工程傳熱學(xué)：06 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1

1、PAGE - 87 -第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是指溫度場隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過程。許多工程實(shí)際問題都牽涉到非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，如動(dòng)力機(jī)械的啟動(dòng)、停機(jī)、變工況運(yùn)行，熱加工、熱處理過程等。絕大多數(shù)的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程都是由于邊界條件的變化所引起，例如一年四季或一天二十四小時(shí)大氣溫度的變化引起的地表層、房屋建筑墻壁溫度變化與導(dǎo)熱過程，熱加工、熱處理工藝中工件在加熱或冷卻時(shí)的溫度變化和導(dǎo)熱過程，等等。根據(jù)溫度場隨時(shí)間的變化規(guī)律不同，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分為周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是在周期性變化邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，如內(nèi)燃機(jī)氣缸的氣體溫度隨熱力循環(huán)發(fā)生周期性變化，汽缸壁

2、的導(dǎo)熱就是周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱通常是在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，例如熱處理工件的加熱或冷卻等，一般物體的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定值。本書僅討非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。有關(guān)周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的內(nèi)容可參閱文獻(xiàn)1, 2。3-1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程(a) = 1(b) = 2 (c) = 3(d) = 4圖3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的不同時(shí)刻物體的溫度分布為了對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程有清楚的了解，我們先來分析一塊初始溫度均勻的平壁在邊界條件突然變化時(shí)的導(dǎo)熱情況。設(shè)平壁的初始溫度為t0，過程開始時(shí)令其左側(cè)表面的溫度突然升高到t1并維持不變，如圖3-1(a)所示，其右側(cè)與溫度為t0的空氣接觸。在左側(cè)溫度

3、變化后，平壁內(nèi)的溫度也逐漸升高，最后趨于穩(wěn)定，若物體的導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，則穩(wěn)定后的溫度分布如圖3-1(d)所示。(a) (b) (C) 圖3-3 不同情況下的非穩(wěn)態(tài)溫度場雖然穩(wěn)定后平壁的溫度分布是直線，但平壁溫度在升高的過程中，溫度分布并不是直線，而是超越曲線，如在 = 2時(shí)刻平壁的溫度分布是圖3-1(b) (a) 溫度曲線(b) 熱流量曲線圖3-2 A、B、C、D四個(gè)截面的溫度和通過的熱流量隨時(shí)間的變化所示的曲線，圖中CD區(qū)間的溫度還是初始溫度沒有改變，而AC區(qū)間的溫度已經(jīng)升高了。這里ABCD是平壁厚度方向的幾個(gè)等分截面，這幾個(gè)截面的溫度和通過它們的熱流量隨時(shí)間的變化可以用圖3-2定性地表示。

4、圖3-2(a) 是各截面溫度隨時(shí)間的變化?？梢钥闯?，截面B的溫度較截面A的溫度要延遲一段時(shí)間才開始升高，截面C和截面D的溫度又分別要更延遲一段時(shí)間才開始升高。圖3-2(b) 是通過各截面的熱流量隨時(shí)間的變化。通過截面A的熱流量是從最高值不斷減小，而對其它各截面，在溫度開始升高之前通過它們的熱流量是零，溫度開始升高之后，熱流量才開始增加。這說明溫度變化要積聚或消耗熱量，垂直于熱流方向的不同截面上熱流量是不同的。但隨著過程的進(jìn)行，差別越來越小，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，通過各截面的熱流量就相等了。圖3-2(b)每兩條曲線之間的面積代表在升溫過程中兩個(gè)截面之間所積聚的能量。從圖3-1和3-2可以看出，在 = 3

5、時(shí)刻之前的階段，物體內(nèi)的溫度分布受初始溫度分布的影響較大，稱此階段為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的初始狀況階段，也稱為非正規(guī)狀況階段。在 = 3時(shí)刻之后，初始溫度分布的影響已經(jīng)消失，物體內(nèi)的溫度分布主要受邊界條件的影響，這一階段成為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的正規(guī)狀況階段。在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)，若物體所處的邊界條件是對流邊界條件，則分析時(shí)存在兩個(gè)熱阻，一個(gè)是邊界對流熱阻，另一個(gè)是物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻。設(shè)有一塊厚度為2 的大平壁，導(dǎo)熱系數(shù)為，初始溫度為t0，突然將它置于溫度為t的流體中冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h?？紤]面積熱阻時(shí)，物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻為/h，邊界對流熱阻為1/h。這兩個(gè)熱阻的相對值會有三種不同的情況：（1）；（2）；（3）

6、與量級相同。對應(yīng)的非穩(wěn)態(tài)溫度場在平板中會有以下三種情況，如圖3-3所示。（1），這時(shí)對流熱阻很小，平壁表面溫度一開始就和流體溫度基本相同，傳熱熱阻主要表現(xiàn)為平壁內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻，故內(nèi)部存在溫度梯度，隨著時(shí)間的推移，平壁的總體溫度逐漸降低。如圖3-1(a)所示。（2），這時(shí)傳熱熱阻主要是邊界對流熱阻，因而平壁表面和流體存在明顯的溫差。這一溫差隨著時(shí)間的推移和平壁總體溫度的降低而逐漸減小，由于這時(shí)導(dǎo)熱熱阻很小，可以忽略不計(jì)，故同一時(shí)刻平壁內(nèi)部的溫度可認(rèn)為是相同的，如圖3-1(b)所示。（3） ，由于導(dǎo)熱熱阻和對流熱阻是同一量級，都不能忽略不計(jì)，因而，一方面，平壁表面和流體存在溫差，另一方面，平壁內(nèi)部

