數(shù)學(xué)分析2部分習(xí)題解析函數(shù)列與項級數(shù)

1、數(shù)學(xué)分析 2 部分習(xí)題函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)部分第 2 節(jié)部分習(xí)題下列各函數(shù)列 fn 在所定義的區(qū)間上：1、 fn 和 fn 的一致收斂性； fn 是否有連續(xù)性定理，可積性定理和可微性定理的條件和結(jié)論。2x nxnn，x 0, b ；（2） f，x 0,1 ；（3） f，x 0,1 。2（1） f (x) (x) x (x) nxenxnnnx n（）f (x) 2x n 2(x n) (2x n) nx 0, b解 （1a）（。，nx n(x n)2(x n)2lim f (x) lim 2x n 1 ， lim f (x) limn對固定的 x 0, b，易得 0 ，即 f nx nnn (x

2、 n)2nnnn和 fn 在0, b上都收斂。注意到在0, b上，2x n 1 x b，且lim b 0 ，n nf (x) 1 nx nx nnn 1 ，且lim 1 0 ，nf (x) 0n(x n)2n2nn n所以，由一致收斂的控則得， fn 和 fn 都在0, b上一致收斂。（b）顯然 f (x) 2x n 在0, b上連續(xù)且連續(xù)可微，由（a）知 f 滿足連續(xù)性定理，可積性定nnx n理和可微性定理的條件，因此也必有相應(yīng)定理的結(jié)論。n ， x 0,1 。n1（2）（a）fn (對固定的 x 0,1 ，易得理解條件僅僅只是結(jié)論成立的充分條件，并不必要。注：本題的主要目的：第一讓大家熟悉

3、函數(shù)列的極限函數(shù)的性定理的條件和結(jié)論；第二正確x 0,11,n n1， lim f (x) lim 1 xlim fn (，n0, x 1nnn即 fn 和 fn 在0,1上都收斂。注意到在0,1上，xnn1bfn (x) x，且lim 0 ，nn n則得， fn 在0,1上一致收斂。所以，由一致收斂的控x 0,1在0,1上不連續(xù)，而1,注意到 f的極限函數(shù) g(x) f (x) 1 x在 0,1 上n10, x 1nn連續(xù)，從而由連續(xù)性定理知， fn 在0,1上不一致收斂。xnn在0,1上連續(xù)且連續(xù)可微，由（a）知 fn 滿足連續(xù)性定理，可積性定理（b）顯然 fn (x) x 的條件，因此也

4、必有相應(yīng)定理的結(jié)論。但可微性定理的條件不滿足，雖然 fn 的極限函數(shù) x 在0,1上連續(xù)可微，但1 x g( x) 1, x 0,1 ，即可微性定理的結(jié)論不成立。0, x 1x 0,1 。222（3）（a） f (x) nxe nx ne 2n nx2 2 nxx e，n對固定的 x 0,1 ，易得x 0,1，0,2lim f (x) lim nxe nx 0 ， lim f (x) lim ne 2n x e22 nx22 nx, x 0nnnnnn即 fn 在0,1上收斂，但 fn 在0,1上不收斂從而也不一致收斂。注意到在0,1上， sup nxe max nxe nx nxe nx 1

5、n222f ( x) 0 nxe 2 0 ，2sup12n【】所以，由一致收斂的確界法則得， fn 在0,1上也不一致收斂。（b）顯然 fn (x) nxe在0,1上連續(xù)且連續(xù)可微，由（a）知 fn 不滿足連續(xù)性定理，可積性nx2 2 n 1 n 1 max nxe nx max 0, e 2, ne n e 2 x0,1 2 2注意由 f (x) nenx2 2n2 x2enx2 0 得， x 1，從而n2n定理以及可微性定理的條件，但 fn 的極限函數(shù)0 在0,1上連續(xù)且連續(xù)可微，112f ( x)dx limnxe nx dxlimnn 0n 0 lim 1ed(nx ) lim1 e

6、0 1 0dx1112 nx n2n 2n 2200 x 0,10 0 0, x 1可見，連續(xù)性定理的結(jié)論成立，但可積性和可微性定理的結(jié)論不成立。2、證明：若 fn 在a, b 上滿足可微性定理的條件【即 fn (x) 是a, b 上連續(xù)可微的函數(shù)列，且 fn (x) 在a, b 上收斂于 f (x) ，導(dǎo)函數(shù)列 fn(x) 在a, b 上一致收斂】，則 fn (x) 在a, b 上一致。注：本題主要目的在于對可微性定理中“函數(shù)列收斂”這一條件的更深刻的認(rèn)識。本題告訴我們：在可微性定理中雖然只要求“連續(xù)可微的函數(shù)列只是收斂的”，但在可微性定理的條件下“這種收斂”實質(zhì)上是“一致收斂的”。x準(zhǔn)則）

