北京工業(yè)大學線性代數(shù)四章一節(jié) n 維向量空間

1、第四章 n 維向量空間 我們在第二章給出了直接從線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩判斷方程組有沒有解及有多少解的判別定理。為了研究方程組有無窮多解時解的解構，我們需要探討和建立線性方程組的進一步理論，為此，引入了向量空間的概念。1第一節(jié) n 維向量空間 一 n 維向量空間的概念 二向量與矩陣的關系 三向量的線性組合與線性表出2一 n 維向量空間的概念一個mn矩陣的每一行都是由n個數(shù)組成的有序數(shù)組,其每一列都是由m個數(shù)組成的有序數(shù)組。 n元線性方程組的一個解也是由n個數(shù)組成的有序數(shù)組。所以研究線性方程組解的結構離不開有序數(shù)組。1.定義:由數(shù)域P 中n 個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為數(shù)域P 上的一個n 維

2、向量，用小寫的希臘字母表示3稱為行向量（行矩陣），也可以寫成一列稱為列向量（列矩陣），稱 ai ( bi )(i =1，2，, n )是第i 個分量. 顯然n 維向量可以寫成一行4向量的相等設零向量所有分量都是零的向量稱為零向量，記作 0=(0,0, ,0)負向量:n 維向量的各分量的相反數(shù)所構成的向量稱為 的負向量，記作52 n 維向量運算向量的加法數(shù)量乘法向量的加法和數(shù)量乘法統(tǒng)稱為向量的線性運算為向量， 為數(shù)顯然,6向量的線性運算的運算律73. n 維向量空間定義：R 為實數(shù)域，則Rn 為n 維實向量空間 R3 為3維實向量空間或3維幾何空間。 Pn =數(shù)域P上的n維向量，連同定義在它上面

3、的向量加法和數(shù)量乘法及其滿足的8條運算法則一起，稱為數(shù)域P上的n維向量空間。如8解: 由題設條件, 有 9二向量與矩陣的關系 若干個同維數(shù)的列向量（或行向量）所組成的集合叫做向量組例2向量組 稱為矩陣A 的列向量組定義：設矩陣將A按列分塊10向量組 稱為矩陣A 的行向量組 反之，由有限個向量所組成的向量組可以構成矩陣.11三向量的線性組合與線性表出(示) 引例：設在R3中則我們稱的一個線性組合；可以由線性表出。121.定義: 向量組 一個線性組合, 是向量組稱為組合系數(shù); 稱向量 使得則稱為表出系數(shù) 任給對于若存在線性表出（示）,13 任意一個n 維向量都可由n 維基本向量組2.幾個特例線性表

4、出,且 的分量就是表出系數(shù)。14零向量可由任意一組向量線性表出維 組個 組本身線性表出153維向量能否由3維向量組觀察線性表出？不能！問題：對于給定的向量組和向量如何判別線性表出？16設數(shù)域P上的n元線性方程組式是線性方程組的向量表示式分析:3.線性表出的判別令則有17于是，線性方程組有解存在一組數(shù)使得下式成立線線性方程組有沒有解常數(shù)項列向量能否由系數(shù)矩陣的列向量組線性表出。結論：18判斷線性表出的方法：對于給定的向量 及向量組線方程組是否有解。線若方程組無解，則19若方程組有解，則且方程組的一組解就是表出系數(shù) 若方程組有唯一解，則線 若方程組有無窮多解，則線線20判斷線性表出的方法：對于給定的列向量 及列向量組令 線 由方程組有解的判別定理，我們很容易得出則判斷線性表出就是判斷 是否能否由等于21則表示方法唯一 若 若線則表示方法不唯一，即無窮多種表示方法具體作法是：將 用初等行變換化成階梯形，判斷是否有 22例3判斷 線性表出，并 求出表出方式。解：將矩陣初等行變換：線性表出且23例4已知 為何值時， 線性表出?解： 為何值時， 線性表出且表示法將矩陣