量子物理題解3

1、量子物理第3章原子中的電子（崔硯生 助教李丹）3.5 1884年瑞士的一所女子中學(xué)的教師巴爾末仔細研究氫原子光譜的各可 見光譜線的“波數(shù)” V （即1/九）時，發(fā)現(xiàn)它們可以用下式表示，n = 3,4,5，其中R為一常量，叫里德伯常量。試由氫原子的能級公式來求里德伯常量的表示 式并求其值（現(xiàn)代光譜學(xué)給出的數(shù)值是R = 1.097 373 153 4x 107m-1）。解：氫原子的能級公式為 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark7 o Current Document Eme41n2（ 0）2 力 2 n 2氫原子的可見光譜是從n 3的態(tài)躍遷到n = 2的態(tài)時發(fā)的光

2、形成的，根據(jù)頻率條件可得各譜線的波數(shù)應(yīng)為1 v AEm e4V = _ = = e人 c ch 4n （ 4 8i 2 力 3 0上式與題給的巴耳末公式對比，可得里德伯常量的表示式為m e4 R =e4兀(4兀 )2力3c9.109 x 10-31 x(L,602 x 10-19)代入數(shù)據(jù)得R = f徉4兀 xV4n x 8.854 x 10-12 / V1.054 x 10-34 / x 2.998 x 108=1.099 x 107 m-1=1.10 x 107m-1（式中a0是玻爾半徑）此外，也可利用氫原子能級公式的另一表達式E n2（4兀 ）a n200求得各譜線的波數(shù)為4 n2對比題

3、給的巴爾末公式得R =2(4 ns 0 )a0 hc(1. 6 儀2 -190 2 )2(n x 8. 8 5x4 -1i0 x ) 0.方 2 9戮 1 0 x 2.x9 9 8 x1 0 6.46 2 6 1 0=1.097x 107m-1牝 1.10 x 107m-1說明：如果要保證結(jié)果的3位有效數(shù)字是正確的，那么運算中所取的數(shù)據(jù)至 少應(yīng)有4位有效數(shù)字。本題代入的數(shù)據(jù)均取了 4位有效數(shù)字，結(jié)果在3位有效數(shù) 字上與R的精確值取3位有效數(shù)字是一致的。書上的答案雖給出了 3位有效數(shù)字 但與精確值取3位有效數(shù)字有差異（只在2位有效數(shù)字上是一致的），這是由于 在運算中所取數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)不夠（都

4、只有3位）所造成的。3.8天文學(xué)家觀察遠處星系的光譜時，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)星系的原子光譜譜線有 紅移現(xiàn)象。在室女座外面一星系射來的光的光譜中發(fā)現(xiàn)有波長為411.7nm和 435.7nm的兩條譜線。（1）假設(shè)這兩條譜線的波長可以由氫原子的兩條譜線的波長乘以同一因子 得出，它們相當(dāng)于氫原子譜線的哪兩條譜線？相乘因子多大?（2）按多普勒效應(yīng)計算，該星系離開地球的退行速度多大?解：（1）由于所測波長在紫光附近，故可設(shè)想該兩條譜線屬于氫原子的巴耳 末系。已知X = 411.7nm,九=435.7nm，設(shè)想紅移量不大，以人計算較高能級的量子數(shù)n，則有 _ c _ c h_, c h 、一 v - AE 一 E

5、(1 /n 2 - 1 /)41-1 / 2由此得1 ch+4人E11 _ +4 4 1 1. X7 -9 02. 9 歐8,8x06x 6 264 11 3. 5 9 x1. 6-1 / 2=5.93習(xí) 6與人相應(yīng)的地面上測得的氫譜線的波長應(yīng)為ch0 = E1J 62-1/4 )2.998 x 108 x 6.626 x 10-3413.59 x 1.602 x 10-19 x(1/ 4 -1/36)=4. 1 06 -7 0 =m4 1 0. 6nm相乘因子為m = X / 人=411.7/410.6 = 1.00270星光中A，所以v n 22n21因此必有4 3 5.n22（*）由此解

6、得 n2 0 /）&. 0 1 0=6.6 x 10-34J. s1915年，Duane和Hunt曾用這種方法測出h值并和由光電效應(yīng)測出的h值相比較，結(jié)果二者相一致，這說明了h的普適性。3.25某元素的X射線的Ka線的波長為3.16nm。(!)該元素原子的L殼層和K殼層的能量差是多少？(2)該元素是什么元素？解：(1)K以譜線是L層電子向K層躍遷所發(fā)出的譜線，故該元素原子的L 殼層和K殼層的能量差是E - h = hc / 人=6.63 x 10-34 x 3.00 x 108 /(3.16 x 10-9)=6.29 x 10-17J = 393eV(2)由計算元素的Ka線的莫塞萊公式寸丁 =

7、 4.96 x 107(Z -1)可得該元素的 原子序數(shù)為7 切3.00 x 108/(3.16 x10-9)Z =+1 =+ 1 = 7.214.96 x 1074.96 x107Z取整數(shù)7,可知該元素為氮(N)。3.27 CO2激光器發(fā)出的激光波長為10.6 nm。和此波長相應(yīng)的CO2的能級差是多少？溫度為300K時，處于熱平衡的CO2氣體中在相應(yīng)的高能級上的分子 數(shù)是低能級上的分子數(shù)的百分之幾？如果此激光器工作時其中的CO2分子在高能級上的分子數(shù)比低能級上 的分子數(shù)多1%，則和此粒子數(shù)布居反轉(zhuǎn)對應(yīng)的熱力學(xué)溫度是多少？解：(1)與題目給出的波長對應(yīng)的能級差是AE = hv = ch/X =

8、 3.00 x 108 x 6.63x 10-34/(10.6x 10-6)=1.88 x 10-20J=0.117eV根據(jù)玻耳茲曼分布率，可得T=300K時處于熱平衡的CO2氣體中在相 應(yīng)的高能級上的分子數(shù)與低能級上的分子數(shù)的比率為% /IN、= exp (-AE /(kT) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark141 o Current Document =exp)- 1.8 8 -210 0 /乂1.-32& 103 00)=1.07%若此激光器工作時CO2分子在高能級上的分子數(shù)比低能級上的多1%，nrlN 1. 0 1 HYPERLINK l bookmark148 o Current Document