微分幾何陳維桓緒論第一章第二章第三章講稿

1、 .DOC資料. .DOC資料. 目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc224958854 緒 論 PAGEREF _Toc224958854 h 1 HYPERLINK l _Toc224958857 內(nèi)容簡介 PAGEREF _Toc224958857 h 1 HYPERLINK l _Toc224958858 第一章 預備知識 PAGEREF _Toc224958858 h 2 HYPERLINK l _Toc224958859 引言 PAGEREF _Toc224958859 h 2 HYPERLINK l _Toc224958860 1.1 三維歐氏

2、空間中的標架 PAGEREF _Toc224958860 h 2 HYPERLINK l _Toc224958861 一、向量代數(shù)復習 PAGEREF _Toc224958861 h 2 HYPERLINK l _Toc224958862 二、標架 PAGEREF _Toc224958862 h 3 HYPERLINK l _Toc224958863 三、正交標架流形 PAGEREF _Toc224958863 h 3 HYPERLINK l _Toc224958864 四、正交坐標變換與剛體運動，等距變換 PAGEREF _Toc224958864 h 3 HYPERLINK l _Toc2

3、24958865 1.2 向量函數(shù) PAGEREF _Toc224958865 h 5 HYPERLINK l _Toc224958866 第二章 曲線論 PAGEREF _Toc224958866 h 6 HYPERLINK l _Toc224958867 2.1 參數(shù)曲線 PAGEREF _Toc224958867 h 6 HYPERLINK l _Toc224958868 2.2 曲線的弧長 PAGEREF _Toc224958868 h 9 HYPERLINK l _Toc224958869 2.3 曲線的曲率和Frenet標架 PAGEREF _Toc224958869 h 10 H

4、YPERLINK l _Toc224958870 2.4 曲線的撓率和Frenet公式 PAGEREF _Toc224958870 h 14 HYPERLINK l _Toc224958871 2.5 曲線論基本定理 PAGEREF _Toc224958871 h 16 HYPERLINK l _Toc224958872 2.7 存在對應關系的曲線偶 PAGEREF _Toc224958872 h 21 HYPERLINK l _Toc224958873 2.8 平面曲線 PAGEREF _Toc224958873 h 21緒 論幾何學是數(shù)學中一門古老的分支學科. 幾何學產(chǎn)生于現(xiàn)實生產(chǎn)活動.

5、“geometry”就是“土地測量”. Pythagoras定理和勾股定理(周髀算經(jīng)). 數(shù)學：人類智慧的結晶，嚴密的邏輯系統(tǒng). 以歐幾里德(Euclid)的幾何原本(Elements)為代表. 自然辯證法和反杜林論：數(shù)學與哲學；數(shù)與形的統(tǒng)一：解析幾何；坐標系：笛卡兒和費馬引入. 對微分幾何做出突出貢獻的數(shù)學家：歐拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克萊因(Klein)關于變換群的觀點. E. Cartan的活動標架方法. 微分幾何：微積分，拓撲學，高等代數(shù)與解析幾何知識的綜合運用.內(nèi)容簡介第一章：預備知識. 第二章：曲線論. 第三章至第五章：曲

6、面論. 第六章：曲面上的曲線，非歐幾何. 第七章*：活動標架和外微分.第一章 預備知識本章內(nèi)容：向量代數(shù)知識復習；正交標架；剛體運動；等距變換；向量函數(shù)計劃學時：3學時難點：正交標架流形；剛體運動群；等距變換群引言 為什么要研究向量函數(shù)？在數(shù)學分析中，我們知道一元函數(shù)的圖像是平面上的一條曲線，二元函數(shù)的圖像是空間中的一張曲面. 采用參數(shù)方程，空間一條曲線可以表示成.這是一個向量函數(shù)，它的三個分量都是一元函數(shù). 所有這些例子中，都是先取定了一個坐標系. 所以標架與坐標是建立“形”與“數(shù)”之間聯(lián)系的橋梁. 1.1 三維歐氏空間中的標架一、向量代數(shù)復習向量即有向線段：，. 向量相等的定義：大小和方向

7、. 零向量：，. 反向量：. 向量的線性運算. 加法：三角形法則，多邊形法則. 向量的長度. 三角不等式. 數(shù)乘. 內(nèi)積的定義： 外積的定義. 二重外積公式：；內(nèi)積的基本性質(zhì)：對稱性，雙線性，正定性. 外積的基本性質(zhì)：反對稱性，雙線性.二、標架仿射標架. 定向標架. 正交標架(即右手單位正交標架)：. 笛卡爾直角坐標系. 坐標. 內(nèi)積和外積在正交標架下的計算公式. 兩點距離公式. 三維歐氏空間和. 三、正交標架流形取定一個正交標架(絕對坐標系). 則任意一個正交標架被點的坐標和三個基向量的分量唯一確定： (1.6)其中可以隨意取定，而應滿足， (1.7)即過渡矩陣是正交矩陣. 又因為是右手系，

8、即矩陣 (1.8, 1.9)是行列式為1的正交矩陣. 我們有一一對應：正交標架，.所以正交標架的集合是一個6維流形. 四、正交坐標變換與剛體運動，等距變換空間任意一點在兩個正交標架和中的坐標分別為和，則兩個坐標之間有正交坐標變換關系式： (1.10)如果一個物體在空間運動，不改變其形狀和大小，僅改變其在空間中的位置，則該物體的這種運動稱為剛體運動. 在剛體運動下，若將正交標架變?yōu)?，則空間任意一點和它的像點(均為在中的坐標)之間的關系式為 (1.11)定理1.1 中的剛體運動把一個正交標架變成一個正交標架；反過來，對于中的任意兩個正交標架，必有的一個剛體運動把其中的一個正交標架變成另一個正交標架

