2021-2022學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)下學(xué)期期末考數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)下學(xué)期期末考數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為（）ABCDD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷.【詳解】由復(fù)數(shù)的定義可得，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D22021年7月，中共中央辦公廳國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)關(guān)于進(jìn)一步輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn).各地積極推進(jìn)“雙減”工作，義務(wù)教育階段學(xué)生負(fù)擔(dān)得到有效減輕.下表是某校七年級(jí)10名學(xué)生“雙減”前后課外自主活動(dòng)時(shí)間的隨機(jī)調(diào)查情況（單位：小時(shí)）.學(xué)生編號(hào)12345678910“雙減”前1“雙減”后232設(shè)“雙減”前后這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是，標(biāo)準(zhǔn)差分別是，則下列關(guān)系正確的是（）ABCDA【分析】根據(jù)題意分別求，

2、再根據(jù)極差判斷方差得到標(biāo)準(zhǔn)差的大小.【詳解】，所以；因?yàn)椤半p減”前的極差為：，“雙減”后的極差為：，所以“雙減”前的極差小于“雙減”后的極差，所以“雙減”前的方差小于“雙減”后的方差，故“雙減”前的標(biāo)準(zhǔn)差小于“雙減”后的標(biāo)準(zhǔn)差，即.故選：A.3已知命題p：若，表示兩個(gè)不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的充要條件；命題q：“若a，則，使成立”的否定為“若a，.則，都有成立”.則下列命題中為真命題的是（）ABCDC【分析】先判斷命題的真假，然后由復(fù)合命題的真值表判斷【詳解】如圖平面內(nèi)直線，但相交，命題是假命題，命題的否定只要否定結(jié)論，因此命題“若a，則，使成立”的否定是若a，則，使成立

3、，命題是假命題從而只有是真命題故選：C4民間娛樂(lè)健身工具陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知.底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積是（）ABCDC【分析】根據(jù)已知求出圓錐的母線長(zhǎng)，從而可求出圓錐的側(cè)面積，再求出圓柱的側(cè)面積和底面面積，進(jìn)而可求出陀螺的表面積【詳解】由題意可得圓錐體的母線長(zhǎng)為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為（），故選：C5阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的

4、距離之比為常數(shù)（，且），那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)C到的距離之比為，則點(diǎn)C到直線的距離的最小值為（）ABCDA【分析】設(shè)，依題意，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再求出圓心到直線的距離，即可求出點(diǎn)到直線距離的最小值；【詳解】解：設(shè)，則，即，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，的圓，則圓心到直線的距離，所以點(diǎn)C到直線的距離的最小值為；故選：A6定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列結(jié)論不正確的是（）A是偶函數(shù)B若，則C DD【分析】由函數(shù)圖象的平移變換可知為偶函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于

5、直線對(duì)稱，而的圖象是由的圖象向右平移一個(gè)單位得到的，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，所以A正確，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，所以，所以，得，所以B正確，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，即，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，即，所以，所以，即，所以C正確，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：D7實(shí)數(shù)a，且滿足，則a，b，的大小關(guān)系為（）ABCDC【分析】不等式變形后，引入新函數(shù)，利用二次求導(dǎo)法確定函數(shù)的單調(diào)性得出間的不等關(guān)系，從而得出結(jié)論【詳解】不等式變形為，設(shè)，令()，則,時(shí)，單調(diào)遞增，所以時(shí)，是增函數(shù)，所以，所以故選：C8經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且斜率為的直線l與拋物線

6、C交于不同的兩點(diǎn)AB，拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線分別為，若和相交于點(diǎn)P，則（）ABCD4A【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，從而得到，直線與拋物線聯(lián)立得到，從而得到，再利用兩點(diǎn)距離公式求解即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則切線的方程為：，同理切線的方程為：，聯(lián)立方程，解得交點(diǎn).又焦點(diǎn)為，故直線l方程為.代入，化簡(jiǎn)得，由此可得，所以，由兩點(diǎn)距離公式得.故選：A二、多選題9現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為B若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C如果司機(jī)工作不安

