山東理工大學(xué)物理功和能的課件

1、功和能山東理工大學(xué)功和能（Work and Energy)1功Work一、功的概念功的兩要素力在力的方向上的位移二、恒力的功FrW F rrr W F cosFrFrFn20 , W0,2 W02,W 0單位：焦耳1J=1Nm討論：W F r功是標量，但有正負.直角坐標系中W Fx x Fy y Fz zFrFrFn三、變力的功元功dW F dr質(zhì)點從 a b的功 Wba(L)bba( L)a ( L)W F dr F dr cos F cosds直角坐標系中xyzF F i F j Fkdr dxi dyj dzkbW F drba( L)a( L)F dx F dy F dzxyz功的大小

2、與路徑相關(guān)。abFdr (L)eten.FdW F dr自然坐標系中dW (Fnen Ftet ) (dset ) FtdsBW A( L)tFdsAB(L)極坐標系中reeOrxP(r rrrdW (F e F e) (dre rde)BrWA( L )(F dr F rd )四、合力的功質(zhì)點在幾個力的作用下，沿某一路徑從 a 運動到 bF Fii1n.F1 , F 2 , Fn合力為babWa ( L) drFbna( L)21)dr(F F Fbbba( L)a( L)a( L) F1 dr F2 dr Fn dr Wnab W 1ab W 2 ab合力的功等于各個力功的和1. 平均功率

3、P t Wtdt2.瞬時功率 P lim W dWt 0dtdtdWF drP F V FV cos五、功率(Power)單位時間內(nèi)的功，描述做功的快慢.單位： 瓦特（W）例：質(zhì)點沿直線運動，質(zhì)量為m，速度為v(t) 3t 2 2t (ms1)， 求:0T時間內(nèi), 外力對此質(zhì)點做的功。解：dtdtF ma m dv m d (3t 2 2t) m (6t 2)W FdrF dx0T m (6t 2)( 3t 20T 2t )dt 2m (9t 3 9t 2 2t )dt2 m (9T 4 12T 3 4T 2 )Fdx dtdt Fvdt例：一物體的質(zhì)量為 m，被置于水平桌面上，在外力作用下沿

4、 半徑為 R 的圓從 A 運動到 B，移動了半個圓周，設(shè)摩擦系數(shù)為k ,求此過程中桌面對它的摩擦力做的功。ABOf解： f k N kmgdW f dr f drBW f drABAkBAfds mgds k mgR若沿直徑運動：kW 2 mgR摩擦力的功與路徑相關(guān)!k mgsdrmybaW .F dr21211yxyx4dy2 ydx W9 413222dx xx2 = 4yb4dy 10.8(J)若質(zhì)點沿拋物線運動例：拋物線 x2 = 4y 與 直線4y = x+6 相交于a、b兩點，如圖 所示。作用于某質(zhì)點上的力為 F 2yi 4 j(N)。求：質(zhì)點分別沿拋物線和直線由a 運動到 b 過

5、程中該力的功。解：拋物線與直線交點的坐標為:a(2,1),b(3, 9/4).baxyF dx F dy2.254y = x+6 a-23x1ObaW(Fxdx Fydy)22121yyxx4dy2 ydx 9 413 2 21( x 6)dx 4dy21.25 (J)若質(zhì)點沿直線運動功的大小與運動路徑相關(guān)yx2 = 4yb2.254y = x+6 a-23x1OW1 10.8(J)F 2yi 4 j222211ABABkBkAvvmW E Em(A B)dW F drdt m dv dr. mdv v mvdvBAvBvAWAB dW mvdv222A2Bmvmv 1 1kAkB E E2動

6、能定理 Work-energy principle一、質(zhì)點的動能定理合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量AB.F二、質(zhì)點系的動能定理A1B1VA 1(L1)A2B2A 2VVB 2VB 1F 1(L2)2Ff 1f 2m1m2111112112111A11B 1BBA1m V 2 m V 2m:F dr fdr222221212A222B2A2B2A2f drm V 2m V 2m:F drA1B2B2B1A1B2B1A1A2( F1 dr1 F2 dr2 ) ( f1 dr1 f2 dr2 )212222B21B 112121222A21A1Vm V)(m Vm V) (mW外A2W內(nèi)=

7、E-EkBkA質(zhì)點系的動能定理W 外 W內(nèi)E kBEkA，例：爆竹爆炸過程，內(nèi)力和為零 但內(nèi)力所做的功轉(zhuǎn)化為了動能。例：同號電荷接近時,動能減少。內(nèi)力可以改變質(zhì)點系的總動能，盡管內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的總動量。適用于慣性系。注意三 、 克尼希定理2k21iiEm v2CCi) (v. v.)ii 1 m (v. v.C22112v2iCiiii) v(m)(m vm v.零22kC1221iim vEmvyxymiOCOxvi vC vi質(zhì)點系相對于慣性系的動能(m mi )22Ck1212iiEm vmv內(nèi)動能：質(zhì)點系相對于質(zhì)心系的動能2k12iiEm v克尼希定理：質(zhì)點系相對于某一慣性系的動能