9、. 空間到它自身的、保持任意兩點之間的距離不變的變換稱為等距變換. 剛體運動是等距變換，但等距變換不一定是剛體運動. 一般來說，等距變換是一個剛體運動，或一個剛體運動與一個關于某平面的反射的合成(復合映射). 仿射坐標變換與仿射變換. 1.2 向量函數(shù)所謂的向量函數(shù)是指從它的定義域到中的映射. 設有定義在區(qū)間上的向量函數(shù).如果都是的連續(xù)函數(shù)，則稱向量函數(shù)是連續(xù)的；如果都是的連續(xù)可微函數(shù)，則稱向量函數(shù)是連續(xù)可微的. 向量函數(shù)的導數(shù)和積分的定義與數(shù)值函數(shù)的導數(shù)和積分的定義是相同的，即， (2.6)， (2.7)其中是區(qū)間的任意一個分割，并且. (由向量加法和數(shù)乘的定義可以得到)向量函數(shù)的求導和積分

10、歸結為它的分量函數(shù)的求導和積分，向量函數(shù)的可微性和可積性歸結為它的分量函數(shù)的可微性和可積性. 由(1.6)可得.定理2.1 (Leibniz法則) 假定是三個可微的向量函數(shù)，則它們的內(nèi)積、外積、混合積的導數(shù)有下面的公式：(1) ；(2) ；(3) . 定理2.2 設是一個處處非零的連續(xù)可微的向量函數(shù)，則(1) 向量函數(shù)的長度是常數(shù)當且僅當. (2) 向量函數(shù)的方向不變當且僅當. (3) 設是二階連續(xù)可微的. 如果向量函數(shù)與某個固定的方向垂直，那么 .反過來，如果上式成立，并且處處有，那么向量函數(shù)必定與某個固定的方向垂直. 證明 (1) 因為，所以是常數(shù)是常數(shù). (2) 因為處處非零，取方向的單

11、位向量. 則，其中連續(xù)可微. 于是“”由條件知是常向量，. 從而.“”由條件得，所以，處處線性相關. 因為是單位向量，處處非零，所以. 用作內(nèi)積，得. 于是，是常向量. (3) 設向量函數(shù)與某個固定的方向垂直，那么有單位常向量使得. 求導得到，. 從而共面，. 反之，設. 令. 由條件，處處非零. 且連續(xù). 根據(jù)二重外積公式，根據(jù)已經(jīng)證明的(2)，的方向不變. 設這個方向為. 則. 用作內(nèi)積，得.由于處處非零，得到，即與固定方向垂直. 課外作業(yè)：1. 證明定理2.1. 2. 設為等距變換. 在中取定一個正交標架. 令為中全體向量構成的向量空間. 定義映射. 如果，證明是線性映射. 3. 設向量

12、函數(shù)有任意階導(函)數(shù). 用表示的階導數(shù)，并設處處非零. 試求的充要條件. 第二章 曲線論本章內(nèi)容：弧長，曲率，撓率；Frenet標架，F(xiàn)renet公式；曲線論基本定理計劃學時：14學時，含習題課3學時. 難點：曲線論基本定理的證明 2.1 參數(shù)曲線三維歐氏空間中的一條曲線是一個連續(xù)映射，稱為參數(shù)曲線. 幾何上，參數(shù)曲線是映射的象. 取定正交標架，則曲線上的點與它的位置向量一一對應. 令. 則， (1.3)其中為曲線的參數(shù)，(1.3)稱為曲線的參數(shù)方程. 由定義可知，. (1.4)如果坐標函數(shù)是連續(xù)可微的，則稱曲線是連續(xù)可微的. 此概念與標架的取法無關. (為什么？)導數(shù)的幾何意義：割線的極限

13、位置就是曲線的切線. 圖2-1如果，則是該曲線在處的切線的方向向量，稱為該曲線的切向量. 這樣的點稱為曲線的正則點. 曲線在正則點的切線方程為， (1.5)其中是固定的，是切線上點的參數(shù)，是切線上參數(shù)為的點的位置向量. 定義. 如果是至少三次以上的連續(xù)可微向量函數(shù)，并且處處是正則點，即對任意的，則稱曲線是正則參數(shù)曲線. 將參數(shù)增大的方向稱為曲線的正向. 上述定義與中直角坐標系的選取無關. 正則曲線：正則參數(shù)曲線的等價類. 曲線的參數(shù)方程中參數(shù)的選擇不是唯一的. 在進行參數(shù)變換時，要求參數(shù)變換滿足：(1) 是的三次連續(xù)可微函數(shù)；(2) 處處不為零. 這樣的參數(shù)變換稱為可允許的參數(shù)變換. 當時，稱

14、為保持定向的參數(shù)變換. 根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，. 這種可允許的參數(shù)變換在所有正則參數(shù)曲線之間建立了一種等價關系. 等價的正則參數(shù)曲線看作是同一條曲線，稱為一條正則曲線. 以下總假定是正則曲線.如果一條正則參數(shù)曲線只允許作保持定向的參數(shù)變換，則這樣的正則參數(shù)曲線的等價類被稱為是一條有向正則曲線. HYPERLINK l Frenet標架 (返回Frenet標架)圖2-2例1.1 圓柱螺線，其中是常數(shù)，. ，所以圓柱螺線是正則曲線.圖2-3例1.2 半三次曲線. ，.這條曲線不是正則曲線. 連續(xù)可微性和曲線的正則性（光滑性）是不同的概念. （與數(shù)學分析中的結論比較）平面曲線的一般方程和隱式方程.

15、 空間曲線的一般方程 (1.6)和隱式方程 (1.8)這些方程可以化為參數(shù)方程. (習題4：正則曲線總可以用一般方程表示)曲線(1.8)的切線方向，正則性. 課外作業(yè)：習題2，5 2.2 曲線的弧長設中一條正則曲線的方程為. 則 (2.1)是該曲線的一個不變量，即它與正交標架的選取無關，也與曲線的可允許參數(shù)變換無關. 不變量的幾何意義是該曲線的弧長，因為 .其中是區(qū)間的任意一個分割， . (為什么？)圖2-4令. (2.4)則是曲線的保持定向的可允許參數(shù)變換，稱為弧長參數(shù). 它是由曲線本身確定的，至多相差一個常數(shù)，與曲線的坐標表示和參數(shù)選擇都是無關的. 因此任何正則曲線都可以采用弧長作為參數(shù)，