7、也存在溫度梯度，如圖3-1(c)所示。由上面的分析可知，平壁的非穩(wěn)態(tài)溫度分布完全取決于導(dǎo)熱熱阻和對流熱阻的比值，我們用一特征數(shù)來表示這一比值。所謂特征數(shù)，它是表征某一類物理現(xiàn)象或物理過程特征的無量綱數(shù)，又叫準(zhǔn)則數(shù)。畢渥（Biot）數(shù)Bi定義為導(dǎo)熱熱阻和對流熱阻的比值：(3-1)式中為特征長度。這里的特征長度定義為平板厚度的一半。由畢渥數(shù)的定義可知，在上面第二種情況下，即當(dāng)Bi很小時(shí)，同一時(shí)刻平壁內(nèi)部的溫度分布近似均勻，這時(shí)求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題變得相當(dāng)簡單，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，與空間位置無關(guān)。這就是集總參數(shù)法的基本思想。3-2 集總參數(shù)法根據(jù)上一節(jié)的討論，當(dāng)Bi很小時(shí)，物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻遠(yuǎn)小于其

8、表面的對流換熱熱阻，因而物體內(nèi)部各點(diǎn)的溫度在任一時(shí)刻都趨于均勻，物體的溫度只是時(shí)間的函數(shù)，與坐標(biāo)無關(guān)。對于這種情況下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，只須求出溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律以及在溫度變化過程中物體放出或吸收的熱量。這種忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻的簡化分析方法稱為集總參數(shù)法，即把質(zhì)量與熱容量匯總到一點(diǎn)。根據(jù)式(3-1)，在三種情況下Bi的值將很?。海?）物體的導(dǎo)熱系數(shù)相當(dāng)大；（2）所討論物體的幾何尺寸很??；（3）表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)很小。這幾種情況都可以使用集總參數(shù)法求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。設(shè)有一任意形狀的物體，如圖3-4所示，體積為V，表面面積為A，密度、比熱容c及導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，無內(nèi)熱源，初始溫度為t0。突然將該物體放

9、入溫度恒定為t的流體之中，物體表面和流體之間對流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)，我們需要確定該物體在冷卻過程中溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律以及放出的熱量。普通情況下這是一個(gè)多維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題?，F(xiàn)假定此問題可以用集總參數(shù)法進(jìn)行分析。圖3-4集總參數(shù)法示意圖由能量守恒，單位時(shí)間物體熱力學(xué)能的變化量應(yīng)該等于物體表面與流體之間的對流換熱量，即：引入過余溫度上式變?yōu)椋?3-2)由初始溫度為t0可得出初始條件為：對式(3-2)分離變量有：上式兩邊積分得：得出其解為：或(3-3)式中指數(shù)部分可進(jìn)行如下變換：其中V/A具有長度量綱，可作為特征長度，記為l；為畢渥數(shù)BiV，是另一無量綱量，稱為傅里葉數(shù)，記為FoV；下標(biāo)V

10、表示特征長度為V/A。很容易計(jì)算出，對于厚度為2 的無限大平壁，l = ；對于半徑為R的圓柱，l = R/2；對于半徑為R的圓球，l = R/3。這樣，整個(gè)指數(shù)是無量綱的，它是兩個(gè)特征數(shù)的乘積。由集總參數(shù)法得出的物體溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系為：(3-4) 圖3-5(a) 過余溫度隨時(shí)間的變化 圖3-5(b) 不同時(shí)間常數(shù)下過余溫度隨時(shí)間的變化式(3-4)表明，物體的過余溫度 按負(fù)指數(shù)規(guī)律變化，在過程的開始階段， 變化很快，這是由于開始階段物體和流體之間的溫差大，傳熱速度快造成的。隨著溫差的減小， 變化的速度也就越來越緩慢，如圖3-5(a)所示。進(jìn)一步對指數(shù)部分進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，指數(shù)中與的量綱相同，

11、當(dāng)時(shí)，由式(3-3)可得故(3-5)定義此式為時(shí)間常數(shù)，記為c。這樣，當(dāng) = c時(shí)，物體的過余溫度為初始過余溫度的36.8% 。時(shí)間常數(shù)越小，物體的溫度變化就越快，物體也就越迅速地接近周圍流體的溫度，如圖3-5(b)所示。這說明，時(shí)間常數(shù)反映物體對周圍環(huán)境溫度變化響應(yīng)的快慢，時(shí)間常數(shù)小的響應(yīng)快，時(shí)間常數(shù)大的響應(yīng)慢。由時(shí)間常數(shù)的定義可知，影響時(shí)間常數(shù)大小的主要因素是物體的熱容量cV和物體表面的對流換熱條件hA。物體的熱容量愈小，表面的對流換熱愈強(qiáng)，物體的時(shí)間常數(shù)愈小。時(shí)間常數(shù)反應(yīng)了兩種影響的綜合效果。利用熱電偶測量流體溫度，總是希望熱電偶的時(shí)間常數(shù)越小越好，因?yàn)闀r(shí)間常數(shù)越小，熱電偶越能迅速地反映

