2010屆高考數(shù)學(xué)模擬題

1、2010屆高考數(shù)學(xué)模擬題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）1設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合. 若P1，0，1，Q 2，2，則集合中元素的個(gè)數(shù)是( A )A3B4C5D66 5 87 3 3 8 78 8 3 62如圖是某樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖，則該樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（ A ）A73 B77C80D883已知p：a4，q：使ax2 + ax + 10是真命題，則p是q的（ B ）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【解析】討論q：當(dāng)a = 0時(shí)，不符合題意；當(dāng)a0時(shí)，有或a0，解得a4n = 2009開

2、 始a80?？輸出n結(jié) 束a = 16a = a + un = n + 1否是或a0故p是q的充分不必要條件4函數(shù)f (x) (x0)由確定，則導(dǎo)函數(shù)y = f(x)圖象大致形狀是（ B ）【解析】= ef (x)，f (x) = ln=5程序框圖（即算法流程圖）如圖所示，其輸出的結(jié)果是 （ B ）A2012B2013C3D46設(shè)函數(shù)f (x) = x3 (xR)，若0時(shí)，f (m sin) + f (1 m)0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ C ） A(0，+)B(1，+)C(，1)D0，1 【解析】 函數(shù)f (x) = x3(xR)是奇函數(shù)，且為增函數(shù)由f (m sin) + f (1 m

3、)0得m sinm 1，于是m (1 sin)1，當(dāng)0時(shí)恒成立，則m17.一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)10位的二進(jìn)制數(shù)A = a1a2a3a10，其中A的各位數(shù)字中，a1 = 1,ak (k = 2,3,10)出現(xiàn)0的概率為出現(xiàn)1的概率為記S = a1 + a2 + a3 +a10當(dāng)啟動(dòng)儀器一次S = 5時(shí)，有且僅有4個(gè)0連排在一起的概率為（ D ）ABCD8對(duì)于任意實(shí)數(shù),x，y不等式max|x + y|，|x y|，|2010 y|Z恒成立，則實(shí)數(shù)Z的最大值是（ B ） A1004B1005C1006D1007 【解析】記max|x + y|，|x y|，|2010 x|= M，則M|

4、x + y|，M|x y|，M|2010 y|，4M|x + y| + |y x| + 2|2010 y|(x + y) + (y x) + 2 (2010 y)| = 4020二、填空題（本大題7個(gè)小題，每小題5分，共35分，把答案填在題中橫線上）9設(shè)某幾何體的三視圖如圖（尺寸的長(zhǎng)度單位為m），則該幾何體體積為 4 m34223210.已知點(diǎn)M（3，0），N（3，0），B（1，0），圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為 【解析】11.據(jù)抽樣統(tǒng)計(jì),某省高考數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布平均分為80分,標(biāo)準(zhǔn)差為20,全省考生有10萬人.若一考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?40

5、分,估計(jì)該生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谌〉拿问堑?名參考數(shù)據(jù): 【解析】13012設(shè)an是(n = 1，2，3，)的二項(xiàng)展開式中x的系數(shù)則的值是 【解析】17因?yàn)?，所以從而?3.已知數(shù)列an為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若存在正整數(shù)m、n (mn)，使得Sm = Sn，則Sm + n = 0，類比上述結(jié)論，若正項(xiàng)數(shù)列bn為等比數(shù)列， 【解析】它的前n項(xiàng)積為Tn ,若Tn = Tm，則Tm+n=1.設(shè) bn = b1qn1，則Tn =，由Tn = Tm，化簡(jiǎn)得：OABP由mn，bn為正項(xiàng)數(shù)列，所以，兩邊同m + n次方得到14如圖，在OAB中，點(diǎn)P是線段OB及AB的延長(zhǎng)線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的

6、任意一點(diǎn)，且，則在直角坐標(biāo)平面上，實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)所表示的區(qū)域在直線y = 4的下側(cè)部分的面積是 【解析】連結(jié)BP，則由題意知其中m0，n0，則，所以有x = n，y = m + n + 1，可以推出x0，y + x 10，則在直線y = 4的下側(cè)部分可行域如圖2，面積為15.用三個(gè)字母組成一個(gè)長(zhǎng)度為個(gè)字母的字符串，要求由開始，相鄰兩個(gè)字母不同. 例如時(shí)，排出的字符串可能是或；時(shí)排出的字符串可能是，(如圖).若記這種個(gè)字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是的所有字符串的種數(shù)為， 可知，；則 _ ；數(shù)列的前項(xiàng)之和 . 【解析】6 , 三、解答題（本大題6小題共75分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

