2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）ABCDA【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法及除法運(yùn)算求出，得到，即可求解.【詳解】,的虛部為故選：A2已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A0BC1D3B【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合兩向量垂直，數(shù)量積等于零，求得的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，即，所以有，解得，故選：B.方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)向量的問(wèn)題，解題方法如下：（1）根據(jù)向量垂直向量數(shù)量積等于零，建立等式；（2）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)；（3）利用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果.3如圖，在中，若的水平放置直觀圖為，則的面積為（）A

2、BCDB【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則求出的邊及這邊上的高即可計(jì)算作答.【詳解】在中，則，由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知，邊上的高，所以的面積為.故選：B4在中，則此三角形（）A無(wú)解B一解C兩解D解的個(gè)數(shù)不確定C【分析】利用正弦定理求出的值，再根據(jù)所求值及a與b的大小關(guān)系即可判斷作答.【詳解】在中，由正弦定理得，而為銳角，且，則或，所以有兩解故選：C5已知，且，則（）ABCDB【分析】利用同角公式化正弦為余弦，求出的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【詳解】依題意，原等式化為：，整理得：，因，則，解得：，所以.故選：B6若內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且，則（）ABCDA【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，可得，再根

3、據(jù)向量的減法運(yùn)算以及數(shù)量積的公式，即可求解.【詳解】由，得，平方得，因，所以，因此.故選：A.7“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國(guó)館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛(ài)好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為（）ABCDC【分析】求出內(nèi)層圓柱，外層圓柱的高，該模型的體積等于外層圓柱的體積與上下面內(nèi)層圓柱高出的幾何體的體積之和，計(jì)算可得解.【詳解】如圖，該模型內(nèi)層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面

4、上，可知內(nèi)層圓柱的高同理，該模型外層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上，可知外層圓柱的高此模型的體積為故選：C8已知分別為的邊上的點(diǎn)，線段和線段相交于點(diǎn)，若，且，其中，則的最小值為（）ABCDA【分析】先由平面向量基本定理得到，再由，三點(diǎn)共線得到，結(jié)合基本不等式得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，又，三點(diǎn)共線，所以，化簡(jiǎn)得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) ，故選：A 二、多選題9下列化簡(jiǎn)正確的是ABCDCD根據(jù)兩角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化簡(jiǎn)各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】中，則錯(cuò)誤；中，則錯(cuò)誤；中，則正確；中，則正確.故選：本題考查三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題，涉及到兩角和

5、差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的應(yīng)用.10，是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A，B，C，共面D，共點(diǎn)，共面ACD【分析】根據(jù)線線的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷各選項(xiàng)正誤即可.【詳解】解：由，則、平行、異面都有可能，故A錯(cuò)誤；由，得，故B正確；當(dāng)時(shí)，不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，互相平行但不共面，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，共點(diǎn)時(shí)，不一定共面，如三棱柱共頂點(diǎn)的三條棱不共面，故D錯(cuò)誤；故選：ACD.11點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的有（）A若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的垂心；B若，則點(diǎn)為的內(nèi)心；C若，則點(diǎn)為的外心；D若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的重心.BC【分析】A由正弦

6、定理知，且，代入已知等式得，即知的軌跡一定經(jīng)過(guò)的哪種心；B、C分別假設(shè)為的內(nèi)心、外心，利用向量的幾何圖形中的關(guān)系，及向量的運(yùn)算律和數(shù)量積判斷條件是否成立即可；D由，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及向量數(shù)量積的幾何意義求的值，即知的軌跡一定經(jīng)過(guò)的哪種心；【詳解】A：由正弦定理知，而，所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的重心，故錯(cuò)誤.B：若為的內(nèi)心，如下圖示：，同理，故正確；C：若為的外心，分別為的中點(diǎn)，則，而，同理，又，故，正確；D：由，故，即，動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的垂心，錯(cuò)誤.故選：BC關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用已知等量關(guān)系，結(jié)合向量的運(yùn)算律、數(shù)量積的值判斷向量過(guò)三角形的何種心，或假設(shè)為的內(nèi)心、外心，再應(yīng)用幾何圖形中相關(guān)線段

7、所表示的向量，結(jié)合向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運(yùn)算律，判斷條件是否成立.12“阿基米德多面體”也稱為半正多面體(semi-regularsolid)，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種半正多面體已知，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說(shuō)法中，正確的有（）A該半正多面體的體積為B該半正多面體過(guò)三點(diǎn)的截面面積為C該半正多面體外接球的表面積為D該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足關(guān)系式ACD【分析】根據(jù)幾何體的構(gòu)成可判斷A，由截面為正六邊形可求面積判斷B，根據(jù)外

8、接球?yàn)檎睦庵膳袛郈，根據(jù)頂點(diǎn)，面數(shù)，棱數(shù)判斷D.【詳解】如圖，該半正多面體，是由棱長(zhǎng)為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的.對(duì)于A， 因?yàn)橛烧襟w沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：， 故正確；對(duì)于B，過(guò)三點(diǎn)的截面為正六邊形，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積，故正確；對(duì)于D，幾何體頂點(diǎn)數(shù)為12，有14個(gè)面，24條棱，滿足，故正確.故選：ACD三、填空題13若，則_.【分析】由誘導(dǎo)公式結(jié)合和差角公式求解即可.【詳解】故14的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是，已知，則的取值

