高中數(shù)學(xué) 一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì) 課件

1、主講人：松崗中學(xué) 陳爽深圳市新課程新教材高中數(shù)學(xué)在線教學(xué)8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì) 為了研究?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們建立了一元線性回歸模型，表達(dá)式 刻畫的是變量Y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，其中參數(shù)a和b未知，需要根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì). 由模型的建立過程可知，參數(shù)a和b刻畫了變量Y與變量x的線性關(guān)系,因此通過成對(duì)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這兩個(gè)參數(shù)，相當(dāng)于尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€，使表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最接近.問題1從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”？思路1：先畫出一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)到直線的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距

2、離的和最小的位置，測(cè)量出此時(shí)的斜率和截距，就得到一條直線160 165 170 175 180 185圖 8.2-2兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160問題1從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”？思路2：可以在散點(diǎn)圖中選兩點(diǎn)畫一條直線，使得直線兩側(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線160 165 170 175 180 185圖 8.2-3兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160問題1從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”？160 165 170 17

3、5 180 185圖 8.2-4兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160思路3：在散點(diǎn)圖中多取幾對(duì)點(diǎn)，確定出幾條直線，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距160 165 170 175 180 185圖 8.2-5兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2), (xn,yn)設(shè) 表示點(diǎn) 到直線 的距離，表示點(diǎn) 到直線的豎直距離， 表示直線 的傾斜角，則 ，所以思路1可以用中的距離可以用豎直距離替換. 160 165 170 175 18

4、0 185圖 8.2-5兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2), (xn,yn)由 ，得 .顯然 越小，表示點(diǎn) 與點(diǎn) 的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線的豎直距離越小.因此可以用這n個(gè)豎直距離之和 來刻畫各樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線 的“整體接近程度”. 問題2如何求a，b的值，使 最?。坑涀⒁獾剿援?dāng) 取最小值時(shí)， 取最小值0，即 .此時(shí)上式是關(guān)于b的二次函數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)b的取值為綜上，當(dāng)a,b的取值為時(shí)， Q達(dá)到最小.我們將 稱為Y 關(guān)于x 的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸

5、函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫最小二乘法，求得的 ， 叫做b，a的最小二乘估計(jì)易得:（1）經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過樣本中心 ; （2） 與相關(guān)系數(shù)r符號(hào)相同.問題3如何理解經(jīng)驗(yàn)回歸直線？160 165 170 175 180 185圖 8.2-6兒子身高/cm父親身高/cm1901851801751701651601)當(dāng)x=176時(shí)， ,如果一位父親身高為176cm,他兒子長(zhǎng)大后身高一定能長(zhǎng)到177cm嗎？為什么？2)根據(jù)模型，父親身高為多少時(shí)，兒子的平均身高與父親的一樣？1)當(dāng)x=185時(shí)， 1)當(dāng)x=170時(shí)， 問題3如何理解經(jīng)驗(yàn)回歸直線？160 165 170 175 180 185圖 8.2-6兒子身高/cm父親身高/cm1901851801751701651603)斜率0.839有什么含義？對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的 稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.問題4如何判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果？圖 8.2-7父親身高/cm160 165 170 175 180 18554321012345殘差/cm問題5觀察以下四幅殘差圖