12、被測流體的溫度變化，所以，熱電偶端部的接點(diǎn)總是做得很小，用其測量流體溫度時(shí)，也總是設(shè)法強(qiáng)化熱電偶端部的對流換熱。如果幾種不同形狀的物體都是用同一種材料制作，并且和周圍流體之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)也都相同，都滿足使用集總參數(shù)法的條件，則由式(3-5)可以看出，單位體積的表面面積越大的物體，時(shí)間常數(shù)越小，在初始溫度相同的情況下放在溫度相同的流體中被冷卻（或加熱）的速度越快。例如：在體積一定和其它條件相同時(shí)，所有形狀中圓球的表面積最小，因而圓球的時(shí)間常數(shù)最大，冷卻（或加熱）速度最慢。而做成其它形狀，如柱體或長方體，則可使時(shí)間常數(shù)變小，冷卻（或加熱）速度加快。物體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律確定之后，就可以計(jì)算物體

13、和周圍環(huán)境之間交換的熱量。在 時(shí)刻，表面熱流量為：由式(3-4)可得：(3-6)從到時(shí)刻所傳遞的總熱量為：令，表示物體溫度從t0變化到周圍流體溫度t所放出或吸收的總熱量，則從到時(shí)刻物體所傳遞的總熱量為：(3-7)上面的分析不管對物體冷卻還是加熱都適用。式(3-6)或(3-7)中正的或Q值表示t0 t 0，物體是被冷卻的，負(fù)值表示物體是被加熱的。上節(jié)已經(jīng)指出，是物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻和表面對流熱阻之比，即內(nèi)外熱阻之比；越小，表明內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻越小或外部熱阻越大，從而內(nèi)部溫度就越均勻，集總參數(shù)法的誤差就越小。對熱電偶測溫情況，一般使量級或更小，集總參數(shù)法是非常準(zhǔn)確的。分析指出，對于形如平板、柱體和球這一

14、類的物體，若：(3-8)則物體中各點(diǎn)過余溫度的偏差小于5%，可以近似使用集總參數(shù)法。式中M是與形狀有關(guān)的因子。對無限大平板M = 1；對無限長圓柱M = 1/2；對球體M = 1/3。前面已得出，對于厚度為2 的無限大平壁，l = V/A = ；對于半徑為R的圓柱，l = R/2；對于半徑為R的球體，l = R/3，故對于厚度為2 的大平壁，半徑為R的長圓柱和半徑為R的球體，若特征長度分別取 和R，則式(3-8)可統(tǒng)一為Bi 0.1。在結(jié)束本節(jié)之前，我們再來討論一下傅里葉數(shù)的物理意義，由定義：式中分子是到計(jì)算時(shí)刻為止所發(fā)生的時(shí)間。在分母中，由于a是熱擴(kuò)散系數(shù)，因此分母可視為熱擾動(dòng)擴(kuò)散到l2面積

15、上所需的時(shí)間。這樣，越大，熱擾動(dòng)就越深人地傳播到物體內(nèi)部，物體就越接近周圍介質(zhì)溫度。例題3-1 一溫度計(jì)的水銀泡是圓柱形，長20mm，內(nèi)徑4mm，測量氣體溫度h = 12.5 W/(m2K)，若要溫度計(jì)的溫度與氣體的溫度之差小于初始過余溫度的10%，求測溫所需要的時(shí)間。水銀的物性為： = 10.36 W/(mK)， = 13110 kg/m3，c = 0.138 kJ/(kgK)解 首先判斷能否用集總參數(shù)法求解，故可以用集總參數(shù)法。根據(jù)式(3-4)，解得：由上式解得： = 333 s = 5.6 min為了減小測溫誤差，測溫時(shí)間應(yīng)盡量加長。例題3-2 將一個(gè)初始溫度為800、直徑為100mm的

16、鋼球投入50的液體中冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h =50 W/(m2K)。已知鋼球的密度為 = 7800 kg/m3，比熱容為cp = 470 J/(kgK)，導(dǎo)熱系數(shù)為35 W/(mK)。 試求鋼球中心溫度達(dá)到100所需要的時(shí)間。解 首先判斷能否用集總參數(shù)法求解，畢渥數(shù)為：故可以用集總參數(shù)法求解。根據(jù)式(3-4)， 將已知條件代入上式， 可解得FoV = 113.78，即 由此可得s 55 min即鋼球中心溫度達(dá)到100需要55 分鐘。3-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解 圖3-6第三類邊界條件下 大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1 分析解第二節(jié)中的集總參數(shù)法求解簡單，但要求畢渥數(shù)必須滿足一定的條件，即BiV 0