7、排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為D每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開(kāi)車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是ABC【分析】不同方法數(shù)為，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；不同的方法數(shù)為，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；不同方法數(shù)為，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不同安排方案的種數(shù)是，即選項(xiàng)D正確，【詳解】解：每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會(huì)開(kāi)車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都

8、能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是，即選項(xiàng)D正確，綜合得：選項(xiàng)正確，故選：ABC10已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布（100，100），則下列結(jié)論正確的是（）（若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，ABCDABC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的意義及法則可得結(jié)果【詳解】由隨機(jī)變量得：正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對(duì)稱，且，,所以，故ABC正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒子里有1個(gè)紅球，乙盒子里有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球放入甲盒子后，再?gòu)募缀凶永镫S機(jī)取一球，記取到紅球的個(gè)數(shù)為，則隨著的增加，下列說(shuō)法正確的是（）A增加B減小C增加D減小BC【分析】由超幾何分布與二項(xiàng)分布，求解離散隨機(jī)變量的

9、期望與方差，然后判斷選項(xiàng)【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布，則故從甲盒子里隨機(jī)取一球，相當(dāng)于從含有個(gè)紅球的個(gè)球中取一球，取到紅球的個(gè)數(shù)為，易知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，故，所以，隨著的增加，減?。?，隨著的增加，增加故選：BC12下列說(shuō)法正確的是（）A設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則B已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則C甲、乙、丙三人均準(zhǔn)備在3個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一處去游玩，則在至少有1個(gè)景點(diǎn)未被選擇的條件下，恰有2個(gè)景點(diǎn)未被選擇的概率是D，ABC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：直接利用二項(xiàng)分布的概率公式即可求解；對(duì)于選項(xiàng)B：利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性直接求解；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)事件A為至少有1

10、個(gè)景點(diǎn)未被選擇，事件為恰有2個(gè)景點(diǎn)未被選擇，分別求出，利用條件概率即可求解；對(duì)于選項(xiàng)D：利用期望和方差的性質(zhì)直接求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線.因?yàn)?，所以，正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)事件A為至少有1個(gè)景點(diǎn)未被選擇，事件為恰有2個(gè)景點(diǎn)未被選擇，則，正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，不正確故選：ABC三、填空題13已知單位向量的夾角為60，若，則實(shí)數(shù)_.-0.2【分析】先計(jì)算出，再由列式計(jì)算.【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，即?故14函數(shù)其中常數(shù)，且，若，則實(shí)數(shù)_.【分析】先計(jì)算得，表示出，再由兩角和的正弦公式代入求解出，代入

11、即可求解出答案.【詳解】由題意，即，因?yàn)椋?，所以，?故15數(shù)列滿足，且，則_.【分析】先利用判斷出為常數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求解計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，式子兩端除以，整理得：，即為常?shù)列.因?yàn)椋?，所以，所?故答案為.16在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).有下列結(jié)論：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，面積最?。粺o(wú)論在線段的什么位置，均滿足；存在一點(diǎn)，使；三棱錐的體積為定值.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi).【分析】利用異面直線公垂線的定義判斷，證明平面，判斷，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，（，計(jì)算，求出最小值后判斷，根據(jù)線面平行性質(zhì)，棱錐體積公式，判斷【詳解】當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)，則，由正方體性質(zhì)知側(cè)棱與上下底面

12、垂直，即與上下底面上的任何直線垂直，從而與、垂直，所以是異面直線和的公垂線（段），是上的點(diǎn)到直線的距離的最小值，所以面積最小，正確；連接，由側(cè)棱底面，面，得，又，平面，所以平面，而平面，所以，同理，平面，所以平面，所以只要，則平面，因此有，正確； 連接，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，（，由正方體的側(cè)棱與底面上的直線垂直，得，所以時(shí)，取得最小值，而，所以線段上不存在點(diǎn)，使得，錯(cuò)；正方體中，平面，平面，平面，在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到平面的距離不變，而的面積不變，因此三棱錐的體積不變?yōu)槎ㄖ担_故四、解答題17如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，且依次成等差數(shù)列.(1)求邊AC的長(zhǎng)；(2)求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.(1)