16、當然，允許相差一個常數(shù). 注意也是曲線的不變量，稱為曲線的弧長元素(或稱弧微分). 雖然理論上任何正則曲線都可以采用弧長參數(shù)，但是具體的例子中，曲線都是用一般的參數(shù)給出的. 由(2.4)，即使是初等函數(shù)，也不一定是初等函數(shù). 下面的定理給出了判別一般參數(shù)是否是弧長參數(shù)的方法. 定理2.1 設是中一條正則曲線，則是它的弧長參數(shù)的充分必要條件是. 即是弧長參數(shù)當且僅當(沿著曲線)切向量場是單位切向量場. 證明. “”由(2.4)可知，. “”如果是弧長參數(shù)，則，從而. 以下用“”表示對弧長參數(shù)的導數(shù)，如，等等，或簡記為等等. 而“”則用來表示對一般參數(shù)的導數(shù). 課堂練習：4課外作業(yè)：習題1，2(1

17、)，3. 2.3 曲線的曲率和Frenet標架設曲線的方程為，其中是曲線的弧長參數(shù). 令. (3.1)對于給定的，令是與之間的夾角，其中是的增量. 圖2-5定理3.1 設是曲線的單位切向量場，是弧長參數(shù). 用表示向量與之間的夾角，則. (3.2)證明. ，因為，所以. 定義 稱函數(shù)為曲線在(即)點處的曲率，稱為該曲線的曲率向量. 把曲線的單位切向量平移到原點，其端點所描出的曲線稱為曲線的切線象. 其方程就是. (3.3)例如圓柱螺線的切線象是單位球面上的一個圓. 當然，不一定是切線象的弧長參數(shù). 切線象的弧長元素為 . (3.4)所以 ， (3.5)即曲率是切線象的弧長元素與曲線的弧長元素之比

18、. 由可知. 所以曲率向量是曲線的一個法向量場. 如果在一點處，則向量稱為曲線在該點的主法向量場. 于是在該點有 . (3.6)在處，令. (3.7)它是曲線的第二個法向量場，稱為在該點的次法向量場(副法向量場). 這樣，在正則曲線上的點，有一個完全確定的正交標架，稱為曲線在該點的Frenet標架HYPERLINK l 圖22(見圖2-2). 它的確定不受曲線的保持定向的參數(shù)變換的影響. 注意. 如果在一點處，則一般來說無法定義在該點的Frenet標架. 1. 若，則是直線，可以定義它的Frenet標架. 2. 若是的孤立零點, 則在的兩側(cè)都有Frenet標架. 如果，則可以將Frenet標架

19、延拓到點. 3. 在其他的情況下將曲線分成若干段來考察. 切線、主法線和次法線，法平面、從切平面和密切平面，以及它們的方程. 密切平面法平面從切平面切線主法線次法線切線：；主法線：；次法線：法平面：；從切平面：；密切平面：在一般參數(shù)下，曲率和Frenet標架的計算方法. ，. (3.13)證明. 設為弧長參數(shù)，為其反函數(shù). 則由(2.4)，.故. (3.12)由曲率的定義，可知主法向量滿足. 上式再對求導，得.于是.所以. 代入上式得. 例3.1 求圓柱螺線的曲率和Frenet標架，其中. 解. ，.所以，. 例3.2 求維維安尼(Viviani)曲線在點處的曲率和Frenet標架. 解法1.

20、 將曲線寫成參數(shù)方程，. 點對應的參數(shù)為，其中為整數(shù). 不妨設. ，.于是當時，.所以在點處的曲率，F(xiàn)renet標架為，. 解法2. 設曲線的弧長參數(shù)方程為，點對應的參數(shù)為. 則有， (1)以及 (3.14)求導得到 (3.15)令，由(1)和上述方程組得到，. 通過改變曲線的正方向，可設，于是. (3.16)對(3.15)前兩式再求導，利用(3.14)得 (3.17)令，由(3.15)和(3.16)得；由(1)和(3.17)第1式得；再由(3.17)第2式得. 所以.由此得處的曲率，F(xiàn)renet標架為：；，. 課外作業(yè)：習題1(2,4)，4，7 2.4 曲線的撓率和Frenet公式密切平面對

21、弧長的變化率為，它刻畫了曲面偏離密切平面的程度，即曲線的扭曲程度. 定義4.1 函數(shù)，即稱為曲線的撓率. 注. 由，可知. 因此可設 ， (4.1)從而，即撓率的絕對值刻畫了曲線的扭曲程度. 定理4.1 設曲線不是直線，則是平面曲線的充分必要條件是它的撓率. 證明. 設曲線的弧長參數(shù)方程為，. 因為不是直線，(見定理3.2 )，存在Frenet標架. “” 設是平面曲線，在平面上，其中是平面上一個定點的位置向量，是平面的法向量，和均為常向量. 則有.求導得.于是, 由于，所以是常向量，從而，. 即有. “”設. 由(4.1)得. 所以是常向量. 由可知是一個常數(shù)，即，其中是固定的. 于是曲線上

22、的點滿足平面方程，其中是平面上一個定點的位置向量，是平面的法向量. 設正則曲線上存在Frenet標架. 對Frenet標架進行求導，得到Frenet公式 (4.8)上式中的后三式可以寫成矩陣的形式. (4.9)作為Frenet公式的一個應用，現(xiàn)在來證明定理4.2 設曲線的曲率和撓率都不為零，是弧長參數(shù). 如果該曲線落在一個球面上，則有， (4.10)其中為常數(shù). 證明. 由條件，設曲線所在的球面半徑是，球心是，即有. (4.11)求導得到.這說明垂直于，可設. (4.12)再求導，利用Frenet公式得.比較兩邊的系數(shù)，得， (4.13)其中略去了自變量. 所以，. (4.14)將(4.12)

23、兩邊平方可得，再將(4.14)代入其中，即得(4.10). 注記 由證明過程中的(4.13)第3式還可得. (4.16)在一般參數(shù)下?lián)下实挠嬎愎? . (4.18)證明. 因為，利用Frenet公式，有，于是，從而 由(3.13)可知，代入上式即得(4.18). 定理4.3 曲線是平面曲線的充要條件是. 例 求圓柱螺線的撓率. 解. ，.所以，. 課外作業(yè)：習題1(2, 4)，4，10 2.5 曲線論基本定理已經(jīng)知道正則參數(shù)曲線的弧長、曲率、撓率是曲線的不變量，與坐標系取法及保持定向的參數(shù)無關，都是曲線本身的內(nèi)在不變量. 在空間的剛體運動下，弧長、曲率、撓率保持不變(為什么？). 反之，這三

