數(shù)字信號處理：dsp15 物理可實(shí)現(xiàn)信號、最小相位信號和最小能量延遲信號

1、數(shù)字信號處理9.物理可實(shí)現(xiàn)信號、最小相位信號和最小能量延遲信號（I） 8/11/20221馬盡文9.1物理可實(shí)現(xiàn)信號A.物理可實(shí)現(xiàn)信號及其簡單性質(zhì)一個(gè)序列 ，如果滿足則稱 為物理可實(shí)現(xiàn)序列。當(dāng) 為信號時(shí)，滿足上式的信號就稱為物理可實(shí)現(xiàn)信號。當(dāng) 為濾波因子時(shí)，滿足上式的濾波因子就稱為物理可實(shí)現(xiàn)濾波因子。這時(shí)作為信號， 也就被稱為單邊信號或因果信號。物理可實(shí)現(xiàn)：有脈沖的激發(fā)，才有系統(tǒng)的輸出?；蛘哒f，當(dāng)激發(fā)脈沖作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)是不會有響應(yīng)的，即在輸入之前，不能有輸出。8/11/20222馬盡文9.1物理可實(shí)現(xiàn)信號物理可實(shí)現(xiàn)信號 的頻譜 和Z變換 為 定理1 設(shè)信號 的能量是有限的，即 則信號 是

2、物理可實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是 定理2 設(shè)信號 ， 是兩個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)信號，則 和 也是物理可實(shí)現(xiàn)的，并且8/11/20223馬盡文9.1物理可實(shí)現(xiàn)信號 若 ， 表示兩個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)濾波因子，則定理2表明：兩個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)濾波器并聯(lián)或串聯(lián)之后仍是物理可實(shí)現(xiàn)的。B.Z變換為有理分式時(shí)的物理可實(shí)現(xiàn)條件 設(shè)信號 的Z變換為 其中 ，分子和分母沒有公因子。8/11/20224馬盡文9.1物理可實(shí)現(xiàn)信號 設(shè) 當(dāng)多項(xiàng)式在單位圓上有根時(shí)，即存在 使 ，因而 時(shí)（ 為 中的某個(gè)數(shù)），則 的頻譜 ，有 ，且 的能量 這說明，要使信號 能量有限，其充要條件是 的分母 多項(xiàng)式在單位圓上沒有根。 可分解為8/11/20225馬

3、盡文9.1物理可實(shí)現(xiàn)信號 其中 為分母多項(xiàng)式 的 重根。因?yàn)榉帜?多項(xiàng)式共有 個(gè)根，所以 。當(dāng) 時(shí)， 不存在（關(guān)于有理分式的分解可參看文獻(xiàn)8第二篇7.6） 的分母多項(xiàng)式的根全在單位圓外時(shí)，即 ，根據(jù)第三章第五節(jié)例5知， 是物理可實(shí)現(xiàn)的，由本節(jié)定理2知， 是物理可實(shí)現(xiàn)的，從而 是物理可實(shí)現(xiàn)的。8/11/20226馬盡文當(dāng) 的分母多項(xiàng)式在單位圓內(nèi)有根時(shí)，存在 有，同理知 ， 都不是物理可實(shí)現(xiàn)的，進(jìn)而不是物理可實(shí)現(xiàn)的。9.1物理可實(shí)現(xiàn)信號 定理3 設(shè)信號 的Z變換為上面討論的 ，則： （1）信號 為能量有限的充分必要條件是： 的分母 多項(xiàng)式在單位圓上沒有根； （2）信號 為能量有限的，則 為物理可實(shí)

4、現(xiàn)的充分必 要條件是： 的分母多項(xiàng)式的根全在單位圓外。8/11/20227馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位A.能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號 離散信號 稱為能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號，如果 滿足在下面討論中，離散信號 可取實(shí)值，也可取復(fù)值。其Z變換為其頻譜為其中 為 的振幅譜， 為 的相位譜。 是圓頻率，且有 ，其中 為離散信號的抽樣間隔。8/11/20228馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位信號 和頻譜 關(guān)系如下： 頻譜 和能量 有如下關(guān)系： 以上關(guān)系稱為能量等式。 對于 的Z變換 ，當(dāng)我們將Z看成復(fù)自變量時(shí)， 是單位圓內(nèi)解析函數(shù)，而頻譜 是 在單位圓邊界上所取的值。按照解析函

5、數(shù)邊界性質(zhì)（參看文獻(xiàn)9），頻譜 使得函數(shù) 在區(qū)間 上是可積的，且8/11/20229馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位Z變換 可表示為 式中 為一個(gè)實(shí)數(shù)， 為非負(fù)整數(shù)， 為復(fù)數(shù)序列， 為一個(gè)不上升的函數(shù)，具有幾乎處處等于0的微商， 為振幅譜。8/11/202210馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位B.純相位物理可實(shí)現(xiàn)信號（或全通濾波器）Z變換和頻譜的特點(diǎn)如果離散信號 滿足 則稱 為純相位物理可實(shí)現(xiàn)信號，簡稱純相位信號。 如果 表示一個(gè)濾波因子，則當(dāng) 滿足上式時(shí)，我們稱 為純相位物理可實(shí)現(xiàn)濾波因子，或者稱 為全通濾波因子，這時(shí) 所表示的濾波器成為全通濾波器。設(shè) 為輸入信號，經(jīng)

6、過 濾波后輸出為 ，則 振幅譜為8/11/202211馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位這表明輸入信號的振幅譜 經(jīng)濾波后全部通過并保持不變，這就是濾波因子 為全通濾波器的原因。 由純相位信號定義和能量等式，純相位信號 具有單位能 量，即 例1 信號 的Z變換為 ，或者頻譜為 。易知，它的振幅譜為1，相位譜為 ，相應(yīng)的信號為8/11/202212馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位例2 信號 的Z變換為其中 ， 為實(shí)數(shù)。我們要證明 為純相位物理可實(shí)現(xiàn)信號，并算出它的相位譜。 的分母多項(xiàng)式的根為 ，模為 ，這表示根在單位圓外。由上節(jié)定理3知， 為物理可實(shí)現(xiàn)信號。其振幅譜為8/11

7、/202213馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位因此， 為純相位物理可實(shí)現(xiàn)信號。下面計(jì)算其相位譜。上式的分子為因此， 的相位譜為8/11/202214馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位下面討論一般的純相位信號或全通濾波器的Z變換和頻譜由于純相位信號的振幅譜 ，所以 ，因而有又由于純相位信號的能量為1，按能量有限物理可實(shí)現(xiàn)信號Z變換的一般表示，純相位信號的Z變換 為將上式分成四個(gè)部分來考慮：8/11/202215馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位為求 的頻譜 的表達(dá)式，即相位譜 的表達(dá)式，我們先求出每一個(gè) 相應(yīng)的頻譜表達(dá)式：8/11/202216馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位由例2知，上式連乘積內(nèi)的每一項(xiàng) ，其振幅譜為1，相位譜為因此， 為現(xiàn)在考慮相應(yīng)于 的頻譜 。8/11/202217馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相位其中因此， 我們令 8/11/202218馬盡文9.2能量有限的物理可實(shí)現(xiàn)信號、純相