13、(2)10【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)余弦定理求得答案;（2）利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得 ，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得，即可求得答案.【詳解】(1)因?yàn)橐来纬傻炔顢?shù)列，所以，又，所以,又，則由余弦定理得:，所以.(2)由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及，知，在中，由余弦定理得，又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立），所以，即，則四邊形ABCD周長(zhǎng)最大值.18在三棱柱中，平面平面，平面平面.（1）證明：平面；（2）在；與平面所成的角為；異面直線與所成角的余弦值為這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，求二面角的余弦值.（1）證明見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)證得和即可得證；(2)選擇條件

14、或，結(jié)合已知求出AA1，選擇條件，探求出AB，AC，AA1的關(guān)系，無(wú)論選擇哪兩個(gè)條件都以為原點(diǎn)，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即得.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，同理：，又因?yàn)?，所以平面；?）選擇：由（1）知，平面，所以三棱柱是直三棱柱.因?yàn)?，所?在直三棱柱中，平面，BA1是BC1在平面內(nèi)射影，所以為與平面所成的角，即，在中，在中，則，以為原點(diǎn)，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，所以，.設(shè)平面的法向量為，由得，令得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由得，令得平面的一個(gè)法向量為.所以，所

15、以二面角的余弦值；選擇：因?yàn)?，所以，由?）知，平面，故，在三棱柱中，則異面直線與所成角為，所以，在中，因?yàn)椋鶆t；以為原點(diǎn)，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，所以，.設(shè)平面的法向量為，由得，令得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由得，令得平面的一個(gè)法向量為.所以，所以二面角的余弦值；選擇；由（1）知，平面，所以三棱柱是直三棱柱，平面，BA1是BC1在平面內(nèi)射影，所以為與平面所成的角，即，又，則異面直線與所成角為，所以，在中，設(shè)，則，所以，在中，因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，所以，.設(shè)平面的法向量為，由得，令得平面的一個(gè)

16、法向量為，設(shè)平面的法向量為，由得，令得平面的一個(gè)法向量為.所以，所以二面角的余弦值.方法點(diǎn)睛：直線垂直平面的證明方法：(1)直線與平面的垂直判定定理；(2)平面與平面垂直的性質(zhì)定理；(3)兩條平行直線中一條直線垂直一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.19若對(duì)任意使得關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的均有，求實(shí)數(shù)的最大值.【分析】設(shè)方程的兩根為，由韋達(dá)定理得，不等式變形為，化為關(guān)于的表達(dá)式，再變形得最值【詳解】設(shè)方程的兩根為，則，上式右邊最小值是，（時(shí)取得），所以故20已知橢圓的左焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線及短軸構(gòu)成等邊三角形，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，關(guān)于原

17、點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，直線，與軸分別交于，兩點(diǎn)，求證.(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得，將點(diǎn)代入橢圓即可；（2）設(shè)，直線，則，聯(lián)立得到韋達(dá)定理，要證直線MR與直線MB的斜率互為相反數(shù)，即證，代入求解計(jì)算即可.【詳解】(1)設(shè)橢圓上下頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為，則是等邊三角形，所以，則橢圓方程為，將代入橢圓方程，可得，解得，所以橢圓方程為.(2)設(shè)，則.將直線代入橢圓方程，得，其判別式，即，.所以要證直線MR與直線MB的斜率互為相反數(shù)，即證，所以.解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算

18、能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題21已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，分類討論，和時(shí)的對(duì)應(yīng)單調(diào)性；（2）將題目不等式轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求解最大值，設(shè)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求解最小值，設(shè)，得單調(diào)性，從而可證明不等式.【詳解】(1)的定義域.當(dāng)時(shí)，所以恒成立，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)，分下面三種情況討論：當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令.得，或.所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，或，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在和為增函數(shù)，在為減函數(shù)；時(shí)，在為

19、增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和為增函數(shù)，在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，在為增函數(shù).(2)當(dāng)時(shí)，要證明，即證，設(shè)，易知在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以；設(shè)，則，又函數(shù)在為增函數(shù)，而，所以存在，使得，且有，所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù).所以.設(shè)，顯然在為減函數(shù)，所以，即，而，所以，即，故當(dāng)時(shí)，恒成立，所以成立.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用22某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率，隨機(jī)抽查了高一年級(jí)100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)根據(jù)整個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算，（1）