7、注意到 f (x) f (a) f (t)dt ，所以對任意自然數(shù) p 及任證明（用一致收斂的nnna意 x a,b ，有x(a) f (a) f (t) f (t) dt ，f(x) f (x) fn pn pn pnnna從而xf(t) f (t) dtf(x) f (x)f(a) f (a) 。n pn pn pnnna對任意 0 ，由 fn (a) 收斂及準(zhǔn)則，存在 N1 0 ，當(dāng)n N1 時，對一切自然數(shù) p ，有fn p (a) fn (a) ，又 fn(x) 在a, b 上一致收斂及p 任意 x a,b ，有準(zhǔn)則得，存在 N2 N2 () 0 ，當(dāng)n N2 時，對一切自然數(shù)xf

8、(x) f (x)f (t) f (t) dt (x a) (b a) ， ，從而n pn pnna取 N maxN1 , N2 ，則當(dāng)n N 時，對一切自然數(shù) p 任意 x a,b ，有 (1 b a) ，fn p (x) fn (x)所以再由準(zhǔn)則得， fn (x) 在a, b 上一致收斂。8、證明：函數(shù)項級數(shù) rn cos nx （ 0 r 1）在0, 2 上一致收斂，且n02 r0cos nx dx 2 。n n0顯然在0, 2 上， rn cos nx rn 且 rn 收斂，所以由 M 判別法得， rn cos nx證明n0n0（ 0 r 1）在0, 2 上一致收斂。2由逐項積分性，并

9、注意到 n 1時， 0cos nxdx 0 ，所以2222 rcos nx dx r rn1000cos nxdx 2 。nnncos n n0n09、下列函數(shù)列在所定義區(qū)間上的一致收斂性及極限函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性：（1） fn (x) xe， x l,l ；nx2nx，（） x 0, ，（） x a, （ a 0 ）。（2） f (x) nnx 1解（1）顯然對任意固定的 x l,l ， lim f (x) lim xe nx2 0 ，所以其極限函數(shù)為 f (x) 0 ，nnnx l,l 。注意到 12 ，1偶2222f ( x) 0 supxl ,l x e max nxx e n

10、x max xe nx xe nxsupxl ,l en12nxl ,l x0,l x2n 11e 0 ，所以 f (x) xe在l, l 上一致收斂于 0。2nx且lim2nn2n顯然其極限函數(shù) f (x) 0 在l, l 上連續(xù)，可微且可積。f (x) lim nx 0, x 0（2）（）顯然對任意固定的 x 0, ， lim，所以其極限x 0, nn nx 11,nf (x) 0, x 0f (x) 在0, 上不連續(xù)，所以(x) nx 在0, 上1,f函數(shù)為。由于x 0, nnx 1不一致收斂。0, x 0 x 0, 在0, 上不連續(xù)，從而也不可微，但它在0, 上f (x) 1,顯然其極

11、限函數(shù)的任一閉子區(qū)間上可積。nx（）顯然對任意固定的 x a, ， limf (x) lim 1 ，所以其極限函數(shù)為 f (x) 1 。nn nx 1nnx1111(x) 在a, 上一致f (x) 1 1 且lim 0 ，所以 f注意到nnx 1nx 1an 1annn an收斂。f (x) 1 在a, 上連續(xù)、可微且但它在a, 上的任一閉子區(qū)間上可積。顯然其極限函數(shù)10、設(shè) f (x) 在(, ) 上有任何階導(dǎo)數(shù)，記 F (x) f (n) (x) ，且在任何有限區(qū)間內(nèi)有n一致Fn (x) (x) ，即 Fn (x) 在(, ) 上內(nèi)閉一致收斂于(x)試證明： (x) cex （ c 為常數(shù)

12、）。(n)證明 注意到 F (x) f(x) f (n 1) (x) F(x) ，由題設(shè)及內(nèi)閉形式的可微性得，n 1n(x) lim Fn(x) lim Fn 1(x) (x) 。nn，所以 (x)e x 0 ，即 (x)e x c （其中c 為常數(shù)），又注意到 (從而 (x) cex 。第 1 節(jié)部分習(xí)題下列函數(shù)列在所示區(qū)間 D 上是否一致收斂或內(nèi)閉一致收斂，并說明理由：1、1n2， D 1,1 ；（1） f (x) x2 n， x D ，且對任意 x D ，有解 一致收斂。因為lim fn (n1n2 1f (x) xn 。n1x2 xn2x， D , ；（2） f (x) n1 n2 x