8、等于該質(zhì) 點系的軌道動能與內(nèi)動能之和.2CkC21mv軌道動能：Eim )(m 充有氣體的箱子四、 質(zhì)心系中兩質(zhì)點系統(tǒng)的動能12m m m1v1 m2v2.2CkC12E 1 (m m)v2慣性系 S中: m1的速度為 v1 ,m2的速度為 v2vCEkC質(zhì)心系S 中：Ek Ek2212211222211k)121212m m(m1 m2 )(Em v m vm vm v212( . 1 v v )212m mm1m212.u v v令2對1的 相對速度m1m2 m1 m2 定義： 約化質(zhì)量(reduced mass)2222211k)121212Em1 m2(m1 m2 )(m1v1 m2v

9、2m vm v質(zhì)心系S 中慣性系S 中E 1 u 2 k2E 1 mv2 1 u2 k2c2vv=02k2Emvm1m2m1 m2 2 mu = v212241 um對于兩個粒子m1=m2 =m的碰撞k12Ev 其中一個粒子靜止1兩個粒子對撞u = 2v21 u2kE mv2k mv2 Evv對撞機核子重如牛對撞生新態(tài)2k12iiEm vvv=021 u2k2 1 E21 u2k Evv3一對力的功1. fdr22dW fdr11AA2B1B2Or2.r21.f2r1dr1一對力的功，等于其中一個物 . 體所受的力沿兩物體相對移動 f1 的路徑所做的功。.r1 )dr21. fd(r f222

10、.dW fdr21一對力2f1 f2r2d.例:內(nèi)力與相對位移總垂直， 故內(nèi)力所做的功總和為零。討論：1. 若力與相對位移垂直， 則這一對力的功為零。.dW一對力 f2 dr21RMm2. 一對力的功與參考系的選擇 無關(guān)。A1A2B1B2r1r2.21r.f2dr1.f1O.dr2.4 保守力 Conservative force例：計算一對萬有引力的功。m2AB解：m mrr 212f GBBAArm mWAB f dr G2 r dr12d rr dr dr cos drBAm m GWABrrBrAGmmGmm12 dr 12 12 2d rrrArBm1結(jié)論：一對萬有引力的功與路徑無關(guān)

11、，只決定于質(zhì)點的始末位置。m1m2 0W fdr(L)沿閉合路徑萬有引力的功為零 萬有引力是保守力保守力：定義1：若一對力的功與路徑的形狀無關(guān)，只決定于相互作用質(zhì)點的始末位置，這樣的力叫保守力定義2：若 f d r 0，則這個力為保守力( L )保守力包括：萬有引力、重力、彈簧的彈力、靜電力非保守力：也稱為耗散力(dissipative force)，如摩擦力5勢能Potential Energy萬有引力的功W Gm 1 m 2 Gm 1 m 2rBrA定義：保守力的功等于系統(tǒng)勢能的減少 勢能是研究一對保守力的功時引入的，它屬于以保守 力作用的整個系統(tǒng)，實質(zhì)上是相互作用能。PdE f drEP

12、 = EPB-EPA= - WAB對于無限小過程.勢能是個相對值。要確定質(zhì)點系在任一給定位形的勢能， 需選擇勢能零點。例如：選 EPB= 0, 則 EPA = WAB系統(tǒng)在任一位形的勢能等于它從此位形改變到 EP=0 位形過 程中保守力的功。勢能差是確定的。 只有保守力才能定義勢能 保守力做正功，勢能減少;反之勢能增加。WAB = EPA-EPB =-EP1. 萬有引力勢能AABrBrW Gm1m2 Gm1m2= EPAEPB以相距無限遠為勢能的零點rEp Gm1m2引力勢能曲線rEp0BPB令 r ，E= 0萬有引力勢能函數(shù)為2. 重力勢能：以地面為重力勢能零點重力勢能EpOhEP = mg

13、hEp,hR hREp,0 GMEm GMEmp, 0p, hE E GM E m GM E m GM E mh R hRR( R h)在地球表面附近 h0，f 0 ，原子相吸.斜率0 ，原子相斥.ldldEF p EP21E P 2 kx0 x保守力等于勢能曲線斜率的負值6機械能守恒定律(Conservation of Mechanical Energy)W外 W內(nèi) EKB EKAW外 W內(nèi)非 W內(nèi)保 EKB EKAEPA EPBW內(nèi)保 A BW外 W內(nèi)非 (EKB EKA ) (EPA EPB )質(zhì)點系的動能定理機械能E EK EP功能原理W外 W內(nèi)非 (EKB EKA ) (EPA EP

14、B )W外 W內(nèi)非 ( EKB EPB ) ( EKA EPA )質(zhì)心系中的功能原理W 內(nèi) 非 EW外W外 W內(nèi)非 EB EA E機械能守恒定律若 W外 + W內(nèi)非 為零，即只有保守內(nèi)力做功， 質(zhì)點系機械能守恒。W外 W內(nèi)非 EB EA質(zhì)心系中機械能守恒定律若 W 外=0，且 W 內(nèi)非=0 ，則質(zhì)心系中系統(tǒng)的機 械能守恒，E 為常量。不管質(zhì)心系是否為慣性系，功能原理和機械能 守恒定律都與慣性系中形式相同。W 內(nèi) 非 EW外例：從地面發(fā)射物體，計算使之脫離地球引力范圍所 需的最小發(fā)射速度（逃逸速度、第二宇宙速度）。解：RGMmR22E 1 mv忽略其它星球的引力脫離地球引力范圍，引力勢能為零212m vR GMm2R12mvR2GMRv2 Rg 11.2km/s關(guān)于守恒定律自然界中許多物理量,動量、角動量、能量、機械能、電 荷、質(zhì)量等等，都具有相應(yīng)的守恒定律。物