歷年自主招生試題分類匯編平面幾何

1、歷年自主招生試題分類匯編一一平面幾何（2013年北約）如圖，ABC中，AD為BC邊上的中線，DM、DN分別為/ADB、/ADC的角平分線，試比較BM+CN與MN的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.DANDANC解析延長(zhǎng)ND至E,使ND=ED，連結(jié)BE、ME，則BEDCND,MEDMND,ME=MN,由BM+BEEM，得BM+CNMN.ANCEAFODACAFODAC題4（2012年北約）如果銳角.：ABC的外接圓圓心為O，求O到三角形三邊的距離之比。解：如圖，過(guò)O分別作BC,CA,AB的垂線，垂足為D,E,F,設(shè)OD=dOE=d2,OF二d3,OA=OB=OC=R由平幾知識(shí)得BOC=2A,BOD=A,dR

2、cosA同理：d2=RcosB,d3=RcosC-d1:d2:d3=cosA:cosB:cosC即O到三角形三邊的距離之比為對(duì)應(yīng)邊所對(duì)角的余弦之比。評(píng)析：本題敘述簡(jiǎn)潔，結(jié)論優(yōu)美，入口較寬，解法多樣，既能反映學(xué)生的讀題能力和轉(zhuǎn)化能力，又考查了學(xué)生的平幾和三角等知識(shí)，是一道相當(dāng)精彩的好題，為自主招生備考指明了方向。題8（2012年北約）求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個(gè)角相等，則它為正五邊形。AAAA解：如圖，五邊形ABCDE為L(zhǎng)O內(nèi)接五邊形，延長(zhǎng)AE,CD,DC,AB有兩交點(diǎn)G,H，連接AC,.AED=.EDC,.GED=.GDEGE=GD/A,C,D,E在LO上.CAG=.GDE,.GCA=.GED.

3、/CAG=.GCA.GA=GC/.AE=CDAB=BC=CD=DE=EA,連結(jié)AD，同理可得AB=CD，從而AE=AB=CD,同樣，延長(zhǎng)BC,ED,BA,DE,AB=BC=CD=DE=EA,評(píng)析：本題是一道平面幾何題，圖形簡(jiǎn)單，背景公平，重點(diǎn)考查學(xué)生的推理論證和演繹能力,可貴的是有別于數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平幾題。（2011年北約）已知平行四邊形的其中兩條邊長(zhǎng)為3和5,一條對(duì)角線長(zhǎng)為6,求另一條對(duì)角線的長(zhǎng)【答案】x=4、.2【解】設(shè)另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為X.由2（3252x262,解得x=4.2.求過(guò)拋物線y=：2x2-2x-1和y=-5x2x3的交點(diǎn)的直線方程.【解析】以正五邊形一條邊上的中點(diǎn)為原點(diǎn)，此邊

4、所在的直線為【解析】以正五邊形一條邊上的中點(diǎn)為原點(diǎn)，此邊所在的直線為【解】聯(lián)立兩方程，消去x2,得6x7y-0.此方程即為所求2.（2010年北約）AB為邊長(zhǎng)為1的正五邊形邊上的點(diǎn).證明：AB最長(zhǎng)為521（25分）ABmax二R2P二R2Q由，知ABmax二R2P.不妨設(shè)為X.下面研究正五邊形對(duì)角線的長(zhǎng).如右圖做.EFG的角平分線FH交EG于H.易知.EFH=/HFG=/GFI=/IGF=/FGH.5于是四邊形HGIF為平行四邊形.HG=1.由角平分線定理知F解得x=-EF_x_1_EH由角平分線定理知F解得x=-FG一11一HG5、(2011年華約)如圖，eO1和eO2外切于點(diǎn)C,eQ,eQ

5、又都和eO內(nèi)切，切點(diǎn)分別為A,B設(shè)AOB二：，ACB二：，則()A、C、cos：sin02sin-cos02分析題目中的條件是通過(guò)三個(gè)圓來(lái)給出的，有點(diǎn)眼花繚亂。我們來(lái)轉(zhuǎn)化一下，就可以去掉三個(gè)圓，已知條件變?yōu)椋篛01O2邊O1O2上一點(diǎn)C,O01、O02延長(zhǎng)線上分別一點(diǎn)B，使得O1A=O1C,O2B=O2C0解法一：連接0Q2,C在O1O2上，貝y-00Q2OO2O1二-TOC o 1-5 h z11OJCOQA00102,O2BC=/O2CB00201，故22n-aOQAO2CB(00Q00201p2R*n+otRa(OQAO2CB),sincos022解法二：對(duì)于選擇填空題，可以用特例法，即

6、可以添加條件或取一些特殊值，在本題中假設(shè)n_a兩個(gè)小圓的半徑相等，貝y00102二.00202n-aTOC o 1-5 h zOQA=O2CB00Q：4nH+0(n0(-二-(OQAO2CB),sin：二cos0229、(2011年華約)如圖，已知ABC的面積為2,D,E分別為邊AB，邊AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，設(shè)ADAEX,ABAC值為（為線段DE上一點(diǎn)，設(shè)ADAEX,ABAC值為（)81014A、B、C、272727解：SbdfDFS-DESBDE=zSbde,-y，DFDE16D、27=z,且yz-x=1,且二BDF面積的最大BDSBDEABS.ABE=(X)SABE,AESABE

7、SABC二ySaBC,AC于是Sbdf=(1-x)yzSabc=2(1_x)yz。將yz-x=1,變形為yz=x1，暫時(shí)將x看成常數(shù)，欲使yz取得最大值12S時(shí)將x看成常數(shù)，欲使yz取得最大值12SbdF（1-x）x*，解這個(gè)一元函數(shù)的極值問(wèn)題,6.（2010年華約）如圖，“ABC的兩條高線OF垂直BC于F,OH與AF相交于G,（A）1:4（B）1:3(C)2:5x+1必須y=z=,于是2116x時(shí)取極大值3o27AD,BE交于H則OFG與GAH面積之比為（A）（D）1:2，其外接圓圓心為O,過(guò)O作1、（2013年卓越聯(lián)盟文）如圖，AE是LO的切線，A是切點(diǎn)，AD_0E于點(diǎn)D,割線EC交O于B

8、、C兩點(diǎn)，設(shè)NODC二:-,NDBC=1,貝U/OEC二（用_：:、：表示）.E答案：E答案：（8）（2012年卓越聯(lián)盟）如圖,AB是LO的直徑，弦CD垂直AB于點(diǎn)M,E（8）（2012年卓越聯(lián)盟）如圖,線上一點(diǎn)，AB=10,CD=8,3ED=4OM,EF是LO的切線，F(xiàn)是切點(diǎn)，BF與CD相交于點(diǎn)G,（I）求線段EG的長(zhǎng)；（H）連線DF,判斷DF是否平行于AB，并證明你的結(jié)論。（注：根據(jù)解題需要，須將圖形自行畫(huà)在大題卡上。)、FOMDG、FOMDG解答：(I)如圖，連接AF,CO，根據(jù)垂徑定理知，M為CD的中點(diǎn)，所以CM=DM=4，所以O(shè)M=3，于是知ED=0M=4根據(jù)切割線定理知EFEDEC=412=48=EF=4.3,3而.EFG=/BAF=/EGD=/EGF，所以EG=EF=4.3.(H)若DF/AB，則DF_CD,CF為圓O的直徑，從而CF=10.根據(jù)射影定理知，應(yīng)該有：22.,CFCDCE=10812=100=9