24、個量也是曲線的完備不變量系統(tǒng)，對確定空間曲線的形狀已經(jīng)足夠了，即有定理5.1 (唯一性定理) 設是中兩條以弧長為參數(shù)的正則參數(shù)曲線，. 如果它們的曲率處處不為零，且有相同的曲率函數(shù)和撓率函數(shù)，即，則有中的一個剛體運動將變成. 證明 選取中的剛體運動將在處的Frenet標架變?yōu)樵谔幍腇renet標架. 則這個剛體運動將變?yōu)檎齽t曲線. 設的弧長參數(shù)方程為. 由于在剛體運動下，弧長、曲率、撓率保持不變，與也有相同的曲率和撓率函數(shù)： ，. 且在處它們有相同的Frenet標架：令和分別為和的Frenet標架. 則它們都滿足一階線性常微分方程組初值問題 (5.6) (5.7)根據(jù)解的唯一性(見附錄定理1.

25、1)，有，即與重合. 注 常微分方程組(5.6)中，共有12個未知函數(shù)：，. 初始條件為：，.定理5.2設是中兩條正則參數(shù)曲線，它們的曲率處處不為零. 如果存在三次以上的連續(xù)可微函數(shù)()，使得這兩條曲線的弧長函數(shù)、曲率函數(shù)和撓率函數(shù)之間滿足， (5.4)則有中的一個剛體運動將變成. 證明 不妨設. 對作可允許參數(shù)變換，可將的參數(shù)方程寫成. 則的弧長為，的弧長為.由條件，可取作為和的弧長參數(shù). 因為有相同的反函數(shù)，即，. 于是.同理， 根據(jù)定理5.1，有中的一個剛體運動將變成. 定理5.3 (存在性定理) 設是定義在區(qū)間上的任意二個給定的連續(xù)可微函數(shù)，并且. 則除了相差一個剛體運動之外，存在唯一

26、的中的正則曲線，使得是的弧長參數(shù)，且分別以給定的函數(shù)和為它的曲率和撓率. 證明 唯一性由定理5.1即得. 只要證明存在性. 考慮含有12個未知函數(shù)的一階線性常微分方程組初值問題(5.6)，(5.7).： (5.6) (5.7)根據(jù)解的唯一存在定理(見附錄定理1.1)，對任意給定的初始條件(5.7)，(5.6)都有定義在區(qū)間上的解. 取(5.6)的滿足初始條件 (5.7) 的解，其中是一個正交標架(即右手單位直角標架). 為了使用求和號，記, (5.9). (5.5)因為是(5.6)的解，所以是三階連續(xù)可微的. 下面來證明就是所要求的曲線. 由(5.6)可得 (5.6)首先來證明. (5.10)

27、由(5.6)得，由初始條件(5.7)可知有，. 這說明9個函數(shù)滿足一階線性常微分方程組初值問題，.另一方面由(5.5)可知，. 于是9個函數(shù)也滿足上面的一階線性常微分方程組初值問題. 由解的唯一性，必有. 因此是兩兩正交的單位向量. 從而混合積. 但是函數(shù)是連續(xù)的，并且由初始條件得. 所以構成右手系. 現(xiàn)在，由(5.6)可知. 所以是正則曲線，并且是的弧長參數(shù)，是的單位切向量場. 由(5.6)第2式及可知的曲率為，主法向量場為. 最后，因為是右手單位正交基，所以是次法向量場. 再由(5.6)第3式可知的撓率為. 例 求曲率和撓率分別是常數(shù)，的曲線的參數(shù)方程. 解 我們已經(jīng)知道圓柱螺線的曲率和撓

28、率都是常數(shù)，分別為和. 根據(jù)定理5.1，曲線一定是圓柱螺線. 由和解出，. 因此所求曲線的參數(shù)方程為.因為的弧長參數(shù)，將上式中的換成就可得到的弧長參數(shù)方程：. 課外作業(yè)：習題1，4，6 2.6 曲線參數(shù)方程在一點的標準展開對于定義在區(qū)間上的次連續(xù)可微的函數(shù)，可以在區(qū)間內(nèi)任意一點鄰近展開為Taylor展式：.同樣，對于一條三次連續(xù)可微的弧長參數(shù)曲線，可在處展開為， (6.1)其中是一個向量函數(shù)，滿足. (6.2)由Frenet公式可得 (6.3)代入(6.1)得， 其中. 以處的Frenet標架建立右手直角坐標系，則曲線在附近的參數(shù)方程為 (6.4)上式稱為曲線在處的標準展開式. 在標架下，考慮

29、的近似曲線. (6.5)近似曲線與原曲線在處有相同的Frenet標架，有相同的曲率和相同的撓率. 這是因為是的一般參數(shù)，并且，從而，.在鄰近，近似曲線的性狀近似地反映了原曲線的性狀. 近似曲線的圖形見下圖，其在各坐標平面上的投影見書上圖2-6. 在密切平面上的投影是拋物線：，在從切平面上的投影是三次曲線：，在法平面上的投影是半三次曲線：. 定義 設兩條弧長參數(shù)曲線相交于，. 取，使得. 若有正整數(shù)使得， (6.9)則稱與在處有階切觸. 定理6.1 設兩條弧長參數(shù)曲線在處相交. 則它們在處有階切觸的充分必要條件是，. (6.10)證明 在處，有. 因為在處相交，所以. 根據(jù)Taylor公式，.充

30、分性. 由(6.10)，所以，.即在處有階切觸. 必要性. 由條件，在處有階切觸，則. 如果，則，從而，矛盾. 設是滿足，的正整數(shù). 由充分性，在處有階切觸. 由條件得，故(6.10)成立. 推論 (1) 一條曲線與它在一點的Taylor展開式中的前項之和(即略去的高階無窮小)至少有階切觸；與它在一點的切線至少有1階切觸；與它在一點的近似曲線至少有2階切觸. (2) 兩條相交曲線在交點處有二階以上切觸的充分必要條件是這兩條曲線在該點處相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率. 曲率圓(密切圓)：在弧長參數(shù)曲線上一點處的密切平面上，以曲率中心為圓心，以曲率半徑為半徑的圓. 它的方程是：. 曲線與