7、算步驟）16（本小題滿分12分）在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且bcosC = 3a cos B c cosB（1）求cosB的值；（2）若= 2，且b = 2，求a和c的值【解析】（1）由正弦定理得a = 2Rsin A，b = 2R sinB，c = 2R sinC，則2R sin BcosC = 6R sin A cosB 2RsinC cosB，故sinB cosC = 3sinA cosB sinC cosB，可得sinB cosC + sinC cosB = 3 sinA cosB，即sin (B + C) = 3sinA cosB，可得sinA = 3 sin

8、A cosB，又sinA0，因此cosB =（2）由= 2，可得accosB = 2，又cosB =，故ac = 6，由b2 = a2 + c2 2acosB，可得a2 + c2 = 12，所以(a c)2 = 0，即a = c，所以a = c =17（本小題滿分12分）某單位舉辦2010年上海世博會(huì)知識(shí)宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會(huì)會(huì)徽”或“海寶”（世博會(huì)吉祥物）圖案；抽獎(jiǎng)規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎(jiǎng)，否則，均為不獲獎(jiǎng)卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行（I）活動(dòng)開始后，一位參加者問：盒中有幾張“海寶”

9、卡？主持人答：我只知道，從盒中抽取兩張都是“世博會(huì)會(huì)徽”卡的概率是，求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；（）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎(jiǎng)，用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列及的值【解析】（I）設(shè)“世博會(huì)會(huì)徽”卡有張，由，得， 故“海寶”卡有4張，抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為（）的分布列為；01234 ，18（本小題滿分12分）已知四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1（如圖）中，底面ABCD是正方形，且DD1底面ABCD，AB = 2A1B1 = 2DD1 = 2a （1）求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值； （2）試在平面ADD1A1中確定一點(diǎn)F，使得FB1平面BCC1B； （3）在(2)的條件下求二面角FCC1B的余弦值. 【解

10、析】以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D (0，0，0)，A (2a，0，0)，B1(a，a，a)，D1 (0，0，a)，B (2a，2a，0)，C (0，2a，0)，C1 (0，a，a)（1）， 即直線AB1與DD1所成角的余弦值為（2）設(shè)F (x，0，z)，由FB1平面BCC1B1得F (a，0，0)，即F為DA的中點(diǎn)（3）由（2）知為平面BCC1B1的法向量設(shè)n = (x1，y1，z1)為平面FCC1的法向量，由令y1 = 1得x1 = 2，z1 = 1，n = (2，1，1)，即二面角FCC1B的余弦值為19. （本小題滿分13分

11、）圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為4.已知凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為,設(shè)AB=2x,BC=y.（1）寫出y關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍；（2）求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.圖1圖2ABCDm【解析】（1）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長(zhǎng)為.所以 ，得 依題意知： 得 所以，（）（2）依題意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為T，橫截面的面積為S，則有 . 因?yàn)? 所以，當(dāng)時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大. 答: 當(dāng)時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大. 20.（本小題滿分13分）橢圓C的中心在原點(diǎn)O

12、，它的短軸長(zhǎng)為2，F(xiàn)1 (c，0) (c0)為右焦點(diǎn)，直線x =與x軸相交于點(diǎn)A，|OF1| = 2|F1A|（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓C的左焦點(diǎn)F2作一條與兩坐標(biāo)都不垂直的直線l，交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)M在x軸上，且使MF2為MPQ的一條角平分線，則稱M為橢圓的“左特征點(diǎn)”，求橢圓C的左特征點(diǎn)（3）寫出橢圓(ab0)的左特征點(diǎn)（不需證明）【解析】（1）由條件知2b =，可設(shè)橢圓方程為又 橢圓方程為（2）設(shè)左特征點(diǎn)為M (m，0)，左焦點(diǎn)為F2 (2，0)，可設(shè)直線PQ的方程為（k0）由又設(shè)P (x1，y1)、Q (x2，y2)，則 因?yàn)镸F2為PMQ的角平分線，所以kPM + kQM

13、 = 0，即將代入化簡(jiǎn)，得再將代入，得，m = 3即左特征點(diǎn)為M (3，0) （3）21. 已知函數(shù)f (x) = x ln (x + a)在x = 1處取得極值 （1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若關(guān)于x的方程f (x) + 2x = x2 + b在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）證明：參考數(shù)據(jù)：ln20.6931分析：第（1）問由f(1) = 0，可求a的值；第（2）問實(shí)質(zhì)上是根的分布問題；第（3）問是關(guān)于不等式的證明，觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可考慮先放縮，再用裂項(xiàng)相消法求證【解析】（1）對(duì)f (x)求導(dǎo)，得f(x) = 1 由題意，得f(1) = 0，即，a = 0（2）由（1）得f (x) = x ln x，f (x) + 2x = x2 + b，即x2 3x + lnx + b = 0設(shè)g (x) = x2 3x + lnx + b (x0)，則令g(x) = 0，得x1