2022年三角函數(shù)解題技巧和公式已整理

1、三角函數(shù)解題技巧和公式已整理 淺論關(guān)于三角函數(shù)的幾種解題技巧 本人在十多年的職中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中 , 面對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容的相關(guān)教學(xué)時(shí) , 積存了一些解題 方面的處理技巧以及心得,體會(huì)；下面嘗試進(jìn)行探討一下 : 故 知 道 一,關(guān)于 sin cos 與 sin cos 或 sin 2 的關(guān)系的推廣應(yīng)用 : 1, 由 于 sin cos 2 sin 2cos22sin cos 1 2 sin cos sin cos , 必可推出 sin cos 或 sin 2 , 例如: -cos , 求 例 1已知 sin cos 3 3 ,求 sin 3 cos ； 3分析 : 由于 sin 3cos3sin c

2、os sin 2sin cos cos2sin cos sin cos 2 3 sin cos 其中 , sin cos 已知 , 只要求出 sin cos 即可 , 此題就是典型的知 sin sin cos 的題型； 解: sin cos 2 1 2 sin cos 故: 1 2 sin cos 3 2 31sin cos 133sin 3cos3sin cos sin cos 2 3 sin cos 3 3 2 331 3143333392,關(guān)于 tg +ctg 與 sin cos ,sin cos 的關(guān)系應(yīng)用 : 由于 tg +ctg = sin cos cos 2 sin 2 cos

3、sin 1sin sin cos cos 故:tg 例 2 +ctg 如 sin , sin cos ,sin cos 三者中知其一可推出其余式子的值； +cos =m2, 且 tg +ctg =n, 就 m2n的關(guān)系為 ； 2 A.m=n 2 2 = n1C. m22D. n2nm2分析 : 觀看 sin +cos 與 sin cos 的關(guān)系 : sin sin cos = cos 21m2122而: tg ctg sin 1ncos 第 1 頁,共 10 頁三角函數(shù)解題技巧和公式已整理 故: m211m221 , 選 B； cos 或 sin cos 的式子 , 2nn例 3 已知 :tg

4、 +ctg =4, 就 sin2 的值為 ； A. 1B. 1C. 1D. 1121244分析 :tg +ctg = sin 4sin cos cos 4故: sin 2 2 sin cos sin 2 1 ； 2答案選 A； 例 4 已知 :tg +ctg =2, 求 sin 44 cos 分析 : 由上面例子已知 , 只要 sin 44 cos 能化出含 sin 就即可依據(jù)已知 tg +ctg 進(jìn)行運(yùn)算；由于 tg +ctg sin cos 1 , 此題只要將 sin 4cos 4化成含 sin 2= sin 12cos cos 的式子即可 : 4 4 4 4 2 2 2 2解: sin

5、cos =sin cos +2 sin cos -2 sin cos 2 2 2 2=sin +cos - 2 sin cos 2=1-2 sin cos 1 2 =1- 2 2= 1 12= 12通過以上例子 , 可以得出以下結(jié)論 : 由于 sin cos ,sin cos 及 tg +ctg 三者之間 可以互化 , 知其一就必可知其余二； 這種性質(zhì)適合于隱含此三項(xiàng)式子的三角式的運(yùn)算； 但有一 點(diǎn)要留意的 ; 假如通過已知 sin cos , 求含 sin cos 的式子 , 必需爭(zhēng)辯其象限才能得出其 2結(jié)果的正,負(fù)號(hào)；這就是由于 sin cos =1 2sin cos , 要進(jìn)行開方運(yùn)算才

6、能求出 sin cos 二,關(guān)于“托底”方法的應(yīng)用 : 在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)運(yùn)算或證明題中 , 往往需要把式子添加分母 , 這常用在需把含 tg 或 ctg 與含 sin 或 cos 的式子的互化中 , 本文把這種添配分母的方法叫做“托底”法； 方法如下 : 例 5 已知 :tg =3, 求 sin 3 cos 的值； 2sin cos sin 分析 : 由于 tg , 帶有分母 cos , 因此 , 可把原式分子,分母各項(xiàng)除以 cos , “造 cos 出” tg , 即托出底 :cos ; 解: 由于 tg =3 k cos 02第 2 頁,共 10 頁三角函數(shù)解題技巧和公式已整理 sin c