17、.1M；當(dāng)此條件不滿足時(shí)，就必須考慮物體的幾何形狀和大小，不能再將物體集總為一點(diǎn)，這時(shí)分析求解是非常困難的，只有當(dāng)幾何形狀及邊界條件都比較簡單時(shí)才可獲得分析解。第三類邊界條件下大平壁、長圓柱及球體的加熱或冷卻是工程上常見的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，這些簡單情況下的分析解是可以得到的，其中第三類邊界條件在特殊情況下可以變成第一類，甚至第二類邊界條件。我們先來分析第三類邊界條件下一維大平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。當(dāng)平壁的長度和寬度遠(yuǎn)大于其厚度或平壁四周絕熱時(shí)，其溫度與長度、寬度方向坐標(biāo)無關(guān)，僅是厚度方向坐標(biāo)的函數(shù)。許多工程問題可以簡化為一維的導(dǎo)熱問題。設(shè)有一大平壁，厚度為，有均勻的初始溫度t0；現(xiàn)突然將其置于溫度

18、為t的流體中，平壁與流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)，如圖3-6所示。我們來確定平壁中的溫度分布。問題的數(shù)學(xué)描述，即微分方程及定解條件為：(3-9)(3-10)(3-11)(3-12)其中式(3-11)是對稱條件所要求的。引入過余溫度，則以上四式變?yōu)椋?3-13)(3-14)(3-15)(3-16)在2-3節(jié)中，我們曾經(jīng)用分離變量法得出了二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解，現(xiàn)在仍然可以用分離變量法求解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。設(shè)：(3-17)將上式代入式(3-13)得：(3-18)以XaT除上式兩端得：(3-19)上式兩邊分別為時(shí)間 和坐標(biāo)x的函數(shù)，只有兩邊都恒等于同一常數(shù)時(shí)等式才能成立，因而有：(3-20)(3-2

19、1)對式(3-20)積分得：由于時(shí)，T必須有限，故；令，式(3-20)和(3-21)成為：(3-22)(3-23)上面兩式的通解為：因而得：(3-24)式中 ；由邊界條件式(3-15)得：由上式得到B = 0，故式(3-24)成為：由邊界條件式(3-16)得：從而(3-25)由此可解出，但有無窮多個(gè)解，稱為特征值，分別為，它們對應(yīng)無窮多個(gè)特解：通解為所有特解之和：由初始條件可得：上式兩邊乘于cosmx，并在(0, )范圍內(nèi)對積分得：考慮式(3-25)和三角函數(shù)的性質(zhì)，上式右端當(dāng)m n時(shí)均為零，故得：故分析解為：(3-26)其中是由式(3-25)確定的特征值，是Bi數(shù)的函數(shù)，a / 2是傅里葉數(shù)

20、。這樣，可認(rèn)為無量綱過余溫度 /0是傅里葉數(shù)Fo、畢渥數(shù)Bi和無量綱距離x/ 的函數(shù)，表示為：得到了溫度分布，就可以計(jì)算非穩(wěn)態(tài)過程所傳遞的熱量。平板從初始溫度t0變化到周圍介質(zhì)溫度t，溫度變化為，放熱量為：(3-27)這是非穩(wěn)態(tài)過程所能傳遞的最大熱量。設(shè)從初始時(shí)刻至某一時(shí)刻所傳遞的熱量為Q，則有：故可得：(3-28)其中是時(shí)刻物體的平均過余溫度。2 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段由超越方程式(3-25)可知，無論Bi取任何值，根 都是正的遞增數(shù)列，所以從函數(shù)形式可以看出，式(3-26)是一個(gè)快速收斂的無窮級數(shù)。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)傅里葉數(shù)Fo 0.2時(shí)，取級數(shù)的第一項(xiàng)來近似整個(gè)級數(shù)產(chǎn)生的誤差小于1%，對

21、工程計(jì)算已足夠精確。因此，當(dāng)Fo 0.2時(shí)，可取級數(shù)的第一項(xiàng)來計(jì)算溫度分布：(3-29)而對超越方程式(3-25)，也只要求出第一個(gè)根1。表3-1給出了某些Bi數(shù)時(shí)1 的值。表3-1一些Bi數(shù)值下的1 值Bi0.010.050.10.51.05.01050100i0.09980.22170.31110.65330.86031.31381.42891.54001.55521.5708為了分析這時(shí)溫度分布的特點(diǎn)，將式(3-29)左右兩邊取對數(shù)，得：(3-30)圖3-7 正規(guī)狀況階段示意圖上式右邊第一項(xiàng)是時(shí)間 的線性函數(shù)， 的系數(shù)只與Bi有關(guān)，即只取決于第三類邊界條件、平壁的物性與幾何尺寸。而右邊的