9、范圍是_.【分析】由正弦定理及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，可得，根據(jù)余弦定理，應(yīng)用基本不等式有，結(jié)合A為三角形內(nèi)角，即可求的范圍.【詳解】由正弦定理知：，即，又由余弦定理知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，則.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用三角恒等變換、正弦定理的邊角關(guān)系確定三邊的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)余弦定理及基本不等式，求角A余弦值的范圍，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)求角的范圍.15如圖所示，在直三棱柱中，是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi).【分析】將與展開(kāi)到同一平面內(nèi)，連接，與交于點(diǎn)P，此時(shí)取得最小值，由余弦定理和勾股定理各邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出最小值【詳解】由余弦定理得：，由勾股定理得：，同理，所以是等邊三角形，因?yàn)?，所以，則，將與展開(kāi)

10、到同一平面內(nèi)，如圖，連接，與交于點(diǎn)P，此時(shí)取得最小值，因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼茫汗仕?、解答題16已知i為虛數(shù)單位，若，則_1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法公式求出，再由復(fù)數(shù)模的公式即可求出答案.【詳解】故117已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位.（1）求和；（2）若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，n的值.（1），；（2），【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出，由此能求出和（2）由復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，得到，整理得，由此能求出實(shí)數(shù)，【詳解】解：（1）復(fù)數(shù)，（2）復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，解得，本題考查復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)值的求法，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題18已知四棱錐A

11、BCDE，AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD=2，CD面ABC，BECD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)(1)求證：EF面ABC；(2)求四棱錐ABCDE的體積，(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明，從而得證線面平行；（2）取中點(diǎn)，證明是四棱錐的高，證明底面是直角梯形，然后由體積公式計(jì)算體積【詳解】(1)取中點(diǎn)，連接，又是中點(diǎn)，則，又，所以，所以是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；(2)取中點(diǎn)，連接，由于是等邊三角形，則，因?yàn)镃D面ABC，面ABC，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，由已知，由CD面ABC，面ABC，所以，是直角梯形，所以19已知ABC的外接圓半徑為R，a、b、c分

12、別是角A、B、C的對(duì)邊，b=2且bsinB-asinA=2R(sinB-sinC)sinC.（1）求角A；（2）若AD是BC邊上的中線AD= ，求ABC的面積.(1) ；(2) 【分析】（1）由正弦定理將bsinB -asinA=2R(sinB -sinC)sinC中的角化邊，結(jié)合余弦定理即可求得角A的余弦值，進(jìn)而得到A的大??；(2)由三角形加法法則有，結(jié)合已知條件求出c的長(zhǎng)度，即可得ABC的面積【詳解】(1)由正弦定理知：bsinB -asinA=2R(sinB -sinC)sinC，即又由余弦定理：，則(2)由(1)的結(jié)論，AD是BC邊上的中線AD= 且b=2，如下圖示由向量加法法則知：，

13、即，而，解得，而本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，將角化邊并化簡(jiǎn)方程，結(jié)合余弦定理求角；由向量的幾何應(yīng)用求邊長(zhǎng)，進(jìn)而求三角形面積20定義空間點(diǎn)到幾何圖形的距離為：這一點(diǎn)到這個(gè)幾何圖形上各點(diǎn)距離中最短距離.（1）在空間，求與定點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)所圍成的幾何體的體積和表面積；（2）在空間，線段(包括端點(diǎn))的長(zhǎng)等于1，求到線段的距離等于1的點(diǎn)所圍成的幾何體的體積和表面積；（3）在空間，記邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域(包括邊界及內(nèi)部的點(diǎn))為，求到距離等于1的點(diǎn)所圍成的幾何體的體積和表面積.（1），；（2），；（3），.【分析】（1）根據(jù)球的體積和表面公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）依題意可知圍成的幾何體是一個(gè)圓柱和兩個(gè)半球的

14、組合體，依據(jù)公式即可求得結(jié)果；（3）分析可知，到距離等于1的點(diǎn)所圍成的幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)分別為1，1，2的長(zhǎng)方體和四個(gè)高為1，底面半徑為1的半圓柱以及四個(gè)半徑為1的四分之一球所圍成的幾何體，根據(jù)公式計(jì)算可得答案.【詳解】（1）與定點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)所圍成的幾何體是一個(gè)半徑為1的球，其體積為，表面積為，（2）到線段的距離等于1的點(diǎn)所圍成的幾何體是一個(gè)以為高，底面半徑為1的圓柱的側(cè)面與兩個(gè)半徑為1的半球面所圍成的幾何體，其體積為，表面積為.（3）到距離等于1的點(diǎn)所圍成的幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)分別為1，1，2的長(zhǎng)方體和四個(gè)高為1，底面半徑為1的半圓柱以及四個(gè)半徑為1的四分之一球所圍成的幾何體，其體積為，表面積

15、為.本題考查了空間想象能力，考查了長(zhǎng)方體、圓柱、球的體積和表面積公式，解題關(guān)鍵是根據(jù)定義得到幾何體是由哪些幾何體組合而成，屬于難題.21如圖，在正方形中，為以為圓心、為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)(包括兩點(diǎn))（1）求的最大值；（2）設(shè)向量，若，求凸四邊形的面積（1）0；（2）【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系小，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可；（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，即可求面積.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，且（1），的最大值為0（2）由，得，代入，得，又，解得.22如圖1，某景區(qū)是一個(gè)以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成60角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點(diǎn)，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊（注：圓的切線長(zhǎng)性質(zhì)：圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等）（1）當(dāng)為正三角形時(shí)求修建的木棧道與道路，圍成的三角地塊面積；（2）若的面積，求木棧道長(zhǎng)；（3）如圖2，若景區(qū)中心與木棧道段連線的，將木棧道的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并指定定義域；求木棧道的最小值（1）；（2）7；（3），；6.【分析】（1）利用證三角形OAB內(nèi)切圓的知識(shí)，求出邊長(zhǎng)AB，再求OAB的面積；（2）根據(jù)OAB的面積公式