實驗04向量組的線性相關性及線

1、數(shù) 學 實 驗 空間解析幾何與線性代數(shù)(向量組的線性相關性及線性方程組) 計算科學系1實驗目的1、熟悉用MATLAB軟件求矩陣的秩及矩陣的行簡化階梯形的命令2、學會用MATLAB軟件求線性方程組2 一、向量組的秩及相關性 （1）兩個命令 rank（A） 求矩陣A的秩 rref （A）將A化為行簡化階梯形，其中 單位向量對應的列向量即為極大無關組所含向量，且其它列向量的各分量是用極大無關向量組線性表示的組合系數(shù)。3 例1 設向量組A：（1）求A的秩，判斷向量組A是否線性相關；（2）求A的一個極大無關組；（3）將其余向量用極大無關組線性表示。 4解： A1=2 1 4 3 -1 1 -6 6 -1

2、 -2 2 -9 1 1 -2 7 2 4 4 9; A=A1； r=rank（A） r= 3A2=rref（A）A2= 1 0 -1 0 4 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -3 0 0 0 0 05 答：（1）r=3，向量組A線性相關； （2）它的一個極大線性無關組是： a1，a2，a4； （3）a3= -a1-a2，a5=4a1+3a2 -3a4 。 二、解線性方程組： 1、Ax=b ，當det（A）0時，求解方法（1）逆矩陣求解：X=inv（A）*b或 X =A b ;（2）克萊姆法則求解：6例2. 解線性方程組 解法1： A=1 -1 1 -2 2 0 -1 4 3 2 1 0

3、 -1 2 -1 2 ；7 b=2；4；-1；-4； x=inv（A）*b x= 1 -2 0 1/2 或: x=A b x= 1 -2 0 1/28 解法2： D=det（A）； n=size（A）； D1=ones (n(1)，1)； for i=1：n(1) A1=A； A1（：，i）=b； D1（i）=det（A1）； endx=D1/D x= 1 -2 0 1/29 2、一般的線性方程組Ax=b的解法 操作步驟如下： （1）輸入系數(shù)矩陣A及常數(shù)項矩陣b； （2）生成增廣矩陣B=A b； （3）計算：A的秩r1及B的秩r2； （4）判斷：若r1= r2，則轉（5）；否則程 序結束； （

4、5）將B化為行簡化階梯形； （6）確定方程組的解。10 例3 解線性方程組 x1 +5x2 -x3 -x4 = -1 x1 -2x2 +x3+3x4 = 3 3x1+8x2 -x3 +x4 = 1 x1 -9x2 +3x3+7x4 = 7 解： A=1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7 ；11 b=-1；3；1；7； B =A b； r1=rank（A）； r2=rank（B）； if r1=r2 c=rref（B） end12 c= 1.0000 0 0.4286 1.8571 1.8571 0 1.0000 -0.2857 -0.5714 -0.5714

5、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 013其通解為：K1，K2R，但K1， K2不同時為0.14 例4 應用型實驗：工資問題 現(xiàn)有一個木工、一個電工、一個油漆工、一個裝修工，共同合作完成他們各自的住房裝修。為了用工分配合理，決定每人工作13天，日工資不超過100元，且每人的總收入與總支出相等，試建立數(shù)學模型,以合理確定每人的日工資額。15工作天數(shù)分配方案 工種 天數(shù) 木工 電工 油漆工 裝修工在木工家 2 1 6 3的工作天數(shù) 在電工家 4 5 2 4的工作天數(shù)在油漆工家 4 4 3 2的工作天數(shù)在裝修工家 3 3 2 4的工作天數(shù)16 解：(1)問題分析與模型建立 木工、電工、油漆工、裝修

6、工，裝修他們的房子，每人共工作13天，每人的日工資數(shù)應使得每人的總收入與總支出相等，這是一個投入產出問題。 設木工、電工、油漆工、裝修工的日工資分別為：x1，x2，x3，x4。則收支平衡關系式分別為：172x1+x2+6x3+3x4=13x1 4x1+5x2+2x3+4x4=13x24x1+4x2+3x3+2x4=13x3 3x1+3x2+2x3+4x4=13x4得數(shù)學模型：18(2) Matlab求解A=-11 1 6 3；2 -4 1 2；2 2 -5 1； 3 3 2 -9；B=rref(A) B= 1.0000 0 0 -0.9912 0 1.0000 0 -1.2719 0 0 1.

7、0000 -1.1053 0 0 0 019C=-B(:,4);C(4)=1;k=70;x=zeros(4,1);X=;while max(x)k=k-1d=X(:,k-70)運行結果k = 78d = 77.3158 99.2105 86.2105 78.000020 齊次線性方程組的通解為： 由xi100得K=78，以確定木工、電工、油漆工及裝修工每人每天的日工資： x1=77 x2=99 x3=86 x4=7821上機實驗題 一、已知向量組A： （1）求向量組A的秩，并判斷向量組A的相關性； （2）求A的一個極大無關組； （3）將其余向量組用極大無關組線性表示。22 x3 100 x6 x4 400 300 200 x2 x5 x7 300 x8 x1 600 500 200 400 300 500 x9 x10 600 700 二、應用型實驗：交通流量問題 圖中給出某城市部分街道的交通流量（單位：輛/小時），23 假設 （1）全部流入網(wǎng)絡的流量等于全部流出網(wǎng)絡的流量； （2）全部流入一個節(jié)點的流量等于全部流出此節(jié)點的流量。 試建立數(shù)學模型確定該交通網(wǎng)絡未知部分的具體流量。 1、實驗目的 學會應用線性代數(shù)中