7、os 故, 原式= cos 3cos tg 3 33 02 sin cos 2tg 1 231cos cos 2例 6 已知 :ctg = -3, 求 sin cos -cos =. 分析 : 由于 ctg cos , 故必將式子化成含有 cos 的形式 , 而此題與例 4 有所不同 , 式子 sin sin 本身沒有分母 , 為了使原式先顯現(xiàn)分母 , 利用公式 : sin 2 cos 2 1 及托底法托出其分 , 然 母 后再分子,分母分別除以 sin , 造出 ctg : 2解: sin 2cos 21 sin cos cos 2 sin cos 2 cos 2sin cos 分子 ,分母

8、同除以 sin 2 cos sin 1 cos sin cos sin 2 2ctg 1 ctg ctg 2 23 3 261 3 2 5例 7 95 年全國(guó)成人高考理,工科數(shù)學(xué)試卷 設(shè) 0 x ,0 y , 且 sin xsin y sin x sin y 2 2 3 6求: ctgx 3 ctgy 3 的值 3分析 : 此題就是典型已知含正弦函數(shù)的等式求含正切,余切的式子 , 故要用“托底法” , 由 于 0 x ,0 y , 故 sin x 0, sin y 0 , 在等式兩邊同除以 sin x sin y , 托出分母 sin x sin y 2 2為底, 得: 解: 由已知等式兩邊同

9、除以 sin x sin y 得: sin 3x sin 6y 1sin 3cos cos 3sin x sin 6cos y cos 6sin y 1sin x sin y sin x sin y 13 cosx sin x cosy 3 sin y 14sin x sin y 1 43ctgx 1 ctgy 3 1 3 ctgx 43 ctgy 33 1ctgx 3ctgy 3 4333“托底”適用于通過同角的含正弦及余弦的式子與含正切,余切的式子的互化的運(yùn)算； 第 3 頁,共 10 頁三角函數(shù)解題技巧和公式已整理 由于 tg sin , ctg cos , 即正切,余切與正弦,余弦間就是

10、比值關(guān)系 , 故它們間的互化 cos sin 需“托底” , 通過保持式子數(shù)值不變的情形下添加分母的方法 , 使它們之間可以相互轉(zhuǎn)化 , 達(dá)到 依據(jù)已知求值的目的；而添加分母的方法主要有兩種 : 一種利用 sin 2 cos 21 , 把 2 2sin cos 作為分母 , 并不轉(zhuǎn)變?cè)降闹?, 另一種就是通過等式兩邊同時(shí)除以正弦或余弦 又或者它們的積 , 產(chǎn)生分母； 三,關(guān)于形如 : acosx bsin x 的式子 , 在解決三角函數(shù)的極值問題時(shí)的應(yīng)用 : 可以從公式 sin Acos x cos Asin x sin A x 中得到啟示 : 式子 acosx bsin x 與上述公式 有

11、點(diǎn)相像 , 假如把 a,b 部分變成含 sinA,cosA 的式子 , 就形如 a cosx bsin x 的式子都可以變成 含 sin A x 的式子 , 由于 -1 sin A x 1, 所以, 可考慮用其進(jìn)行求極值問題的處理 , 但要留意一點(diǎn) : 不能直接把 a 當(dāng)成 sinA,b 當(dāng)成 如式子 : 3cosx 4 sin x 中, 不能 sinA=3,cosA=4, 考慮 :-1 sinA 1,-1 cosA 1, 可以如下 cosA, 處理式子 : 設(shè) 2 2 a ba cos x b sin x a b 2 2 cos x 2 2 sin x a b a b由于 a 2 b 2 1