22、第二項(xiàng)只與Bi、x/ 有關(guān)，與時(shí)間 無關(guān)。上式說明，當(dāng)，平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過余溫度的對數(shù)都隨時(shí)間線性變化，并且變化曲線的斜率都相等，如圖3-7所示。這一溫度變化階段稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段，在此之前的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱階段稱為非正規(guī)狀況階段。在正規(guī)狀況階段，初始溫度分布的影響已消失，各點(diǎn)的溫度都按式(3-29)的規(guī)律變化。 如果用m表示平壁中心()的過余溫度，則由式(3-29)可得：(3-31)及(3-32)可見，當(dāng)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段以后，雖然 和m都隨時(shí)間而變化，但它們的比值與時(shí)間無關(guān)，而僅與幾何位置x/ 及畢渥數(shù)Bi有關(guān)。即無論初始分布如何，無量綱溫度 /m都是一樣的。若將式(3-30)兩

23、邊對時(shí)間求導(dǎo)，可得：上式左邊是過余溫度對時(shí)間的相對變化率，稱為冷卻率（或加熱率）。上式說明，當(dāng)Fo 0.2，物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，所有各點(diǎn)的冷卻率或加熱率都相同，且不隨時(shí)間而變化，其值僅取決于物體的物性參數(shù)、幾何形狀與尺寸大小以及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。由式(3-32)令x = 可以計(jì)算平壁表面溫度和中心溫度的比值。又由表3-1可知，當(dāng)Bi 0.1時(shí)，1 0.95。即當(dāng)Bi 0.1時(shí)，平壁表面溫度和中心溫度的差別小于5%，可以近似認(rèn)為整個(gè)平壁溫度是均勻的。這就是3-2節(jié)集總參數(shù)法的界定值定為Bi 0.1的原因。如果界定值定為Bi 0.01，則1 0.995，平壁表面溫度和中心溫度的差別小于

24、0.5%，集總參數(shù)法的誤差就非常小。進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，所傳遞的熱量也容易計(jì)算，由于：可得出進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，從初始時(shí)刻至某一時(shí)刻所傳遞的熱量為：(3-33)現(xiàn)在討論一下分析解中所用的邊界條件。由式(3-11)和(3-15)可知，對平壁中心我們加了一個(gè)對稱條件；由于對稱條件和絕熱條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式是相同的，所以分析解適用于一側(cè)絕熱、另一側(cè)為第三類邊界條件、厚度為的一維平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。若要計(jì)算第一類邊界條件的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，則可令h ；當(dāng)表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為無窮大時(shí)，平壁表面溫度為流體溫度。故當(dāng)時(shí)，分析解就是物體表面溫度發(fā)生突然變化后保持不變，即第一類邊界條件的解。由表3-1可知，當(dāng)時(shí)，1 = /2，這

25、樣正規(guī)狀況階段第一類邊界條件下大平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布為：(3-34)其形式比第三類邊界條件的解更加簡單。3 一維圓柱及球體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱經(jīng)過分析，對于半徑為R的長圓柱和半徑為R的球體在第三類邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，可以導(dǎo)出和平壁形式類似的溫度分布3：式中系數(shù)An及函數(shù)fn列于表3-2中。表中J0和J1是第一類貝塞爾函數(shù)，其值可從附錄12中查出。Bi 和BiR分別為以 和R 為特征尺寸的畢渥數(shù)。表3-2 平壁、圓柱和球體的溫度分布級數(shù)中各項(xiàng)表達(dá)式Anfn確定n的方程平壁圓柱球體進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，即當(dāng)傅里葉數(shù)Fo 0.2時(shí)，無窮級數(shù)也可以用第一項(xiàng)來近似4，誤差小于1%。非穩(wěn)態(tài)過程中所傳遞

26、的熱量仍然按式(3-28)計(jì)算。進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，即當(dāng)傅里葉數(shù)Fo 0.2時(shí)，式中的可按下式計(jì)算：式中A1和1由表3-2中當(dāng)n = 1時(shí)得到，而對平壁、圓柱和球體，B1的計(jì)算式分別為：平壁：圓柱：球體：4近似算法及海斯勒圖 (1) 近似算法當(dāng)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，可以按上述方法計(jì)算平壁、圓柱和球體的溫度分布及傳熱量。然而，在計(jì)算第一特征值1時(shí)需要解表3-2中所列的超越方程，這有時(shí)也顯得很麻煩。因此，文獻(xiàn)5中對平壁、圓柱和球體的第一特征值1、系數(shù)A1和B1及零階第一類貝塞爾函數(shù)J0(x)提出了如下擬合公式：(3-35)(3-36)(3-37)(3-38)表3-3 式(3-35) (3-

27、38)中的常數(shù)幾何形狀名稱無限大平板無限長柱體球體特征值1a0.40220.17000.0988b0.91880.43490.2779系數(shù)A1a1.01011.00421.0003b0.25750.58770.9858c0.42710.40380.3191系數(shù)B1a1.000631.01731.0295b0.54750.59830.6481c0.34830.25740.1953表3-4 計(jì)算J0(x)的常數(shù)ABcd0.99670.03540.32590.0577而一階第一類貝塞爾函數(shù)J1(x)和零階第一類貝塞爾函數(shù)J0(x)的關(guān)系為：式(3-35)至(3-38)中的常數(shù)值列于表3-3及3-4中