31、曲面的切觸階，密切球面，曲率軸. (略)課外作業(yè)：習題2，32.7 存在對應關系的曲線偶設兩條正則參數(shù)曲線之間存在一個一一對應關系，. 對曲線作參數(shù)變換，可設，從而之間的一一對應就是參數(shù)相同的點之間的一一對應. 定義7.1 如果兩條互不重合的曲線之間存在一個一一對應，使得它們在對應點有公共的主法線，則稱這兩條曲線為Bertrand曲線偶，其中每一條曲線稱為另一條曲線的侶線，或共軛曲線. 注 在平面上，每一條正則曲線都有侶線，構成Bertrand曲線偶. 證明 設是的弧長參數(shù)，是的單位切向量場，是的曲率.令. 取充分小的非零實數(shù)使得,. 則是曲線的侶線. 事實上，因為，所以，. 另一方面由可知.

32、 因此. 設. 于是的曲率.當常數(shù)充分小時，所以是正則參數(shù)曲線. 因為，所以曲線和不重合. 現(xiàn)在來證明在對應點和有相同的主法線. 在相同的參數(shù)點處，的主法線是過(的終)點且垂直于的直線，所以的方程為，.同理，在相同的參數(shù)點處，的主法線是過點且垂直于的直線. 所以(因為它們都垂直于). 由定義可知在直線上，所以與重合. 下面考慮空間撓曲線，即撓率的曲線. 定理7.1 設和是Bertrand曲線偶. 則和在對應點的距離是常數(shù)，并且和在對應點的切線成定角. 證明 設曲線的弧長參數(shù)方程為，F(xiàn)renet標架為，曲率和撓率分別為和. 因為和之間存在一一對應，設上與對應的點是，是的一般參數(shù)，的Frenet標

33、架為，曲率和撓率分別為和. 再設的弧長參數(shù)為. 由條件，在曲線上的點處的主法線上，所以，并且. 因此可設， (7.3)其中是常數(shù)，是可微函數(shù).將(7.3)兩邊對求導，利用Frenet公式，得 . (7.4)以分別與上式兩邊作內(nèi)積，可得，是常數(shù). 再由(7.3)得，即和在對應點的距離是常數(shù)，因為和不重合).設，則. 因為，所以是常數(shù)，從而是常數(shù). 定理7.2 設正則曲線的曲率和撓率都不為零. 則是Bertrand曲線的充分必要條件是：存在常數(shù)，且，使得. 證明 必要性. 設曲線有侶線，它們的參數(shù)方程分別是和，其中是的弧長參數(shù). 如同定理7.1的證明過程一樣，設和分別是和的Frenet標架，分別是

34、的曲率和撓率，是的弧長參數(shù). 現(xiàn)在(7.3)和(7.4)分別成為， (7.3). (7.5)其中是常數(shù). 因此由得，其中也是一個常數(shù). 由定理7.1，是常數(shù). 用與(7.5)兩邊作內(nèi)積，得.由可知，從而是常數(shù). 這就是說，存在常數(shù)，使得. 充分性. 設正則弧長參數(shù)曲線的曲率和撓率滿足，其中是常數(shù)，且. 令，則.所以由參數(shù)方程定義的曲線是正則曲線，并且與曲線不重合(因為).由于，曲線的單位切向量場，其中是常數(shù)，滿足，.設是的弧長參數(shù)，利用Frenet公式，有.如果，則有，從而曲線是的侶線，和是Bertrand曲線偶(在參數(shù)相同的點，和得主法線有相同方向，并且在處的主法線上). 如果，則. 結合可

35、知和都是非零常數(shù)，是圓柱螺線，從而是Bertrand曲線. 定義7.2 如果兩條曲線之間存在一個一一對應，使得曲線在任意一點的切線正好是在對應點的法線(即垂直于在該點的切線)，則稱曲線是的漸伸線. 同時稱曲線是的漸縮線. 定理7.3 設是正則弧長參數(shù)曲線. 則的漸伸線的參數(shù)方程為. (7.7)證明 設漸伸線上與對應的點為. 則在曲線上點處的切線上，故有函數(shù)使得. (7.8)由漸伸線的定義，所以.由此得，. 代入(7.8)即得(7.7). 曲線的漸伸線可以看作是該曲線的切線族的一條正交軌線，位于的切線曲面上. 定理7.4設是正則弧長參數(shù)曲線. 則的漸縮線的參數(shù)方程為. (7.10)證明 設漸縮線

36、上與對應的點為. 由定義，可設. (7.11)求導得 . 因為，所以，即有，. (7.12)所以，且由(7.12)第2式得，.所以有(7.10). 課外作業(yè)：習題4，82.8 平面曲線本節(jié)研究平面曲線的特殊性質(zhì). 一、平面曲線的Frenet標架在平面上取定一個正交標架(右手直角標架). 則平面曲線的弧長參數(shù)方程為 ， . (8.1)它的單位切向量為 ， (8.2)其中是由到的有向角(允許相差的整數(shù)倍)，逆時針方向為正. 當區(qū)間是閉區(qū)間時，函數(shù)可以成為定義在整個上的連續(xù)可微函數(shù). 將右旋，得到與正交的單位向量，. (8.3)這樣，得到沿曲線的(平面)Frenet標架. 二、平面曲線的Frenet

37、公式由于是單位切向量場，有，故，可設 ， (7.4)其中 (7.5)稱為曲線的相對曲率. 曲線的曲率為. 的符號的幾何意義見圖2-8.利用(7.4)得到平面曲線的Frenet公式 (7.6)因此曲線的曲率中心為，這也是的漸縮線方程. 三、相對曲率的幾何意義由(7.2)，(7.3)和(7.4)可得.因此 ， (7.7)即相對曲率是有向角對弧長的變化率.四、平面曲線論基本定理定理 (平面曲線論基本定理) 設是區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù). 則在不計的一個剛體運動的情況下，存在唯一的平面曲線，它以為弧長參數(shù)，以給定的函數(shù)為相對曲率. 證明 存在性. 取. 令，.再令，.則平面曲線，滿足：以為弧長參數(shù)，以為相

