銷售額的回歸模型

1、銷售額回歸模型20098511袁少偉摘要公司銷售額是對(duì)公司綜合收益的一個(gè)重要表現(xiàn)，某公司希望通過(guò)公司與全行 業(yè)銷售額進(jìn)行對(duì)比來(lái)對(duì)公司未來(lái)銷售額進(jìn)行預(yù)測(cè)。我們利用統(tǒng)計(jì)回歸的方法，建 立了回歸模型，并利用MATLAB軟件進(jìn)行模型的求解與分析，再通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行 變換，建立了優(yōu)化后的回歸模型。針對(duì)問(wèn)題一：利用已知數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖并建立起來(lái)線性回歸模型 ,二1.4548 + 0.1763二，其擬合度是非常的好，看起來(lái)是合適的。針對(duì)問(wèn)題二：利用殘差e作為隨機(jī)誤差8的估計(jì)值，從ee 的散點(diǎn)圖， tt1能夠從直觀上定性的判斷隨機(jī)誤差七存在自相關(guān)性；也可以用D-W檢驗(yàn)法去定量判斷，對(duì)于本文中，由DW1 v dL，

2、隨機(jī)誤差七存在自相關(guān)性。因此，模型J ,=1.4548 + 0.1763 二是不可取的。針對(duì)問(wèn)題三：為了消除隨機(jī)誤差七存在的自相關(guān)性，我們對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化變 換后得到新的模型： 二0.537126 + 0.630791y 1 + 0.1763尤-0.111208尤 1，再對(duì)此模型用D - W檢驗(yàn)法進(jìn)行判定，由于du v DW2 v 4 - du，隨機(jī)誤差七無(wú)自相關(guān)性，因 此，這個(gè)模型就可以作為預(yù)測(cè)公司的銷售額的問(wèn)題的回歸模型。關(guān)鍵詞:回歸模型時(shí)間序列擬合自相關(guān)性一、問(wèn)題重述某公司想用全行業(yè)的銷售額作為自變量來(lái)預(yù)測(cè)公司的銷售額，附錄I給出了 1977-1981 年公司銷售額和行業(yè)銷售額的分季度數(shù)據(jù)

3、（單位：百萬(wàn)元）。（1）畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，觀察用線性回歸模型擬合是否合適。（2）建立公司銷售額對(duì)全行業(yè)銷售額的回歸模型，并用DW檢驗(yàn)診斷隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性。（3） 建立消除了隨機(jī)誤差項(xiàng)自相關(guān)性后的回歸模型。年季t公司銷 售額y行業(yè)銷 售額x年季t公司銷 售額y行業(yè)銷售額x19771120.96127.3197931124.54148.32221.40130.041224.30146.43321.96132.7198011325.00150.24421.52129.421425.64153.119781522.39135.031526.36157.32622.76137.141626.9816

4、0.73723.48141.2198111727.52164.24823.66142.821827.78165.619791924.10145.531928.24168.721024.01145.342028.78171.7表1某公司的銷售額與全行業(yè)的銷售額二、模型假設(shè)y :公司的第t次季度銷售額x t：全行業(yè)的第t次季度銷售額a，b :模型I中的常量與系數(shù)七：由模型求得的公司的第t次季度銷售額匕：公司的第t次季度銷售額的殘差三、模型的建立與分析1.繪制散點(diǎn)圖利用已知表格（表1）繪制出散點(diǎn)圖，繪制方法及程序見(jiàn)附錄I嚀業(yè)銷售氫與公摩銷 妄額救據(jù)的教點(diǎn)圖行業(yè)銷售額與公司銷售額數(shù)據(jù)的散 點(diǎn)圖圖1行業(yè)