28、。 (2) 采用海斯勒（Heisler）圖計(jì)算由于在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段只需計(jì)算級數(shù)的第一項(xiàng)，因此，工程技術(shù)界曾廣泛使用由此而繪制的諾莫圖計(jì)算溫度分布和傳熱量，其中用于確定溫度分布的圖線稱為海斯勒（Heisler）圖，由海斯勒6最先在1947年給出。對平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，由式(3-29)可知，即使在正規(guī)狀況階段， /0也仍然是Fo, Bi及x/的函數(shù)，即式中有四個(gè)變量， /0, Fo, Bi和x/，在一個(gè)圖中要表示四個(gè)變量是很困難的，而如果只表示三個(gè)變量就很容易，可用兩個(gè)坐標(biāo)加上圖中一個(gè)參量來完成。因此，海斯勒圖將 /0分解成兩項(xiàng)乘積，即由兩個(gè)圖來表示溫度分布：(3-39)式中右邊兩項(xiàng)可分別

29、由式(3-31)和(3-32)計(jì)算得到。由式(3-30)和(3-31)有下面函數(shù)關(guān)系：，對于平壁，上面兩個(gè)函數(shù)關(guān)系分別表示在圖3-8和3-9中。實(shí)際計(jì)算時(shí)，只需要根據(jù)Fo, Bi和x/ ，分別由這兩個(gè)圖查出m / 和 /m，就可由式(3-39)計(jì)算出 /0，從而得出溫度分布。進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，從初始時(shí)刻至某一時(shí)刻所傳遞的熱量由式(3-32)計(jì)算。由此式可以看出：式中只有三個(gè)變量，它們是Q/Q0, Bi及Bi2Fo，因此，只需一個(gè)圖就可以計(jì)算傳熱量，對于平壁，傳熱量的計(jì)算示于圖3-10中。對于無限長圓柱和球體，分析結(jié)果表明，當(dāng)Fo 0.2時(shí)，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程也都進(jìn)入正規(guī)狀況階段，分析解可以近似地

30、取無窮級數(shù)的第一項(xiàng)，其結(jié)果可以類似地制成諾模圖。無限長圓柱體的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的諾模圖如圖3-11至圖3-13所示，其使用方法和平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的諾模圖相同。更多的其它條件下的結(jié)果可參閱文獻(xiàn)7。例題3-3 一塊鋁板厚為50 mm，具有均勻的初始溫度t0=200 ，突然放入溫度為70 的對流環(huán)境中，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h = 525 W/(m2K)。對鋁板，導(dǎo)熱系數(shù)為 = 215 W/(mK)，密度為2700 kg/m3，比熱容為c = 948 J/(kgK)。求1 min后距離表面12.5 mm 處鋁板的溫度和此時(shí)單位面積鋁板上散出的總熱量。解 先求出畢渥數(shù)Bi和傅里葉數(shù)Fo：因而1/Bi = 1

31、6.38。熱擴(kuò)散率為 m2/sx / = 12.5/25 =0.5根據(jù)以上數(shù)據(jù)，由圖3-8查得：由圖3-9查得： 求1 min后距離表面12.5 mm 處鋁板的溫度為：要求總的散熱量，需要先求：由圖3-10查得：Q/Q0 = 0.41由式(3-27)：單位面積上傳遞的熱量為：討論：按式(3-31)直接計(jì)算，先由式(3-25)得出1 ：解得：由式(3-28)得：這一結(jié)果和查圖的結(jié)果0.5978相差不是很大。例題3-4 一塊厚100mm的鋼板放入溫度為1000 的爐中加熱。鋼板一面加熱，另一面可認(rèn)為是絕熱。鋼板的導(dǎo)熱系數(shù)為 = 34.8 W/(mK)，熱擴(kuò)散率為a = 0.555 10-5 m2/

32、s，初始溫度為t0=20，求受熱面加熱到500所需時(shí)間，及剖面上最大溫差。加熱過程的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h = 174 W/(m2K)。解 這一問題相當(dāng)于厚200 mm平板對稱受熱問題，必須先求m/0，再由m/0和Bi查圖3-8求Fo，從而得出加熱所需要的時(shí)間。由已知條件得：，從圖3-9查得：由此可算得中心溫度：由m/0和Bi從圖3-8查得Fo = 1.2，故加熱所需要的時(shí)間再求中心溫度，即絕熱面溫度，由于m/0 = 0.637，所以：剖面最大溫差為：討論：由m/0和Bi查圖3-8求Fo時(shí)，線條太緊密，不容易得到精確的結(jié)果，可考慮按式(3-29)直接計(jì)算，同樣先求Bi數(shù)和w/0：，查表3-1得1 =