38、對曲率.唯一性. 設另有一條平面曲線也以為弧長參數(shù)，以為相對曲率. 令為的Frenet標架，. 通過的一個剛體運動，可設，.由及可知. 從而.再由得到，. 五、旋轉(zhuǎn)指標定理雖然有向角允許相差的整數(shù)倍，但是有向角的總變差是不變的. 事實上，若也是由到的有向角，則. 由于和都是連續(xù)函數(shù)，必為常數(shù)(因為閉區(qū)間是連通的). 從而，即總變差與有向角函數(shù)連續(xù)分支的取法無關. 由(7.7)可知總變差為 . (7.9)光滑閉曲線，分段光滑曲線，簡單閉曲線，旋轉(zhuǎn)指標定理7.2 (旋轉(zhuǎn)指標定理) 若是平面上一條連續(xù)可微的簡單閉曲線，則它的旋轉(zhuǎn)指標為. 若是分段光滑的簡單閉曲線，指標定理仍然成立. 但(7.9)右端

39、要加上在各角點的外角和. 即若是曲線的角點(不光滑點)，則， (7.11)其中 . (7.12)課外作業(yè)：習題1(2, 4, 6)，3，5目 錄 TOC o 1-3 f h z u HYPERLINK l _Toc226814112 第三章 曲面的第一基本形式 PAGEREF _Toc226814112 h 27 HYPERLINK l _Toc226814113 3.1 正則參數(shù)曲面 PAGEREF _Toc226814113 h 27 HYPERLINK l _Toc226814114 一、參數(shù)曲面 PAGEREF _Toc226814114 h 27 HYPERLINK l _Toc22

40、6814115 二、參數(shù)變換 PAGEREF _Toc226814115 h 28 HYPERLINK l _Toc226814116 三、正則曲面 PAGEREF _Toc226814116 h 29 HYPERLINK l _Toc226814117 四、正則曲面的例子 PAGEREF _Toc226814117 h 30 HYPERLINK l _Toc226814118 3.2 切平面和法線 PAGEREF _Toc226814118 h 33 HYPERLINK l _Toc226814119 一、曲面的切空間，切平面和法線 PAGEREF _Toc226814119 h 33 HY

41、PERLINK l _Toc226814120 二、連續(xù)可微函數(shù)的等值面 PAGEREF _Toc226814120 h 34 HYPERLINK l _Toc226814121 三、微分的幾何意義 PAGEREF _Toc226814121 h 35 HYPERLINK l _Toc226814122 3.3 第一基本形式 PAGEREF _Toc226814122 h 35 HYPERLINK l _Toc226814123 3.4 曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性 PAGEREF _Toc226814123 h 38 HYPERLINK l _Toc226814124 3.5 保長對應和保角

42、對應 PAGEREF _Toc226814124 h 40 HYPERLINK l _Toc226814125 一、曲面到曲面的連續(xù)可微映射 PAGEREF _Toc226814125 h 40 HYPERLINK l _Toc226814126 二、切映射 PAGEREF _Toc226814126 h 40 HYPERLINK l _Toc226814127 三、保長對應(等距對應) PAGEREF _Toc226814127 h 42 HYPERLINK l _Toc226814128 四、保角對應(共形對應) PAGEREF _Toc226814128 h 44 HYPERLINK l

43、 _Toc226814129 3.6 可展曲面 PAGEREF _Toc226814129 h 45第三章 曲面的第一基本形式本章內(nèi)容：曲面的定義，參數(shù)曲線網(wǎng)，切平面，單位法向量，第一基本形式，正交參數(shù)網(wǎng)，等距對應和共形對應，可展曲面計劃學時：12學時，含習題課4學時. 難點：正交參數(shù)網(wǎng)的存在性，等距對應和共形對應 3.1 正則參數(shù)曲面一、參數(shù)曲面從平面的一個區(qū)域(region，即連通開集)到中的一個連續(xù)映射的象集稱為中的一個參數(shù)曲面(parameterized surface). 在中取定正交標架，建立笛卡爾右手直角坐標系. 則參數(shù)曲面可以通過參數(shù)(parameter)表示成參數(shù)方程 ， (

44、1.1)或?qū)懗上蛄繀?shù)方程，. (1.2)為了使用微積分工具，本書中要求向量函數(shù)都是3次以上連續(xù)可微的. 圖3.1-曲線：讓固定，變化，向量的終點描出的軌跡. -曲線，參數(shù)曲線網(wǎng). 直觀上，參數(shù)曲面就是將平面中的區(qū)域經(jīng)過伸縮、扭曲等連續(xù)變形后放到歐氏空間中的結果. 曲紋坐標，即.一般來說，由(1.1)給出的連續(xù)映射并不能保證曲面上的點與該點的參數(shù)之間是一一對應的. 為了使得曲紋坐標能真正起到坐標的作用，需要對參數(shù)曲面加上正則性條件. 定義 設為中的參數(shù)曲面. 如果在點，兩條參數(shù)曲線的切向量 ， (1.3)線性無關，即，則稱或是的正則點(regular point). 如果上每一點都是正則點，則

45、稱是正則參數(shù)曲面.以下總假定是正則曲面. 在正則曲面上每一點，由于， (1.4)通過重新選取正交標架，不妨設.根據(jù)反函數(shù)定理，存在的鄰域，使得有連續(xù)可微的反函數(shù)，即有.此時有的鄰域和同胚映射. 從而有連續(xù)映射. 于是在的鄰域內(nèi)可用參數(shù)方程表示為， (*) 或表示為一個二元函數(shù)的圖像，其中. (1.5)上式稱為曲面片的Monge形式，或稱為的顯式方程. 從(*)式可見是一一對應，從而也是一一對應. 這說明正則性條件至少保證了局部是一一對應. 為了確定起見，以下約定正則曲面與其定義域之間總是一一對應的，從而參數(shù)可以作為曲面上點的曲紋坐標. 反之，由顯式方程表示的曲面總是正則的：如果 ， (1.6)