5、銷售額與公司銷售額數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖根據(jù)圖1,可以看出行業(yè)銷售額增大，公司銷售額也增大，且具有一定的線性關(guān)系，初步 判斷應(yīng)以一次線性曲線為擬合目標(biāo)，即選擇線性回歸模型，則目標(biāo)函數(shù)為：y = a + bx2.模型分析利用Matlab程序求解a，b。程序設(shè)計(jì)見(jiàn)附錄II。得到回歸系數(shù)估計(jì)值a = - 1 .4548 , b = 0.1763;則擬合的線性回歸模型I為：y =-1.4548 + 0.1763 xtt參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間P 0-1.4548-1.9047 , -1.0048 P10.1763-1.9047 ,0.1793R2 =0.99879 F=1488.8 p=0.007擬合系數(shù)a和b的

6、95%的置信區(qū)間分別為：-1.9047-1.0048和1.90470.1793r中的數(shù)據(jù)表示模型擬合殘差向量et ； rint中的數(shù)據(jù)表示模型擬合殘差95%的置信區(qū)間；在states的數(shù)據(jù)中表示包含R2=1.0e + 004*0.0001牝1方差分析的F統(tǒng)計(jì)量F = 1488. 8方差分析的顯著性概率p = 0. 007模型方差的估計(jì) 值，2 = 0.0000四、自相關(guān)性診斷與處理從表面上看得到的基本模型I的擬合度非常之高 （R2 = 1.0e + 004*0.0001 1），應(yīng)該很滿意了。但是，這個(gè)模型并沒(méi)有考慮到 我們的數(shù)據(jù)是一個(gè)時(shí)間序列（即將表1的年份序號(hào)打亂，不影響模型I的結(jié)果）。 實(shí)

7、際上，在對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)做回歸分析時(shí)，模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)七有可能存在相關(guān) 性，違背模型關(guān)于七（對(duì)時(shí)間，）相互獨(dú)立的假設(shè)。殘差e =y -y可以作為隨機(jī)誤差s的估計(jì)值，畫出ee 的散點(diǎn)圖（圖 t t tttt-11），能夠從直觀上判斷七的自相關(guān)性。模型I的殘差七可以在計(jì)算中得到，如表2, 數(shù)據(jù)et氣的散點(diǎn)圖如圖2,可以看到，大部分點(diǎn)子落在第1,3象限，表明%存 在正的自相關(guān)。為了對(duì)e的自相關(guān)性作定量診斷，并在確診后得到新的結(jié)果，我們考慮如下 t模型：y = a + bx +s, s = ps + u其中，p是自相關(guān)系數(shù)，I p l 七1 = 0.738418120 e 2t=2圖3與DW值對(duì)應(yīng)的自相

8、關(guān)狀態(tài)對(duì)于顯著性水平a =0.05,n = 20,k = 2，查D-W分布表，得到檢驗(yàn)的臨界值人=1.20和氣=1.40?，F(xiàn)在DW1 ，由圖2可以認(rèn)為隨機(jī)誤差存在自相關(guān)。且正自相關(guān)系數(shù)P的估計(jì)值h =1- D2* = 1 - O3；418 =0.630791對(duì)模型中的變量作變換：y * = y - py = y - 0.630791 J ；t tt1tt 1x* = x px = x 一 0.630791x .t tt 1tt 1則模型I化為：y * = a * + bx * + u , a * = a (1 p )；代入數(shù)據(jù)得到：y* =0.537126 + 0.1763 x* + u將式中

9、y *，x*還原為原始變量yt，xt得到結(jié)果即是模型II：y =0.537126 + 0.630791 y + 0.1763 x 0.111208 x .tt 1tt1 ；結(jié)果分析：根據(jù)模型II得到的殘差計(jì)算DW統(tǒng)計(jì)量如下：DW = % = 1.74967220 e 2tt=3現(xiàn)在du DW2 4 du，由圖2可以認(rèn)為隨機(jī)誤差無(wú)自相關(guān)，從機(jī)理上看，對(duì)于帶滯后性的經(jīng)濟(jì)規(guī)律作用下的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，加入自相關(guān)模型II更為合理，而且在本題當(dāng)中，衡量與實(shí)際數(shù)據(jù)擬合程度的指標(biāo)一一 剩余標(biāo)準(zhǔn)差從模型I的0.36514減小到0.28329。我們將模型II、模型I的計(jì) 算值*與實(shí)際數(shù)據(jù)y,的比較，以及兩個(gè)模型的殘