12、 ； a 2 b 2 a 2 b 2 故可設(shè) : sin A 2 a2 , 就 cos A 1 sin A , 即: cos A 2 b2a b a b2 2 2 2 a cosx bsin x a b sin Acosx cosAsin x a b sinA x 無論 A x 取何值 ,-1 sinA x 1, 2 2 2 2 2 2a b a b sin A x a b即: a 2 b 2 acosx bsin x a 2 b 2 下面觀看此式在解決實(shí)際極值問題時(shí)的應(yīng)用 : 例 198 年全國(guó)成人高考數(shù)學(xué)考試卷 2求: 函數(shù) y 3 cos x sin x cos x 的最大值為 A A.

13、 1 3B. 31 C. 1 3D. 312 2分 析 : sin xcos 1 2 sin xcosx 1 sin 2x , 再 想 辦 法 把 cos 2 x 變 成 含 cso2x 的 式 2 2子: cos2x 2 cos x 21 cos x 2 cos2x 12于就是 : y 3 cos2 x 1 1sin 2x 2 2第 4 頁,共 10 頁三角函數(shù)解題技巧和公式已整理 3cos 2 x31 sin 2 x 213223cos 2 x 1sin 2 x 3222由于這里 : a3 , b 21 ,就 2a 2 b2 2 3 2 1 2 2 y 13cos2 x 1sin 2 x

14、3222 y 1 3設(shè): sin A ab 2 23 ,就 cos A 2 112a 2 y sin A cos 2 x cos A sin 2x 32sin A 2 x 3 2無論 A-2x 取何值 , 都有-1 sinA-2x 1, 故 13 22 y 的最大值為 13 , 即答案選 A； 2例 2 96 年全國(guó)成人高考理工科數(shù)學(xué)試卷 在 ABC 中, 已知 :AB=2,BC=1,CA= 3 , 分別在邊 AB,BC, CA 上任取點(diǎn) D,E,F, 使DEF 為正三角形 , 記FEC= , 問:sin 取何值時(shí) , EFD的邊長(zhǎng)最短？并求此最短邊長(zhǎng)； 分析 : 第一 , 由于 BC 2 C

15、A 21 2 3 2 4 AB 2, 可知 ABC為 Rt, 其中 AB 為斜邊 , 所 對(duì)角 C 為直角 , 又由于 sin BC 1 ,故 30 , 就 B= A AB 2 A 90 A=60 , 由于此題要運(yùn)算 DEF 的最短邊長(zhǎng) , 故必要設(shè)正 DEF 的邊長(zhǎng)為 l , 且要列出 有關(guān) l 為未知數(shù)的方程 , 對(duì) l 進(jìn)行求解；觀看 BDE,已知 : B=60,DE=l , 再想方法找出另兩個(gè) 量 , 即可依據(jù)正弦定理列出等式 BE=BC-EC=1l-cos； 而 B+BDE+1=180, 從而產(chǎn)生關(guān)于 l 的方程；在圖中 , 由于 EC=l cos , 就 +DEF+1=180 B=

16、60 , DEF=60 BDE= lsin 60 在 BDE 中 , 依據(jù)正弦定: cos BF 理 DE 1 l sin BDE sin B sin 第 5 頁,共 10 頁三角函數(shù)解題技巧和公式已整理 31 l cos l sin 33l cos l sin 2223l2 3 cos 2sin 3 cos 27sin 有 最 大 值 , 觀 在 這 里 , 要 使 l有 最 小 值 , 必 須 分 母 : 察: 3 cos 2sin , a 3 , b 21a 2 b 2 2 3 21 2 2 3cos sin 721 cos 727 sin 722設(shè): sin A 21 , 就 cos