46、則，從而.二、參數(shù)變換曲面的定向(orientation)：對于曲面，規(guī)定所指的一側(cè)為的正側(cè).由于參數(shù)曲面的參數(shù)方程中，參數(shù)的選擇不是唯一的，在進行參數(shù)變換(transformation of parameter)時，要求參數(shù)變換 (1.8)滿足：(1) 是的3次以上連續(xù)可微函數(shù)；(2) 處處不為零. 這樣的參數(shù)變換稱為可允許的(compatible)參數(shù)變換. 當時，稱為保持定向(preserve the orientation)的參數(shù)變換. 根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，在新的參數(shù)下， .因此 . (1.10)上式說明在可允許的參數(shù)變換下，正則性保持不變；在保持定向的參數(shù)變換下，曲面片的正側(cè)保持

47、不變. 三、正則曲面正則參數(shù)曲面在具體應用總是十分方便，十分廣泛的. 但是有的曲面不能夠用一張正則參數(shù)曲面來表示，例如球面. 將與等同，賦予普通的度量拓撲，即以的標準度量確定的拓撲.定義1.1 設是的一個子集，具有相對拓撲. 如果對任意一點，存在在中的一個鄰域(，其中是在中的鄰域)，和中的一個區(qū)域，以及同胚 ，使得是中一個正則參數(shù)曲面，則稱是中的一張正則曲面(regular surface)，簡稱曲面. 上述的鄰域和同胚的逆映射合在一起，將稱為該曲面的一個局部參數(shù)化(local parameterization)，或坐標卡(coordinate chart). 注 的拓撲是作為的子集從誘導的相

48、對拓撲，即作為的拓撲子空間的拓撲. 如果兩個局部參數(shù)化，滿足，那么正則參數(shù)曲面就有兩個參數(shù)表示和. 由此自然產(chǎn)生了參數(shù)變換.利用正則參數(shù)曲面的3次以上連續(xù)可微性和正則性，可以證明上述參數(shù)變換是可允許的. 直觀上看，正則曲面是由一些正則參數(shù)曲面“粘合”而成的. 只有那些與參數(shù)的選擇無關的量才是曲面本身的幾何量. 如果一個正則曲面有一族保持定向的局部參數(shù)化(為指標集)，使得構成的開覆蓋，則稱該曲面是可定向的(orientable). 除非特別指出，本課程一般是研究正則參數(shù)曲面的幾何性質(zhì)，稱之為“局部微分幾何學”. 以下所說的“曲面”一般都是正則參數(shù)曲面，包括習題中出現(xiàn)的“曲面”.四、正則曲面的例子

49、圖3.2例1.1 圓柱面(cylinder) ，. (1.15)其中.當時，圓柱面上少了一條直線.如果取，上面的直線在參數(shù)曲面上，但是又少了一條直線. 顯然是任意階連續(xù)可微的. 又，.所以圓柱面是正則曲面. 圓柱面也可以用一個坐標卡表示：，.所以圓柱面是可定向的. 圖3.3例1.2 球面(sphere) ，參數(shù)方程為，. (1.16)其中. 由于，所以球面是正則曲面.問題：球面至少需要幾個坐標卡才能將它覆蓋？(參見習題2)圖3.4例1.3 旋轉(zhuǎn)面(revolution surface) 設是平面上一條曲線，其中. 將繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面參數(shù)方程為 ，. (1.18)旋轉(zhuǎn)面上的u-曲線稱為緯線圓

50、，v-曲線稱為經(jīng)線. 因為，所以當是正則曲線，并且時，是正則曲面. 例1.4 正螺面(hericoid) 設兩條直線和垂直相交. 將直線一方面繞作勻速轉(zhuǎn)動，同時沿作勻速滑動，的運動軌跡叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直線為x軸，為z軸，建立右手直角坐標系. 則正螺面的參數(shù)方程為，. (1.19)由，可知正螺面是正則曲面. 例1.5 直紋面(ruled surface) 簡單來說，直紋面就是由單參數(shù)直線族構成的曲面. 設 ()是一條空間正則曲線. 在上對應于參數(shù)的每一點有一條直線，其方向向量為. 這條直線的參數(shù)方程可以寫成.讓在區(qū)間內(nèi)變動，所有這些直線就拼成一個曲面，稱為直紋面. 它的參數(shù)方

51、程為，. (1.20)曲線稱為該直紋面的準線(directrix)，而這個單參數(shù)直線族中的每一條直線都稱為直紋面的一條直母線(generating line)，也就是直紋面的-曲線. 為了保證直紋面的正則性，要求. (1.21)因為直母線的方向向量，通過參數(shù)變換，可設. 再通過選取新的準線，其中是待定的函數(shù)，使得直母線處處與準線垂直相交，即. 因為，只須取即可.1. 當為常向量時，所有的直母線互相平行，直紋面稱為柱面(cylindrical surface). 2. 當所有的直母線都經(jīng)過一個定點時，直紋面稱為錐面(cone). 3. 當時，稱為切線曲面(tangent surface)，由準線

52、的所有切線構成. 這3種直紋面有共同的特征，在3.6還要進一步討論. 課外作業(yè)：習題2，5 3.2 切平面和法線一、曲面的切空間，切平面和法線設是中一個正則曲面，是曲面上點的曲紋坐標. 設是上任意一個固定點. 則上過點的一條可微(參數(shù))曲線可以表示為， (2.2)其中 (2.1)是中一條可微曲線(不一定是正則曲線)，滿足，. 因此，正是點的位置向量. 曲線在點的切向量為. (2.3)圖3.1定義2.1 曲面上過點的任意一條連續(xù)可微曲線在該點的切向量稱為曲面在點的一個切向量(tangent vector). 命題 曲面在點的切向量全體記為，它是一個2維實向量空間，是的一個基. 事實上，稱為曲面在

53、點的切空間(tangent space). 證明 記. 由(2.3)可見. 反之，對任意，令. 則是過的可微曲線，并且.所以. 因此，從而.顯然按照向量的加法和數(shù)乘構成一個向量空間. 由于線性無關，它們構成的基. 在空間中，經(jīng)過點，以兩個不共線向量為方向向量的平面稱為曲面在點的切平面(tangent plane). 切平面的參數(shù)方程為，. (2.6)它的單位法向量(unit normal vector)為 . (2.7)經(jīng)過點且垂直于在點的切平面的直線稱為曲面在點的法線(normal line). 它的參數(shù)方程為，. (2.8)曲面在點的切空間、切平面、法線這三個概念都是與參數(shù)選擇無關的幾何概