13、2x解 一致收斂。因為lim fn (x) lim 0 ， x D ，且對任意 x D ，n 1 n22xn11fn (x) 0。1 n2 x22n 1 n2 x22n(n 1)x 1,10 x （3） f (x) n 1 ；n10, x 1n 1x 0，x 0,1 ，而解 不一致收斂，且也不內(nèi)閉一致收斂。因為lim f (x) 1,(x) 在0,1fn0, 0 x 1nn上，但其極限函數(shù)在0,1 上不連續(xù)，所以不一致收斂，且也不內(nèi)閉一致收斂。x 0，注意到0 x 11,或記極限函數(shù)為 f (x) ，則 f (x) 0,0,x 01fn (x) f (x) (n 1)x 1,0 x supn

14、1fn (x) f (x) 1 1 0 ，x0,10,1 x 1n 1所以不一致收斂。x， D 0, ；（4） f (x) nn解 不一致收斂，但內(nèi)閉一致收斂。因為lim f (x) lim x 0 ， x D ，且nn nnxfn ( x) 0 sup 0 。nsupx0,x0, sup x b 0 。但對任意a, b D 0, ，f ( x) 0supxa ,bnxa ,b nn(x) sin x ， D , ；（5） fnn解 不一致收斂，但內(nèi)閉一致收斂。因為lim f (x) lim sin x 0 ， x D ，且nnnn2nxxxnfn ( x) 0supx, 1 1 0 。sup

15、x,sin但對任意a, b D , ，xnfn ( x) 0 supxa,b sup 0 。supxa,bsinnnxa,b 3、判斷下列函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間上的一致收斂性：xnxnrnn1， x r, r ；【結(jié)論：一致收斂。理由：注意到，用 M 判別(n 1)!（1）(n 1)!(n 1)!法即可。】(1)n1 x2（2） n1， x , ；【結(jié)論：一致收斂。理由：注意到(1 x2 )nk 1 2(1)xx2 1 ，(1 x2 )n 1n 1(1 x2 )kk n1用確界法即可；或者直接用一致收斂的雷判別法判斷即可?！?1 nnn xnn1r 1 ；【結(jié)論：當(dāng)r 1 時一致收斂。理由：注意

16、到 n r x（3），用 M 判別法nxn一致即可；結(jié)論：當(dāng) r 1 時不一致收斂。理由：利用必要條件（在1 時 0 ）或者注意到xxnn n 發(fā)散即可?！縩1nn1 x x1xnn1， x 0,1 ；【結(jié)論：一致收斂。理由：用 M 判別法即可。】（4）2n(1)n1（5） n1， x , ；【結(jié)論：一致收斂。理由：同（2）的方法類似，用確界法或一n x2致收斂的雷判別法即可。】x2n1， x , ；【結(jié)論：不一致收斂。理由：注意到其和函數(shù)（6）n1(1 x )20,x 0 0 ，n1(11 x2maxa,bx在, 上不連續(xù)即可?！?、設(shè)函數(shù)項級數(shù)un (x) 在 D 上一致收斂于 S (x)

17、 ，函數(shù) g(x) 在 D 上有界，證明： g(x)un (x)n1n1n在 D 上一致收斂于 g(x)S(x) ?！舅悸罚河?Sn (x) uk (x) ，注意到k 1g(x)Sn (x) g(x)S (x)Sn (x) S (x) M Sn (x) S (x)g(x)，直接用一致收斂的定義立即。】 vn (x) ，證明當(dāng)vn (x) 在 I 上一致收斂時，級數(shù)n15、若在區(qū)間 I 上，對任意正整數(shù) n ， un (x)un (x) 在 I 上也一致收斂。【思路：注意到對任意自然數(shù) p ，n1un1 (x) un2 (x) un p (x) vn1 (x) vn2 (x) vn p (x)

18、，用一致收斂的準(zhǔn)則即可。】7、證明： fn 在區(qū)間 I 上內(nèi)閉一致收斂于f 的充要條件是：對于任意 x0 I ，存在 x0 的一個鄰域U (x0 ) ，使得 fn 在U (x0 ) I 上一致收斂于 f證明 必要性顯然。下證充分性：（利用內(nèi)閉一致收斂的定義以及有限覆蓋定理即可。）事實上，任取閉區(qū)間a, b I，并任取 x a, b ，由題設(shè)存在 x 的一個鄰域U (x, x ) ，使得 fn 在U (x, x ) I 上一致收斂于 f ，于是對任意 0 ，存在 Nx 0 ，當(dāng)n Nx 時，對一切t U (x, x ) I ，有fn (t) f (t) 。顯然U (x, x ) x a, b 為

