2022年高考考前20天終極沖刺攻略（二）核心考點(diǎn)解讀-雙曲線與拋物線

1、時(shí)間：5月 28 日 今日心情： 核心考點(diǎn)解讀雙曲線與拋物線高考預(yù)測(cè)1.雙曲線是圓錐曲線的重要內(nèi)容，但從總體上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低，在高考中雙曲線的試題以選填題為主，解答題考查雙曲線的也可能考查.在雙曲線的試題中，離不開(kāi)漸近線的考查，幾乎所有雙曲線試題均涉及漸近線，因此雙曲線的試題中，最為重要的是三點(diǎn):方程、漸近線、離心率.2.拋物線是圓錐曲線的重要內(nèi)容，新高考主要考查拋物線的定義、方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用.應(yīng)試技巧一.雙曲線的方程、圖形及性質(zhì).標(biāo)準(zhǔn)方程圖形yxB1B2F2A2A1F1B1F1xyA1F2B2A2焦點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱性關(guān)于，軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱頂

2、點(diǎn)坐標(biāo)，范圍實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為離心率漸近線方程令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系共漸近線的雙曲線方程弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，.則弦長(zhǎng)，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù).通徑通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為二.拋物線的方程、圖形及性質(zhì) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，其中一次項(xiàng)與對(duì)稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向標(biāo)準(zhǔn)方程yxOFlyxOFlFyxOl圖形yxOFl對(duì)稱軸軸軸頂點(diǎn)原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程三、拋物線中常用的結(jié)論1. 點(diǎn)與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）.（2）在拋物線上.（3）在拋物線外.2

3、. 焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.3. 的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開(kāi)口越大.4. 焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，則有以下結(jié)論：（1）.（2）.（3）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1：，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為.焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）.（4）的面積公式：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）.1（2021江蘇高考真題）已知雙曲線的一條漸近線與直線平行，則該雙曲線的離心率是（）ABC2D【答案】D【解析】【分析】寫(xiě)出漸近線，再利用斜率相等，進(jìn)而得到離心率【詳解】雙曲線的漸近線為，易知與直線平行，所以.故選：D.2（2021天津高考真

4、題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若則雙曲線的離心率為（）ABC2D3【答案】A【解析】【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長(zhǎng)度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以，又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.3（2021全國(guó)高考真題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（）A1B2CD4【答案】B【解析】【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.【詳解】拋

5、物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.4（2021北京高考真題）若雙曲線離心率為，過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】分析可得，再將點(diǎn)代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，則雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B5（2020天津高考真題）設(shè)雙曲線的方程為，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由拋物線的焦點(diǎn)可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可

6、求出，得到雙曲線的方程【詳解】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，因?yàn)?，解得故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6（2020北京高考真題）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是拋物線上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線（）A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B經(jīng)過(guò)點(diǎn)C平行于直線D垂直于直線【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意不妨作出焦點(diǎn)在軸上的開(kāi)口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋

7、物線上，根據(jù)定義可知，所以線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7（2020浙江高考真題）已知點(diǎn)O（0，0），A（2，0），B（2，0）設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點(diǎn)，則|OP|=（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)的圖象上，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的值【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，即雙曲線的右支方程為，而點(diǎn)還在函數(shù)的圖象上，所以，由，解得，即故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的

8、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題8（2020全國(guó)高考真題（理）設(shè)雙曲線C：（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為P是C上一點(diǎn)，且F1PF2P若PF1F2的面積為4，則a=（）A1B2C4D8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.【詳解】，根據(jù)雙曲線的定義可得，即，即，解得，故選：A.9（2021北京高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸與于點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)； 的面積為_(kāi)【答案】 5 【解析】因?yàn)閽佄锞€的方程為，故且.因?yàn)?，解得，故，所以，故答案為?；.10（2021全國(guó)高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此

9、雙曲線的漸近線方程_.【答案】【解析】由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.11（2021江蘇高考真題）以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且與直線(為參數(shù)）相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.【答案】【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將直線的參數(shù)方程化為普通方程得，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以所求圓的方程為.故答案為：12（2021全國(guó)高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi).【答案】【解析】拋物線： ()的焦點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為，不妨設(shè)，因?yàn)镼為軸上

10、一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因?yàn)?，所以，所以的?zhǔn)線方程為，故答案為：.13（2020山東高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合，若兩曲線相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)是點(diǎn)，則該雙曲線的離心率等于_.【答案】【解析】由題意知： 拋物線方程為：在拋物線上，所以在雙曲線上，又，故答案為：14（2021浙江高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線與AB兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.【解析】（1）因?yàn)椋?，故拋物線的方程為：.（2）方法一

11、：通式通法設(shè)，所以直線，由題設(shè)可得且.由可得，故，因?yàn)椋?，?又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.方法二：利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，由題設(shè)可得且由得，所以因?yàn)?，由得同理由得因?yàn)?，所以即故令，則所以，解得或或故直線在x軸上的截距的范圍為方法三【最優(yōu)解】：設(shè)，由三點(diǎn)共線得，即所以直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為設(shè)直線的方程為，則所以故（其中）所以因此直線在x軸上的截距為15（2021全國(guó)高考真題（理）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為（1）求；（2）若點(diǎn)在上，

12、是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值【解析】（1）方法一：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值由題意知，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則所以從而有因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，又，解之得，因此方法二【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值拋物線的焦點(diǎn)為，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）方法一：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長(zhǎng)求面積法拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.方法二【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割

13、轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值 同方法一得到過(guò)P作y軸的平行線交于Q，則P點(diǎn)在圓M上，則故當(dāng)時(shí)的面積最大，最大值為方法三：直接設(shè)直線AB方程法設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得判別式，即，且拋物線C的方程為，即，有則，整理得，同理可得聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得由弦長(zhǎng)公式得點(diǎn)P到直線的距離為所以，其中，即當(dāng)時(shí)，16（2021全國(guó)高考真題（文）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且已知點(diǎn)，且與l相切（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由【解析】（1）依題意設(shè)

14、拋物線，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）方法一：設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，則過(guò)與圓相切的另一條直線方程為，此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)則過(guò)與圓相切的直線為，又，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.方法二【最優(yōu)解】：設(shè)當(dāng)時(shí)，同解法1當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即由直線與相切得，化簡(jiǎn)得，同理，由直線與相切得因?yàn)榉匠掏瑫r(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以的直線方程為，點(diǎn)M到直線距離為所以直線與相切綜上所述，若直線與相切，則直線與相切17（2021全國(guó)高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【解析】(1) 因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，所以，軌跡的方程為.（2）方法一 【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立如圖所示，設(shè)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，化簡(jiǎn)得.則故則設(shè)的方程為，同理