3.2 等差列及其前n項(xiàng)和

1、 1.等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列 , ,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù) 列，這個(gè)常數(shù)叫做差數(shù)列的 ,通常用字母 表示.2.等式數(shù)列的通列公式 如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng) .3.等差中項(xiàng) 如果 A叫做a與b的等差中項(xiàng).項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)3.2 等差列及其前n要點(diǎn)梳理2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一 dan=a1+(n-1)d14.等差數(shù)列的常用性質(zhì) （1）通項(xiàng)公式的推廣：an=am+ ,（n，mN*）. （2）若an為等差數(shù)列,且k+l=m+n,（k,l,m， nN*）， 則 . （3）若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù) 列，公差為 . （4）若an,bn是等

2、差數(shù)列,則pan+qbn是 . （5）若an是等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,（k,mN*） 組成公差為 的等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，其前n項(xiàng)和 或 .(n-m)dak+al=am+an2d等差數(shù)列md26.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式Sn=f（n） 是n的 ,即Sn= , .7.在等差數(shù)列an中,a10,d0,則Sn存在最 值;若a10, 則Sn存在最 值. 等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì) （1）若an是等差數(shù)列，則 也成 數(shù)列，其首 項(xiàng)與an首項(xiàng)相同，公差是an公差的 .二次函數(shù)或一次函

3、數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng)小 大An2+Bn（A2+B20）等差3(2) Sm，S2m，S3m分別為an的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng),前3m項(xiàng)的和,Sm,S2m-Sm，S3m-S2m成 數(shù)列.（3）關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶-S奇= ,若項(xiàng)數(shù)為2n-1，則S偶=（n-1）an，S奇= an，S奇-S偶= ,(4)兩個(gè)等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和Sn、Tn之間的關(guān)系為：等差ndnan . .41.（2008文東理，2）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若 S4=20，則S6等于 （ ）A.16 B.24 C.36 D.48 解析 S4=2+6d=20，d=3，故S6=3+15d=48.2.設(shè)a

4、n是等差數(shù)列，a10，a2 007+a2 0080,a2 0080, 則使Sn0成立的最大自然n是 （ ） A.4 031 B.4 014 C.4 015 D.4 016 解析 a2 007+a2 0080,a2 007a2 0080,且a10, a2 0070，a2 0080, a1+a4 014=a2 007+a2 0080. a1+a4 015=2a2 0080, S4 0140,S4 0150.基礎(chǔ)自測(cè)DB53. 2008全國(guó)理，5）已知等差數(shù)列an滿足a2+a4=4， a3+a5=10，則它的前10項(xiàng)的和S10等于 （ ）A.138B.135 C.95 D.23解析 a2+a4=4,

5、a3+a5=10, (a5-a4）+（a3-a2)=2d=6,d=3. 又a2+a4=2a1+4d=4,a1=-4. C64.已知兩個(gè)等差數(shù)列a0和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且 則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是 （ ）A.2B.3 C.4 D.5 解析 n=1,2,3,5,11. D75.數(shù)列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差數(shù)列，則2b+y-2a+x的值 為 （ ）A.正實(shí)數(shù)B.負(fù)實(shí)數(shù)C.零D.不確定 解析 由題意b-a=n-m,y-x=m-n, b+y-(a+x)=(b-a)+(y-x) =n-m+m-n=0 b+y=a+x,2b+y=2a+x,2b+y-2a+x=0.C8 已知a

6、n滿足令求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列. 【思維啟迪】欲證bn是等差數(shù)列,只須證明bn+1-bn是常數(shù). 證明數(shù)列bn是等差數(shù)列.探究拓展 等差數(shù)列的定義是證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的基本依據(jù)，要注意學(xué)會(huì)將已知條件轉(zhuǎn)化.題型一 等差數(shù)列的判定9 在等差數(shù)列an中， (1)已知a15=33,a45=153,求a61; (2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8； (3)已知前3項(xiàng)和為12，前3項(xiàng)積為48，且d0,求a1. 【思維啟迪】 在等差數(shù)列中，五個(gè)重要的量，只要已知 三個(gè)量，就可求出其他兩個(gè)量，其中a1和d是兩個(gè)最基本 量，利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，先求出a1和d. 解 （1）方法一 設(shè)首項(xiàng)為a

7、1,公差為d依條件得 解方程組得題型二 等差數(shù)列的基本運(yùn)算10a61=-23+(61-1)4=217.方法二 由 得由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+164=217.（2）a6=10,S5=5,解方程組得a1=-5,d=3,a8=a6+2d=10+23=16,（3）設(shè)靈符列的前三項(xiàng)分別為a-d,a,a+d,依據(jù)意有：11d0,d=2,a-d=2.首項(xiàng)為2.a1=2.探究拓展 方程思想是解決數(shù)列問(wèn)題的基本思想，通過(guò)公差列方程（組）不求解量是數(shù)列中最基本的方法，同時(shí)在解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.12 （12分）在等差數(shù)列an中，已知a1=20,前n項(xiàng)和為 Sn，且S1

