新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊重難點突破專題03《立體幾何中的動點問題和最值問題》（解析版）

1、 31/31專題03 立體幾何中的動點和最值問題題型一 立體幾何中的動點問題1如圖，在棱長為2的正方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 為棱 SKIPIF 1 0 的中點，下列說法正確的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A直線 SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 B過點的 SKIPIF 1 0 的平面 SKIPIF 1 0 ，則平面 SKIPIF 1 0 截正方體所得的截面周長為 SKIPIF 1 0 C若線段 SKIPIF 1 0 上有一動點 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 到直線 SKIPIF 1 0 的距離的最小值為 SKI

2、PIF 1 0 D動點 SKIPIF 1 0 在側(cè)面 SKIPIF 1 0 及其邊界上運動，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 成角正切的取值范圍是 SKIPIF 1 0 【解答】解：對于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 與直線 SKIPIF

3、 1 0 不垂直，故 SKIPIF 1 0 錯誤；對于 SKIPIF 1 0 ，如圖1，取 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 因為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由三垂線定理得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 截正方體所得的截面為 SKIPIF 1 0 ，故周長為 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 錯誤；對

4、于 SKIPIF 1 0 ，如圖過 SKIPIF 1 0 構(gòu)造平面與 SKIPIF 1 0 平行， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 到直線 SKIPIF 1 0 的距離的最小值， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 正確；對于 SKIPIF 1 0 ，如圖3，取 SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 點軌跡為 SKIPIF 1 0 在正方形 SKIPIF 1 0 中，當(dāng) SKIPIF 1 0 與 SKIPIF

5、1 0 重合時， SKIPIF 1 0 最大，當(dāng) SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 最小所以 SKIPIF 1 0 因為 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角， SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 成角正切的取值范圍是 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 正確故選： SKIPIF 1 0 2如圖，在正方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 是棱 SKIPIF 1 0 上的動點，下列說法正確的是 SKIP

6、IF 1 0 SKIPIF 1 0 A對任意動點 SKIPIF 1 0 ，在平面 SKIPIF 1 0 內(nèi)不存在與平面 SKIPIF 1 0 平行的直線B對任意動點 SKIPIF 1 0 ，在平面 SKIPIF 1 0 內(nèi)存在與平面 SKIPIF 1 0 垂直的直線C當(dāng)點 SKIPIF 1 0 從 SKIPIF 1 0 運動到 SKIPIF 1 0 的過程中，二面角 SKIPIF 1 0 的大小不變D當(dāng)點 SKIPIF 1 0 從 SKIPIF 1 0 運動到 SKIPIF 1 0 的過程中，點 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距離逐漸變大【解答】解：對任意動點 SKIP

7、IF 1 0 ，在平面 SKIPIF 1 0 內(nèi)只要與 SKIPIF 1 0 平行的直線，即可與平面 SKIPIF 1 0 平行，所以 SKIPIF 1 0 不正確；對任意動點 SKIPIF 1 0 ，在平面 SKIPIF 1 0 內(nèi)存在與平面 SKIPIF 1 0 垂直的直線，不正確；因為二面角 SKIPIF 1 0 的大小不變是銳角，所以 SKIPIF 1 0 不正確；當(dāng)點 SKIPIF 1 0 從 SKIPIF 1 0 運動到 SKIPIF 1 0 的過程中，二面角 SKIPIF 1 0 的大小不變，由二面角的定義可知，命題是真命題，正確；當(dāng)點 SKIPIF 1 0 從 SKIPIF 1

8、 0 運動到 SKIPIF 1 0 的過程中，點 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距離逐漸變大，不正確；因為 SKIPIF 1 0 是定值，三角形 SKIPIF 1 0 的面積是定值，所以點 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距離不變，所以 SKIPIF 1 0 不正確；故選： SKIPIF 1 0 3如圖，正方體 SKIPIF 1 0 的棱長為1，線段 SKIPIF 1 0 上有兩個動點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則下列結(jié)論中正確的有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A當(dāng) SKIPIF