10、差匕表示在表3中，可以看出 模型II更合適一些。tul. m -丸(模型1)握模型2)戲型ue模型2)120. 9620.061-0.0261221. 4021.462021.44647-0.0620-0. 04647321. 9621.938021.899770. 02200.06023421. 5221.356221.370960. 16330. 14904522. 3922.343422. 449440. 0466-0. 05944622. 7622.713622. 742S20. 04640. 01718723. 4823.436423. 466620. 04360. 01338323

11、. 6623.718423. 74692-0.0584-0. 03692924. 1024.194424. 15S54-0.0944-0. 058541024. 0124.159124. 10056-0.1491-0. 090561124. 5424. 6E8024. 59493-0. 1480-0. 054931224. 3024.353124. 26066-0.05310.039341325. 002S. 022924. 99050-0.02290.009501425. 6425.534125. 52。740. 10590. 119261526. 3626.2745342如0. 08550

12、. 017601626. 9826.873926. 928920. 10610. 051081727. 5227.490927. 558950. 0291-0. 038951827. 7827.737727. 757170. 04230.022831928. 242S.2S4228. 31201-0.0442-0. 072012028. 782S.S13028. 78633-0.0330-0. 00633表3模型I、模型II的計(jì)算值y，與殘差e五、模型評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)通過(guò)對(duì)本文的分析，對(duì)于數(shù)據(jù)為時(shí)間序列的回歸模型的建立后，必須檢驗(yàn)隨機(jī)誤差，是 否存在自相關(guān)性。如果無(wú)自相關(guān)性，則可以用此模型進(jìn)行預(yù)測(cè)：

13、如果存在自相關(guān)性，則必須 對(duì)模型進(jìn)行變換，得到新的模型后重復(fù)上述步驟，直到無(wú)自相關(guān)性后，模型才可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。用模型II對(duì)未來(lái)的公司的銷售額進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需先估計(jì)未來(lái)的全行業(yè)一季度的銷售額Xt比如，設(shè)t = 21時(shí)，七=174.2，容易由模型II得到y(tǒng)廣29.23六、參考文獻(xiàn)何曉群，劉文卿.應(yīng)用回歸分析，北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2001姜啟源等編著，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8劉勇，白林著 基于MATLAB的回歸分析模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)分析中的應(yīng)用成都理工大學(xué)七、附錄I.由原始數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖在EXCEL中建立輸入數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，選擇合適的坐標(biāo)軸。H.模型分析在MA

14、TLAB中輸入：%構(gòu)造資本論觀測(cè)值矩陣mx=ones(20,1) ,x;alpha=0.05;%線性回歸計(jì)算b,bint,r,rint,states=regress(y,mx,alpha)輸出結(jié)果：b = -1.4548 0.1763 bint = -1.9047-1.0048 ； 0.17320.1793r = -0.0261-0.06200.02200.16380.04660.04640.0436-0.0584-0.0944-0.1491-0.1480-0.0531-0.02290.10590.08550.10610.02910.0423-0.0442-0.0330rint =-0.195

15、40.1433 ; -0.23190.1078 ;-0.15290.1969 ;0.01320.3143 ; -0.12880.2220; -0.13040.2231;-0.13520.2225;-0.23670.1198 ;-0.26910.0803 ;-0.31360.0153;-0.31290.0169 ;-0.23230.1262 ;-0.20370.1578;-0.06640.2781 ;-0.08790.2589 ;-0.06210.27430.1233;-0.14400.2023 ;-0.19720.1311-0.12870.2134 ;-0.2116rint =-0.19540.1433 ; -0.23190.1078 ;-0.15290.1969 ;0.01320.3143 ; -0.12880.2220; -0.13040.2231;-0.13520.2225;-0.23670.1198 ;-0.2691