8、0=S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它 的最大值. 【思維啟迪】（1）由a1=20及S10=S15可求得d,進(jìn)而求得通 項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正，或利用Sn是關(guān)于n的 二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解.（2）利用等 差數(shù)列的性質(zhì)，判斷出數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始變號(hào). 解 方法一 a1=20，S10=S15， 4分題型三 等差數(shù)列前n和項(xiàng)和的最值13a13=0.即當(dāng)n12時(shí)，an0,n14時(shí)，an0. 10分當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為方法二 同方法一求得8分12分4分8分14nN+,當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12=S13=130. 12

9、分方法三 同方法一得d=-53. 4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. 8分5a13=0,即a13=0. 10分當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12=S13=130. 12分探究拓展求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；（2）利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；（3）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn（A、B為常數(shù)）為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.15方法與技巧1.等差數(shù)列的判斷方法有： (1)定義法：an+1-an=d (d是常數(shù))an是等差數(shù)列. (2)中項(xiàng)公式：2an+1=a

10、n+an+2 (nN*)an是等差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式：an=pn+q(p,q為常數(shù)）an是等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式:Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列.2.方程思想和基本量思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以 考慮化歸為a1和d等基本量，通過(guò)建立方程（組）獲得解.3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式本身可以由累加法得到.164.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 很像梯形面積公 式，其推導(dǎo)方法也與梯形面積公式的推導(dǎo)方法完全一樣.5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 可以變形為 類似于勻加速直線運(yùn)動(dòng)的路程公 式，只要把d理解為加速度.失誤與防范1.如果p+q=r+s,則ap+aq=ar+as,一般地，ap+a

11、qap+q.必須是兩 項(xiàng)相加，當(dāng)然可以是ap-t+ap+t=2ap.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是n的一次函數(shù)，除非公差d=0.173.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若 某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該 數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列.4.公差 同構(gòu)于由兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率的計(jì)算.5.當(dāng)d不為零時(shí)，等差數(shù)列必為單調(diào)數(shù)列.6.從一個(gè)等差數(shù)列中，每隔一定項(xiàng)抽出一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍 是等差數(shù)列.181.設(shè)兩個(gè)數(shù)列an,bn滿足 若bn 為等差數(shù)列， 求證：an也為等差數(shù)列. 證明 由題意有 從而有a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 由-，得19整

12、理得其中d為bn的公差(n2).從而又a1=b1，綜上， （nN*）.所以an是等差數(shù)列.202.（2009成都市第一次調(diào)研）設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為 數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列 的 前項(xiàng)n 和，求Tn. 解 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則 S1=7,S15=75, 數(shù)列 是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為-2，公差為213.等差數(shù)列an中,a10,S9=S12,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最?。?解 由條件S9=S12可得 由a10,即數(shù)列an為遞增數(shù)列. 方法一 由 得 解得10n11. 22當(dāng)n為10或11時(shí)，Sn取最小值，該數(shù)列前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小.方法二 S9=S12，a

13、10+a11+a12=3a11=0，a11=0.又a10，從而前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.方法三 S9=S12，Sn的圖象所在拋物線的對(duì)稱軸為又nN*，a10,an的前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.23方法四 由結(jié)合 得由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 時(shí)，Sn最小.又nN*，故n=10或11時(shí)Sn取得最小值.241.C 2.B3.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之 和為30，則其公差為 （ ）A.5 B.4 C.3 D.2 解析 當(dāng)項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，由 知 30-15=5d，d=3.4.A 5.C 6.DC257. 2008重慶理,14）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a12=- 8,S9=-

14、9,則S16= . 解析 由S9=-9,得 又a12=-8, 所以a5+a12=a1+a16=-9-72268.已知數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別 為a1、b1,且a1+b1=5，a1、b1N*.設(shè)cn=abn (nN*),則 數(shù)列cn的前10項(xiàng)和等于.解析 由已知cn=abn=a1+(bn-1)1=a1+bn-1 =a1+b1+(n-1)1-1=n+3. 數(shù)列cn是首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列. 數(shù)列cn的前10項(xiàng)和為279.已知數(shù)列an中， (n2,nN*）列bn 滿足 (nN*). (1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由. (1)證明 因?yàn)?(n2,nN*） 所以當(dāng)n2時(shí)，28又所以，數(shù)列bn是以 為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.（2）解 由（1）知， 則設(shè)函數(shù) 易知f(x)在區(qū)間 和所以，當(dāng)n=3時(shí)，an取得最小值-1；當(dāng)n=4時(shí)，an取得最大值3.2910.a17=47 (nN*,n17) 11.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知 的等比中項(xiàng) 為 的等差