9、1 0 點運動時， SKIPIF 1 0 總成立B當(dāng) SKIPIF 1 0 向 SKIPIF 1 0 運動時，二面角 SKIPIF 1 0 逐漸變小C二面角 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 D三棱錐 SKIPIF 1 0 的體積為定值【解答】解：對于 SKIPIF 1 0 ，易證 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，同理可證 SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 恒成立， SKIPIF 1 0 正確；對于 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1

10、0 即平面 SKIPIF 1 0 ，而平面 SKIPIF 1 0 即平面 SKIPIF 1 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 0 向 SKIPIF 1 0 運動時，二面角 SKIPIF 1 0 的大小不變， SKIPIF 1 0 錯誤；對于 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)點 SKIPIF 1 0 從 SKIPIF 1 0 的中點向點 SKIPIF 1 0 運動時，平面 SKIPIF 1 0 逐漸向底面 SKIPIF 1 0 靠攏，這個過程中，二面角越來越小，所以二面角 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 正確；對于 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIP

11、IF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距離為 SKIPIF 1 0 ，所以體積為 SKIPIF 1 0 ，即體積為定值， SKIPIF 1 0 正確故選： SKIPIF 1 0 4如圖，在棱長為6的正方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 為棱 SKIPIF 1 0 上一點，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為棱 SKIPIF 1 0 的中點，點 SKIPIF 1 0 是線段 SKIPIF 1 0 上的動點，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A無論點 SKIPIF 1 0 在線段 SKIPIF 1 0 上如何移

12、動，都有異面直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的夾角為 SKIPIF 1 0 B三棱錐 SKIPIF 1 0 的體積為108C直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值 SKIPIF 1 0 D直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成最大角的余弦值為 SKIPIF 1 0 【解答】解：在正方體 SKIPIF 1 0 中，易證 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以異面直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的夾角

13、為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 正確； SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 錯誤；在棱 SKIPIF 1 0 上取點 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （如圖），則易知 SKIPIF 1 0 為直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角或其補角，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，則直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1

14、0 ，則 SKIPIF 1 0 正確；由題意知三棱錐 SKIPIF 1 0 為棱長為 SKIPIF 1 0 的正四面體，作 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為垂足，則 SKIPIF 1 0 為正 SKIPIF 1 0 的中心，且 SKIPIF 1 0 為直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角，所以 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)點 SKIPIF 1 0 移動到 SKIPIF 1 0 的中點時， SKIPIF 1 0 最短，如圖，此時 SKIPIF 1 0 最小， SKIPIF 1 0 最大，此時 SKIPIF 1 0 ，則 SK

15、IPIF 1 0 正確故選： SKIPIF 1 0 5在棱長為1的正方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 是線段 SKIPIF 1 0 上一個動點，則下列結(jié)論正確的有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A存在 SKIPIF 1 0 點使得異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角為 SKIPIF 1 0 B存在 SKIPIF 1 0 點使得異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角為 SKIPIF 1 0 C存在 SKIPIF 1 0 點使得二面角 SKIPIF 1 0 的平面角為 SKIPIF 1 0 D當(dāng) SKIPIF

16、 1 0 時，平面 SKIPIF 1 0 截正方體所得的截面面積為 SKIPIF 1 0 【解答】解：對于 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，交于 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ，取點 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時，連接 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又因為 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 對；對于 SKIPIF 1 0

17、，因為 SKIPIF 1 0 ，所以異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角就是 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 錯；對于 SKIPIF 1 0 ，因為二面角 SKIPIF 1 0 的平面角為 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 錯；對于 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 中點 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ，過 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 ，交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ，交 SKIPIF 1

18、0 于 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 對故選： SKIPIF 1 0 6已知正方體 SKIPIF 1 0 的棱長為4， SKIPIF 1 0 是棱 SKIPIF 1 0 上的一條線段，且 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 是棱 SKIPIF 1 0 的中點，點 SKIPIF 1 0 是棱 SKIPIF 1 0 上的動點，則下面結(jié)論中正確的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF

19、 1 0 與 SKIPIF 1 0 一定不垂直B二面角 SKIPIF 1 0 的正弦值是 SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 的面積是 SKIPIF 1 0 D點 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距離是常量【解答】解：對于 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 與點 SKIPIF 1 0 重合時， SKIPIF 1 0 ，故選項 SKIPIF 1 0 錯誤；對于 SKIPIF 1 0 ，由于點 SKIPIF 1 0 是棱 SKIPIF 1 0 上的動點， SKIPIF 1 0 是棱 SKIPIF 1 0 上的一條線段，所以平面 SKIPIF 1 0

20、 即平面 SKIPIF 1 0 ，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，4， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 即平面 SKIPIF 1 0 ，設(shè)平面 SKIPIF 1 0 的法向量為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，同理可求得平面 SKIPIF 1 0 的法向量為 SKIPIF 1 0 ，設(shè)二面角 SKIPIF

21、1 0 為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，故選項 SKIPIF 1 0 正確；對于 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的高，所以 SKIPIF 1 0 ，故選項 SKIPIF 1 0 正確；對于 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

22、平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又點 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上，所以點 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距離為常量，故選項 SKIPIF 1 0 正確故選： SKIPIF 1 0 7在長方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 為棱 SKIPIF 1 0 上靠近點 SKIPIF 1 0 的三等分點，點 SKIPIF 1 0 是長方形 SKIPIF 1 0 內(nèi)一動點（含邊界），且直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF

23、 1 0 所成角的大小相等，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 B三棱錐 SKIPIF 1 0 的體積為4C存在點 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 D線段 SKIPIF 1 0 的長度的取值范圍為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【解答】解： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 正確； SKIPIF 1 0 ，故 SK

24、IPIF 1 0 錯誤；連接 SKIPIF 1 0 ，作 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成的角， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角 SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角的大小相等， SKIPIF 1 0 ，

25、則 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則點 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的中垂線上，即點 SKIPIF 1 0 在線段 SKIPIF 1 0 上運動，當(dāng)點 SKIPIF 1 0 與點 SKIPIF 1 0 重合時， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 正確； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為棱 SKIPIF 1 0 上靠近 SKIPIF 1 0 的三等分點， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，當(dāng)點 SKI

26、PIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 或點 SKIPIF 1 0 處時，線段 SKIPIF 1 0 的長度取得最大值，最大值為 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)點 SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處時，線段 SKIPIF 1 0 的線段取得最小值，最小值為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 線段 SKIPIF 1 0 的長度的取值范圍為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 正確故選： SKIPIF 1 0 8已知正方體 SKIPIF 1 0 棱長為2，如圖， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 上的動點， SK

27、IPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 下面說法正確的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值范圍為 SKIPIF 1 0 B點 SKIPIF 1 0 與點 SKIPIF 1 0 重合時，平面 SKIPIF 1 0 截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大C點 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點時，若平面 SKIPIF 1 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 0 ，則平面 SKIPIF 1 0 截正方體所得截面圖形是等腰梯形D已知 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 中點，當(dāng) S

28、KIPIF 1 0 的和最小時， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點【解答】解：對于 SKIPIF 1 0 選項，以點 SKIPIF 1 0 為坐標(biāo)原點， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 所在直線分別為 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 軸建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 0 ，則點 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ，設(shè)點 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIP

29、IF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 為平面 SKIPIF 1 0 的一個法向量，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以，直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值范圍為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 選項正確；對于 SKIPIF 1 0 選項，當(dāng) SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 重合時，連接 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，在正方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0

30、， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四邊形 SKIPIF 1 0 是正方形，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，同理可證 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，易知 SKIPIF 1 0 是邊長為 SKIPIF 1 0 的等邊三角形，其面積為 SKIPIF 1 0 ，周長為 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPI

31、F 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 分別為棱 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的中點，易知六邊形 SKIPIF 1 0 是邊長為 SKIPIF 1 0 的正六邊形，且平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，正六邊形 SKIPIF 1 0 的周長為 SKIPIF 1 0 ，面積為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的面積小于正六邊形 SKI