19、a, b 的開覆蓋。由有限覆蓋定理得，U (x, x ) x a, b 中存在有限個鄰域，不妨記為U (x1, x ),U (x2 , x ),U (xm , x ) ，12m使得它們?nèi)愿采wa, b ，于是，取 N maxNm ，則當(dāng) n N 時，對一切 x a, b ， ，即 fn 在a, b上一致收斂于 。故 fn I 上內(nèi)閉一致收斂于fn (x) f (x)ff 。有8、在0,1上定義函數(shù)列 1 , x 1u (x) nn1n，n0, x 證明級數(shù)un (x) 在0,1上一致收斂，但它不存在優(yōu)級數(shù)。n1【思路：由題設(shè)知，對任意自然數(shù) p ，11x , i 1, 2, p n i,11u(

20、x) u(x) u，(x)n in1n2n pn in0,其它， un (x) 在0,1上一致收斂。n1于是用一致收斂的準(zhǔn)則反證法：假設(shè)un (x) 在0,1上存在優(yōu)級數(shù)，記為 Mn ，則必有在0,1上，n1n1 1 M M 1 uu (x)n ，nnnnn1nn1所以收斂，這顯然?！?、下列函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間 D 上的一致收斂性：1 2n， D 1,1 ；（1）n2 x nx (n 1)22221 2n x2 n2 x2 (n 1)2 2n 1，用M 判別法即可?！俊窘Y(jié)論：一致收斂。理由：注意到n2 (n 1)2（2） 2n sin， D 0, ；x3nn1x3x一致n 2 0 2 sin

21、 0 ，再用函數(shù)3nnn【結(jié)論：不一致收斂。理由：注意到 supx0,2 sinn項級數(shù)一致收斂的必要條件即可?！縳2（3） ， D 0, ；n1 1 (n 1) x 1 nx221n11【結(jié)論：不一致收斂。理由：記 S (x) 1 ，顯然n1 (k 1) x1 kx221 nx2k 1 lim Sn ( x) 1 ， x D 0, ，n1Sn ( x) 1 sup1 1 0 ，用確界法即可?！孔⒁獾?supx0,1 nx2x0, xnn， D 1, 0 ；（4） n1xnn(1)n【結(jié)論：一致收斂。理由：注意到n1 n1(x)n，再用一致收斂的判別法即可。】nx2n1（5） (1)n1， D

22、 1,1 ；2n 1n1x2n1(1)n1【結(jié)論：一致收斂。理由：注意到(1)n1n1n12n1x，再用一致收斂的判2n 12n 1別法即可?！浚?） sin nx ， D 0, 2 。nn1【結(jié)論：不一致收斂。理由：用反證法及一致收斂的準(zhǔn)則。事實上，假設(shè)n1sin nx在0, 2n上一致收斂，則取 1 sin 2，存在 N 0 ，當(dāng) n N 時，對一切 x 0, 2 及一切自然0244數(shù) p ，有sin(n 1)xsin(n 2)xsin(n p)x 0 。n 1n 2n p4n 0, 2 得于是，取 n N ， p n ， x sin (n 1)sin (n 2)sin (n n)4n 4

23、n 4n 。（*）0n 1n 2n n又注意到4i 111， i 1, 2, nn 42n i2n且，sin 1 1 sin 1 2 n sin 1 (n 1)4nsin (n 2)(n n)4nsinsinn 4n 4n 44n n 1n 2n nn 1n 2n nn項sin sin 4 4sin 4 1 sin 2 02n2n2n244這與上面得到的（*）式顯然，所以n1sin nx在0, 2 上不一致收斂?！縩10、證明：級數(shù)(1)n xn (1 x) 在0,1上絕對收斂并一致收斂，但其各項絕對值組成的級數(shù)在n1上卻不一致收斂。證明：先證絕對收斂。事實上，對 (1)nn1n (1 x) ，n1n1 0 收斂，n1當(dāng) x 0,1時，(1) x (1 x)n nx0,1當(dāng)0 x 1 時， (1)nn1) xn 收斂，n1綜上所述， (1)n xn (1 x) 在0,1上絕對收斂。n1再證一致收斂。事實上，由交錯級數(shù)的余項估計得，k n1n 1(1(1)k) ，所以 (1)kn 1(1 x)supx0,1 k n1x0,1 n 1 n111maxn1(1 x)n1 0 n 2 n 2nx0,1xn2由確界法得， (1)n xn (1 x) 在0,1上一致收斂。n1最后證明 xn (1 x) 在0,1上不一致收斂