABC 中，ACB=90，CDAB 于點(diǎn)

3、 D，AE 平分 BAC，分別與 BC，CD 交于點(diǎn) E，F(xiàn)，EHAB 于點(diǎn) H，連接 FH求證：四邊形 CFHE 是菱形如圖，在菱形 ABCD 中，AB=2，DAB=60，點(diǎn) E 是 AD 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) M 是 AB 邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A 重合），延長(zhǎng) ME 交射線 CD 于點(diǎn) N，連接 MD，AN(1) 求證：四邊形 AMDN 是平行四邊形(2) 填空：當(dāng) AM 的值為 時(shí)，四邊形 AMDN 是矩形當(dāng) AM 的值為 時(shí)，四邊形 AMDN 是菱形如圖，在 ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AD 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 作 BC 的平行線交 BE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，連接 CF(1)

4、求證：AF=DC；(2) 若 ABAC，試判斷四邊形 ADCF 的形狀，并證明你的結(jié)論如圖，將等腰三角形 ABC 繞頂點(diǎn) B 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 度到 A1BC1 的位置，AB 與 A1C1 相交于點(diǎn) D，AC 與 A1C1，BC1 分別交于點(diǎn) E，F(xiàn)(1) 求證：BCFBA1D(2) 當(dāng) C= 度時(shí)，判定四邊形 A1BCE 的形狀并說(shuō)明理由答案1. 【答案】 AC 平分 BAD， BAC=CAD又 AEBF， BCA=CAD BAC=BCA AB=BC同理可證 AB=AD AD=BC，又 ADBC， 四邊形 ABCD 是平行四邊形又 AB=BC， 平行四邊形 ABCD 是菱形2. 【答案】由作圖

5、過(guò)程可知，AB=AF，AE 平分 BAD BAE=EAF 四邊形 ABCD 為平行四邊形， BCAD， AEB=EAF， BAE=AEB， AB=BE， BE=AF， 四邊形 ABEF 為菱形3. 【答案】(1) 四邊形 ABCD 為平行四邊形， ADBC， AEB=EAD AE=AB， ABE=AEB， ABE=EAD(2) ADBC， ADB=DBC又 AEB=2ADB，AEB=ABE， ABE=2DBC， ABD=DBC， ABD=ADB， AB=AD又 四邊形 ABCD 為平行四邊形， 四邊形 ABCD 是菱形4. 【答案】(1) AECD，ECAD， 四邊形 ADCE 是平行四邊形，

6、 ACB=90，BD=AD， CD=AD=BD， 四邊形 ADCE 是菱形(2) 結(jié)論：BCEF，BC=2EF理由： 四邊形 ADCE 是菱形， DEAC，DF=EF， DFA=ACB=90， DEBC， BD=AD， CF=FA， BC=2DF=2EF5. 【答案】(1) 因?yàn)辄c(diǎn) F，G 是邊 AC 的三等分點(diǎn)，所以 AF=FG=GC，又因?yàn)辄c(diǎn) D 是邊 AB 的中點(diǎn)，所以 DHBG，同理：EHBF，所以四邊形 FBGH 是平行四邊形(2) 聯(lián)結(jié) BH，交 AC 于點(diǎn) O，因?yàn)樗倪呅?FBGH 是平行四邊形，所以 BO=HO，F(xiàn)O=GO，又因?yàn)?AF=FG=GC，所以 AF+FO=GC+GO

7、，即：AO=CO所以四邊形 ABCH 是平行四邊形，所以 AHBC，所以 HAC=BCA，因?yàn)?AC 平分 BAH，所以 HAC=BAC，所以 BAC=BCA，所以 AB=BC，又因?yàn)樗倪呅?ABCH 是平行四邊形，所以四邊形 ABCH 是菱形6. 【答案】由題意知 CAE+CEA=90，EAH+AEH=90，又 CAE=EAH， CEA=AEH， CDAB，EHAB， CDEH， CFE=AEH， CFE=CEA， CF=CE，又 點(diǎn) E 在 CAB 的平分線上， CE=EH在四邊形 CFHE 中，CFEH 且 CF=EH，CE=EH， 四邊形 CFHE 是菱形7. 【答案】(1) 四邊形

8、ABCD 是菱形， NDAM， NDE=MAE，DNB=AME， 點(diǎn) E 是 AD 中點(diǎn)， DE=AE在 NDE 和 MAE 中， NDE=MAEDNE=AMEDE=AE， NDEMAEAAS， ND=MA， 四邊形 AMDN 是平行四邊形(2) 1 2 【解析】(2) AM=1 時(shí)，四邊形 AMDN 是矩形理由如下： 四邊形 ABCD 是菱形， AD=AB=2， 平行四邊形 AMDN 是矩形， DMAB，即 DMA=90， DAB=60， ADM=30， AM=12AD=1當(dāng) AM=2 時(shí)，四邊形 AMDN 是菱形；理由如下： 四邊形 ABCD 是菱形， AD=AB=2， 平行四邊形 AMD

9、N 是菱形， AN=DN， DAB=60， ADN=60， ADN 為等邊三角形， AM=DN=AD=28. 【答案】(1) 因?yàn)?E 是 AD 的中點(diǎn)，所以 AE=ED因?yàn)?AFBC，所以 AFE=DBE，F(xiàn)AE=BDE，所以 AFEDBE所以 AF=DB因?yàn)?AD 是 BC 邊上的中線，所以 DB=DC，AF=DC(2) 四邊形 ADCF 是菱形理由：由（1）知，AF=DC，因?yàn)?AFCD，所以四邊形 ADCF 是平行四邊形又因?yàn)?ABAC，所以 ABC 是直角三角形因?yàn)?AD 是 BC 邊上的中線，所以 AD=12BC=DC所以平行四邊形 ADCF 是菱形9. 【答案】(1) 因?yàn)?ABC 是等腰三角形，所以 AB=BC，A=C，因?yàn)?A1BC1 由等腰三角形 ABC 繞頂點(diǎn) B 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 度得到，所以 A1B=AB=BC，A=A1=C, A1BD=CBF，在 BCF 與 BA1D 中， A1=C,A1B=BC,A1BD=CBF, 所以 BCFBA1DASA(2) 四邊形 A1BCE