32、PIF 1 0 的面積，它們的周長相等， SKIPIF 1 0 選項錯誤；對于 SKIPIF 1 0 選項，設(shè)平面 SKIPIF 1 0 交棱 SKIPIF 1 0 于點 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ，所以，點 SKIPIF 1 0 為棱 SKI

33、PIF 1 0 的中點，同理可知，點 SKIPIF 1 0 為棱 SKIPIF 1 0 的中點，則 SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，由空間中兩點間的距離公式可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以，四邊形 SKIPIF 1 0 為等腰梯形， SKIPIF 1 0 選項正確；對于 SKIPIF 1 0 選項，將矩形 SKIPIF 1 0 與矩形 SKIPIF 1 0 延展為一個

34、平面，如下圖所示：若 SKIPIF 1 0 最短，則 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 三點共線， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以，點 SKIPIF 1 0 不是棱 SKIPIF 1 0 的中點， SKIPIF 1 0 選項錯誤故選： SKIPIF 1 0 9如圖，在正四棱柱 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是側(cè)面 SKIPIF 1 0 內(nèi)的動點，且 SKIPIF 1 0 ，記 SKIPIF

35、1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成的角為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的最大值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C2D SKIPIF 1 0 【解答】解：以 SKIPIF 1 0 為原點， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 軸， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 軸， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) SKIPIF 1 0 ，3， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1

36、 0 ， SKIPIF 1 0 ，3， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，3， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，3， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成的角為 SKI

37、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 取最大值為 SKIPIF 1 0 此時 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的最大值為： SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 10在正三棱柱 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A當(dāng) SKIPIF 1 0 時， SKIPI

38、F 1 0 的周長為定值B當(dāng) SKIPIF 1 0 時，三棱錐 SKIPIF 1 0 的體積為定值C當(dāng) SKIPIF 1 0 時，有且僅有一個點 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 D當(dāng) SKIPIF 1 0 時，有且僅有一個點 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【解答】解：對于 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故點 SKIPIF 1 0 在線段 SKIPIF 1 0 上，此時 SKIPIF 1 0 的周長為 SKIPIF 1

39、0 ，當(dāng)點 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點時， SKIPIF 1 0 的周長為 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)點 SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處時， SKIPIF 1 0 的周長為 SKIPIF 1 0 ，故周長不為定值，故選項 SKIPIF 1 0 錯誤；對于 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故點 SKIPIF 1 0 在線段 SKIPIF 1 0 上，因為 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以直線 SKIPIF 1 0 上的

40、點到平面 SKIPIF 1 0 的距離相等，又 SKIPIF 1 0 的面積為定值，所以三棱錐 SKIPIF 1 0 的體積為定值，故選項 SKIPIF 1 0 正確；對于 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時，取線段 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點分別為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，則點 SKIPIF 1 0 在線段 SKIPIF 1 0 上，當(dāng)點 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 處時， SKIPI

41、F 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，同理，當(dāng)點 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 處， SKIPIF 1 0 ，故選項 SKIPIF 1 0 錯誤；對于 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時，取 SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所

42、以 SKIPIF 1 0 ，則點 SKIPIF 1 0 在線的 SKIPIF 1 0 上，當(dāng)點 SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處時，取 SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，在正方形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1

43、 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，在正方體形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，因為過定點 SKIPIF 1 0 與定直線 SKIPIF 1 0 垂直的平面有且只有一個，故有且僅有一個點 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故選項 SKIPIF 1 0 正確故選： SKIPIF 1

44、 0 11如圖，已知四邊形 SKIPIF 1 0 為直角梯形， SKIPIF 1 0 為矩形，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）若點 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 中點，求證： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）若點 SKIPIF 1 0 為線段 SKIPIF 1 0 上一動點，求 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角的取值范圍【解答】證明：（1） SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 平

45、面 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 0 如圖，則 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ，

46、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ；解：（2）由（1）知， SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKI

47、PIF 1 0 ，設(shè)平面 SKIPIF 1 0 的法向量為 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，故平面 SKIPIF 1 0 的一個法向量為 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時取最大值 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時取最小值 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角的取值范圍為 SKIP