33、 0.6533，由式(3-28)：解得Fo = 1.196. 可見，直接計(jì)算的關(guān)鍵在于獲得1 ，若不能由表3-1查得1 ，則其值必須解超越方程式(3-25)得到。圖3-8 厚度為2 的無限大平壁的中心溫度諾莫圖圖3-9 厚度為2的無限大平壁 /m曲線圖3-10 厚度為2的無限大平壁Q /Q0曲線圖3-11 無限長圓柱體中心溫度m/0圖圖3-12 無限長圓柱體的/m圖圖3-13 無限長圓柱體的Q/Q0圖*3.4 半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱半無限大物體指的是在x=0處有固定的邊界，可以向x軸正方向及y、z方向無限延伸的物體。1第一類邊界條件如圖3-14所示一半無限大物體，初始溫度均勻?yàn)閠0，在時(shí)刻，

34、x=0的表面溫度突然升高到tw并保持不變，我們來確定物體內(nèi)部溫度分布，并由此確定任一位置處的熱流量。描述這一問題的微分方程和邊界條件為：(3-40)：(3-41)：(3-42)：(3-43)由拉普拉斯變換可得這一問題的分析解為：(3-44) 圖3-14 半無限大物體示意圖 圖3-15 半無限大物體中的溫度分布其中無量綱變量，稱為誤差函數(shù)其值見附錄13。這樣便得到半無限大物體中的溫度分布，如圖3-15所示。由附錄13，當(dāng) = 2時(shí)，erf() = 0.99532, 從而 / 0 = 99.53%；故當(dāng)，即時(shí)，x處的溫度仍為t0，由此得兩個(gè)重要參數(shù)：（1）幾何位置：如果，則時(shí)刻x處的溫度可認(rèn)為尚未

35、變化。由這一結(jié)果可將半無限大物體提升為一個(gè)概念，即對初始溫度均勻，厚度為的平壁，當(dāng)一個(gè)側(cè)面的溫度突然變化到另一個(gè)溫度時(shí)，若，則在時(shí)刻之前平壁可采用半無限大模型。（2）惰性時(shí)間如果時(shí)間，則此時(shí)x處的溫度可認(rèn)為完全不變，故稱為惰性時(shí)間。有了溫度分布后，任一時(shí)刻半無限大物體任一位置處的熱流密度為：(3-45)表面處的熱流密度為：(3-46)在時(shí)間內(nèi)流過面積為A的表面的總熱量為：(3-47)式中稱為吸熱系數(shù)，代表物體的吸熱能力。式(3-46)和(3-47)表明，對半無限大物體在第一類邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，界面上的瞬時(shí)熱流量與時(shí)間的平方根成反比，而在0, 時(shí)間內(nèi)交換的總熱量則與時(shí)間的平方根成正比。2第

36、三類邊界條件對前面的半無限大物體，若初始溫度分布同樣均勻?yàn)閠0，在時(shí)刻，x=0的表面突然加上一恒定熱流密度q0并保持不變，則初始條件和邊界條件為：(3-48)：(3-49)：(3-50)這一問題的解為8：(3-51)3.5 二維及三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析一些特殊條件下的二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱可以得出分析解。這些二維和三維物體可以看成是由兩個(gè)或三個(gè)無限大平壁垂直相交、或由無限大平壁和無限長圓柱垂直相交而成。例如，矩形截面的無限長柱體可以由兩個(gè)無限大平壁垂直相交而成；矩形截面的有限長柱體（或稱垂直六面體）是由三個(gè)無限大平壁垂直相交而成；有限長圓柱是由一個(gè)無限長圓柱和一個(gè)無限大平壁垂直相交而成，如圖3-16

37、所示。圖3-16幾種特殊形狀的物體圖3-17無限長方柱體的坐標(biāo)選取考慮一二維、第三類邊界條件下的無限長方柱體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。柱體的橫截面邊長分別為21和22（如圖3-17所示），初始溫度為t0，過程開始時(shí)將其置于溫度為的流體中，柱體和流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h已知。由對稱性可只考慮四分之一個(gè)截面，微分方程及定解條件為：(3-52)式中初始條件為：(3-53)邊界條件為：(3-54)(3-55)(3-56)(3-57)我們先不急于求解上面的定解問題，而考慮兩塊單獨(dú)的無限大平板在第三類條件下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，兩平板的厚度分別為21和22，定解條件與方柱體相同。若分別以無量綱過余溫度 及來表示它們的溫度分

38、布，那么它們必須滿足各自的微分方程及定解條件，即：對平板1：(3-58)初始條件：(3-59)邊界條件：(3-60)(3-61)對平板2：(3-62)初始條件：(3-63)邊界條件：(3-64)(3-65)現(xiàn)在來證明上面兩個(gè)解的乘積就是無限長方柱體的解，即：(3-66)首先證明式(3-66)滿足微分方程式(3-52)：故微分方程得到滿足。下面再證明式(3-66)滿足定解條件式(3-53)至(3-57)：故式(3-53)滿足。進(jìn)一步，證明式(3-54)也得到滿足：同理可以證明式(3-66)也滿足定解條件式(3-55)至(3-57)，從而證明了確實(shí)是無限長方柱體的導(dǎo)熱微分方程的解。這一方法稱為乘積