54、念. (為什么？)曲面上的自然標架：. 圖3.6二、連續(xù)可微函數(shù)的等值面設是一個區(qū)域，是定義在上的連續(xù)可微函數(shù). 對于一個常數(shù)，集合稱為函數(shù)的等值面. 如果在的每一點，都有， (2.9)則等值面是一個正則曲面. 事實上，設在，有，則方程 (2.10)在點的鄰近確定了一個隱函數(shù)，使得，. 于是等值面局部地可以用參數(shù)方程表示為 . (2.11)由于，等值面是正則曲面. 在等值面上每一點，梯度向量是一個法向量，即是與切平面垂直的向量.事實上，由(2.11)可得切空間的基底. 由(2.10)兩邊分別對求偏導數(shù)并注意，得，即有，.三、微分的幾何意義設曲面的參數(shù)方程為. 微分得到 . (2.13)將看作4

55、個獨立的變量，則對于(2.13)中的不同取值，就得到不同的切向量.有時也用比值來表示曲面上的一個切方向. 自然，這時要求不能全為0. 變量是切向量關于切空間的基底的分量，因此是向量空間上的線性函數(shù)，即(對偶空間). 事實上，按照定義.同理，. 注. 由于切空間的自然基底一般不是單位正交的，在把看作切向量在這個基底下的分量計算內(nèi)積時，不能將它當作笛卡爾坐標系下的分量來進行運算，而應當顧及自然基底的度量系數(shù)(參看下一節(jié)). 課外作業(yè)：習題1，3，5. 3.3 第一基本形式設是中一個正則參數(shù)曲面. 則 (3.1)是曲面上任意一點處的切向量，這個向量作為中的向量可以計算它的長度. 令， ，. (3.2

56、)這三個函數(shù)稱為曲面的第一類基本量. 而矩陣 (3.3)稱為切空間(關于基底)的度量矩陣(metric matrix). 由于的度量是正定的，這是一個正定矩陣. 事實上，它的2個順序主子式均：，. (Lagrange 恒等式)利用第一類基本量的定義，有.這是一個關于變量的二次型，稱為曲面的第一基本形式(first fundamental form)，記為 . (3.4)對曲面作可允許的參數(shù)變換 ， (3.5)并記. 則由微分形式的不變性得. (*)記參數(shù)變換(3.5)的Jacobi矩陣為. (3.10)則有， (3.7, 3.9). (3.8)因此在新的參數(shù)下，度量矩陣成為， (3.12)從而

57、第一類基本量之間的關系為 (3.13)在新的參數(shù)下，第一基本形式保持不變：. 因此第一基本形式與參數(shù)選擇無關，也與的標架選擇無關，是一個幾何量. 其實，這一結論也可由微分形式不變性，也就是(*)式直接得到：. 如果和是處的兩個切向量，則它們的內(nèi)積為 . (3.15)因此切向量的長度為 . (3.16)兩個切向量和之間的夾角滿足. (3.17)它們相互正交的充分必要條件是 . (3.18)定理3.1 在參數(shù)曲面上，參數(shù)曲線網(wǎng)是正交曲線網(wǎng). 對于參數(shù)曲面上的一條曲線，它的弧長為. (3.21)定義 稱為曲面, 的面積元素，稱 (3.18)為曲面的面積. 命題 曲面上曲線的弧長，曲面的面積元素以及曲

58、面的面積都是幾何量. 證明 假設參數(shù)變換為，其中.則在新參數(shù)下，的參數(shù)方程與原參數(shù)方程之間滿足.1. 曲線的參數(shù)方程由變成了.所以.2. 由(3.12)可見，在新參數(shù)下，第一類基本量滿足.其中是的逆映射的Jacobi行列式. 另一方面根據(jù)二重積分的變量代換公式，.所以在新參數(shù)下的面積元素.3. 根據(jù)二重積分的變量代換公式，有. 例1 求旋轉(zhuǎn)面的第一基本形式. 解 ，. 所以，.這說明在旋轉(zhuǎn)面上，經(jīng)線和緯線構成正交曲線網(wǎng). 第一基本形式為. (3.24)這說明在旋轉(zhuǎn)面上經(jīng)線(v-曲線)和緯線(u-曲線)構成正交參數(shù)曲線網(wǎng). 例2 求曲面上參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線的微分方程.解 設正則參數(shù)曲面的第

59、一基本形式是.再設二等分角軌線的切向量為.由題意，它與u-曲線的夾角要等于它與v-曲線的夾角，而u-曲線的切方向為，v-曲線的切方向為，所以.將和代入上式，得，即.由于，即，所以上式可化簡為， (3.25)或等價地，參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線的微分方程為. 注 求解一階常微分方程初值問題，()得到的解是曲面上過點的一條曲線，在的每一點，切方向與該點處的兩條參數(shù)曲線的切方向夾角相等. 固定，讓初始條件變動，就得到2族這樣的曲線，它們就是參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線. 課外作業(yè)：習題2，5，8 3.4 曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性在正交參數(shù)曲線網(wǎng)下，第一基本形式比較簡單：. 問題：曲面上是否存在正交參數(shù)

60、曲線網(wǎng)？引理 設是定義在區(qū)域上的連續(xù)可微的1次微分形式，且處處不為零. 則對于任意一點，在的某個鄰域內(nèi)存在積分因子，即有定義在上的非零連續(xù)可微函數(shù)，使得是某個定義在上的連續(xù)可微函數(shù)的全微分：. 引理的證明見附錄1定理1.2. 定理4.1 假定在曲面上有兩個處處線性無關的、連續(xù)可微的切向量場, . 則對每一點，必有點的一個鄰域，使得在上存在新的參數(shù)，滿足，. 分析：設，. (4.2)則由線性無關可知. (4.3)如果這樣的可允許參數(shù)變換存在，則應有函數(shù)使得， (4.5)即有. (4.7)在上述等式兩邊取逆矩陣得. (4.8)因此逆參數(shù)變換應滿足 (4.9)定理4.1的證明：考慮兩個1次微分形式，