48、IF 1 0 ， SKIPIF 1 0 12如圖，在棱長為2的正方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別是棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的動點，且 SKIPIF 1 0 （1）求證： SKIPIF 1 0 ；（2）當(dāng) SKIPIF 1 0 取得最大值時，求二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值【解答】解：（1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1

49、0 ， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2）由（1）得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 取得最大值為2，當(dāng) SKIPIF 1 0 時，點 SKIPI

50、F 1 0 與點 SKIPIF 1 0 重合，即 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 與點 SKIPIF 1 0 重合，即 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，設(shè)平面 SKIPIF 1 0 的一個法向量為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF

51、 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ，設(shè)平面 SKIPIF 1 0 的一個法向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ，設(shè)二面角 SKIPIF 1 0 的平面角為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值為 SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時，點 SKIPIF 1 0 與點 SKIPIF 1 0 重合，點 SKIPIF 1

52、0 與點 SKIPIF 1 0 重合，同理可得二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值為 SKIPIF 1 0 綜上，當(dāng) SKIPIF 1 0 取得最大值時，二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值為 SKIPIF 1 0 題型二 立體幾何中的最值問題13在四面體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 是邊長為2的正三角形， SKIPIF 1 0 ，二面角 SKIPIF 1 0 的大小為 SKIPIF 1 0 ，則下列說法正確的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B四面體 SKIPIF 1 0 的體積 SKIPIF 1 0 的最大值為 SKIPIF

53、 1 0 C棱 SKIPIF 1 0 的長的最小值為 SKIPIF 1 0 D四面體 SKIPIF 1 0 的外接球的表面積為 SKIPIF 1 0 【解答】解：對于 SKIPIF 1 0 ，假設(shè) SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 的中點為 SKIPIF 1 0 ，因為三角形 SKIPIF 1 0 為正三角形，則 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0

54、 ，而題中并不能得到 SKIPIF 1 0 ，故假設(shè)不成立，所以 SKIPIF 1 0 不垂直 SKIPIF 1 0 ，故選項 SKIPIF 1 0 錯誤；對于 SKIPIF 1 0 ，要使的 SKIPIF 1 0 最大，只需高最大，故 SKIPIF 1 0 的最大值為 SKIPIF 1 0 ，故選項 SKIPIF 1 0 正確；對于 SKIPIF 1 0 ，由選項 SKIPIF 1 0 中可知，此時 SKIPIF 1 0 也最小，故 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 ，故選項 SKIPIF 1 0 正確；對于 SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 的外心為

55、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點， SKIPIF 1 0 ，設(shè)過 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 垂直的直線為 SKIPIF 1 0 ，過 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 于點 SKIPIF 1 0 ，則外接球球心 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上，只需 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以四面體 SKI

56、PIF 1 0 的外接球的表面積為 SKIPIF 1 0 ，故選項 SKIPIF 1 0 正確故選： SKIPIF 1 0 14已知長方體 SKIPIF 1 0 的高 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 0 最大時，二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【解答】解： SKIPIF 1 0 長方體 SKIPIF 1 0 的高 SKIPIF 1 0 ， SKI

57、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 最大時， SKIPIF 1 0 ，以 SKIPIF 1 0 為原點， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 軸， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 軸， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPI

58、F 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，設(shè)平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ，設(shè)二面角 SKIPIF 1 0 的平面角為 SKIPIF 1 0 ，結(jié)合圖形得 SKIPIF 1 0 為鈍角，則

59、 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值為 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 15如圖，在棱長為4的正方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 是棱 SKIPIF 1 0 上的動點， SKIPIF 1 0 是棱 SKIPIF 1 0 的中點當(dāng)平面 SKIPIF 1 0 與底面 SKIPIF 1 0 所成的銳二面角最小時， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 【解答】解：以 SKIPIF 1 0 為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1

60、0 ， SKIPIF 1 0 ，4， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，3， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，設(shè)平面 SKIPIF 1 0 的法向量為 SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 的一個法向量為 SKIPIF 1 0 ，設(shè)平面 SKIPIF 1 0 與底面 SKIPIF 1 0 所成的銳二面角為 SKIPIF 1