17、A 2777故: 3cos sin 7 sin A cos 2 cos A sin 27sin A 2 3cos sin 的最大值為 7； 223即: l 的最小值為 : 221 772而 sin A 取最大值為 1 時(shí), A 2k 22k 2A sin sin 2k 2A cos A 2721 7； 727 7時(shí), DEF 的邊長(zhǎng)最短 , 最短邊長(zhǎng) 為 即: sin 從以上例子可知 , 形如 acos x bsin x 適合于運(yùn)算三角形函數(shù)的極值問題； 運(yùn)算極值時(shí)與式 子的加,減就是無關(guān) , 與 a2b2的最值有關(guān) ; 其中最大值為 a2b2, 最小值為 2 a 2 b ； 在運(yùn)算三角函數(shù)的

18、極值應(yīng)用題時(shí) , 只要找出形如 acosx bsin x 的關(guān)系式 , 即能依據(jù)題意 , 求出 第 6 頁,共 10 頁三角函數(shù)解題技巧和公式已整理 相關(guān)的極值； 三角函數(shù)學(xué)問點(diǎn)解題方法總結(jié) 一,見“給角求值”問題 , 運(yùn)用“新興”誘導(dǎo)公式 一步到位轉(zhuǎn)換到區(qū)間 - 90o,90o 的公式, 1,sink += -1 sin k Z;2 , cosk += -1 cosk Z; k k 3, tank += -1 tan k Z; 4, cotk += -1 cot k Z, 二,見“ sin cos”問題 , 運(yùn)用三角“八卦圖” 1,sin +cos0或0或|cos | 的終邊在,的區(qū)域內(nèi) ;

19、 4,|sin |“化弦為一” : 已知 tan , 求 sin 與 cos 的齊次式 , 有些整式情 2 2形仍可以視其分母為 1, 轉(zhuǎn)化為 sin +cos , 六,見“正弦值或角的平方差”形式 , 啟用“平方差”公式 : 2 2 2 21,sin +sin - = sin -sin ;2 , cos +cos - = cos -sin , 七,見“ sin cos 與 sin cos”問題 , 起用平方法就 : 2 sin cos=12sin cos=1sin2 , 故 2 21,如 sin +cos=t, 且 t 2, 就 2sin cos=t - 1=sin2 ; 2 22,如 si

20、n - cos=t, 且 t 2, 就 2sin cos=1-t =sin2 , 八,見“ tan +tan 與 tan tan ”問題 , 啟用變形公式 : tan +tan =tan +1 - tan tan ,摸索 :tan - tan =？ 九,見三角函數(shù)“對(duì)稱”問題 , 啟用圖象特點(diǎn)代數(shù)關(guān)系 :A 0 第 7 頁,共 10 頁三角函數(shù)解題技巧和公式已整理 1,函數(shù) y=Asinwx+ 與函數(shù) y=Acoswx+ 的圖象 , 關(guān)于過最值點(diǎn)且平行于 分別成軸對(duì)稱 ; y 軸的直線 2,函數(shù) y=Asinwx+ 與函數(shù) y=Acoswx+ 的圖象 , 關(guān)于其中間零點(diǎn)分別成中心對(duì)稱 ; 3,

21、同樣 , 利用圖象也可以得到函數(shù) y=Atanwx+ 與函數(shù) y=Acotwx+ 的對(duì)稱性質(zhì)； 十,見“求最值,值域”問題 , 啟用有界性 , 或者幫忙角公式 : 2 2 2 2 2 1,|sinx| 1,|cosx| 1;2 , asinx+bcosx =a +b sin2x+ a +b ; 2 2 23,asinx+bcosx=c 有解的充要條件就是 a +b c, 十一,見“高次” , 用降冪 , 見“復(fù)角” , 用轉(zhuǎn)化, 2 21,cos2x=1-2sin x=2cos x-1 , 2,2x=x+y+x-y;2y=x+y-x-y;x-w=x+y-y+w 等 角函數(shù)公式 兩角與公式 sinA+B=sinAcosB+cosAsinB sinA-B=sinAcosB-sinBcosA cosA+B=cosAcosB-sinAsinB cosA-B=cosAcosB+sinAsinB tanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanB tanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanB cotA+B=cotAcotB-1/c