39、法。乘積法可適用第一類邊界條件中邊界溫度為定值且初始溫度為常數(shù)的情況，但并不適用于一切邊界條件。表3-5中給出了一些用乘積法表示的二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的溫度分布。表中P(x, )為無限大平板的無量綱溫度函數(shù)，S(x, )為半無限大物體的無量綱溫度函數(shù)，C(r, )為無限長圓柱體的無量綱溫度函數(shù)。表3-5二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的乘積法2122xy無限長方柱體212223xyz垂直六面體21xz半無限高平板2r0rz半無限長圓柱體2122xyz半無限長方柱體2r02rz短圓柱體思 考 題1. 什么是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段？有什么特點(diǎn)？2. 請寫出傅里葉數(shù)及畢渥數(shù)的表達(dá)式并說明它們的物理意義

40、。3. 試以第三類邊界條件下無限大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例說明傅里葉數(shù)及畢渥數(shù)對平板內(nèi)溫度分布的影響。4. 初溫為t0、厚為 的大平壁側(cè)絕熱，另一側(cè)：(a)與溫度為t1 (t1 t0)的流體相接觸；(b)壁面溫度突然升高為t1。試畫出幾個(gè)時(shí)刻大平壁內(nèi)的溫度分布曲線，并比較其異同*5. 有人認(rèn)為，雖然圖39中 /m與Fo數(shù)無關(guān)，但實(shí)際上經(jīng)歷的時(shí)間不同 /m也應(yīng)不同，當(dāng)時(shí)間趨于無限大時(shí) /m應(yīng)趨于1，且各處溫度均應(yīng)趨于流體溫度，因此該圖不能用于時(shí)間甚大的情形。您對這一種說法有什么看法?6. 什么是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的集總參數(shù)法？其使用條件是什么？7. 有人說對于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，當(dāng)Bi 0.1時(shí)用諾莫圖求解，您

41、對這種說法有什么看法?8. 某同學(xué)擬用集總參數(shù)分析法求解一長圓柱的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，為此他算出了Fo數(shù)和Bi數(shù)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，算出的Bi數(shù)值不滿足使用該法的條件。于是又改用Bi數(shù)及Fo數(shù)查諾莫圖算出答案。這答案對么?為什么?習(xí) 題3-1 一熱電偶的cV/A之值為2.094 kJ/(m2K)，初始溫度為20，后將其置于320的氣流中。試計(jì)算在氣流與熱電偶之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為58 W/(m2K)及116 W/(m2K)的兩種情形下，熱電偶的時(shí)間常數(shù)，并畫出兩種情形下熱電偶讀數(shù)的過余溫度隨時(shí)間的變化曲線。3-2 一重量為5.5 kg的鋁球，初始溫度為290，突然浸入15的流體中，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為58 W/(

42、m2K)。求鋁球冷卻到90所需要的時(shí)間。3-3 一厚10 mm的大平壁(滿足集總參數(shù)分析法求解的條件)，初溫為300，密度為7800 kg/m3，比熱容為0.47 kJ/(kg)，導(dǎo)熱系數(shù)為45 W/(mK)，一側(cè)有恒定熱流q = 100 W/m2流入，另一側(cè)與20的空氣對流換熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為70 W/(m2K)。試求3min后平壁的溫度。3-4 有一塊金屬，外表面積為0.03 m2，體積為0.00045m3，導(dǎo)熱系數(shù)為30 W/(mK)，熱擴(kuò)散率為1.25 10-6 m2/s，初始溫度為20，過程開始時(shí)用一電鋸緩慢把它等分成兩半。電機(jī)消耗的功率為500 W。與此同時(shí)，金屬表面被18的冷卻液

43、冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為100 W/(m2K)。試求：(1) 15 min后金屬的溫度；(2)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)金屬的溫度。設(shè)本題可用集總參數(shù)法求解。3-5 一具有內(nèi)部加熱裝置的物體與空氣處于熱平衡。在某一瞬間，加熱裝置投入工作，其作用相當(dāng)于強(qiáng)度為的內(nèi)熱源。設(shè)物體與周圍環(huán)境的表面?zhèn)飨禂?shù)為常數(shù)h，內(nèi)熱阻可以忽略，其他幾何、物性參數(shù)均已知，試列出其溫度隨時(shí)間變化的微分方程式并求解之。3-6 一直徑為50 mm的長銅棒，加熱到32后，浸入到1.5的液槽中。若經(jīng)3分鐘后，棒的溫度為4.5試求對流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。已知銅棒的熱物性參數(shù)為 = 8900 kg/m3，c = 380 J/(kg)， = 380 W/(

44、mK)。3-7 一根體溫計(jì)的水銀泡長10 mm，直徑4 mm，護(hù)士將它放入病人口中之前，水銀泡維持18；放入病人口中時(shí)，水銀泡表面的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為85 W/(m2K)。如果要求測溫誤差不超過0.2，試求體溫計(jì)放入口中后，至少需要多長時(shí)間，才能將它從體溫為394的病人口中取出。已知水銀泡的物性參數(shù)為 = 13520 kg/m3，c = 139.4 J/(kg)， = 8.14 W/(mK)。3-8 一塊厚20 mm的鋼板加熱到500后置于20的空氣中冷卻。設(shè)冷卻過程中鋼板兩側(cè)面的平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為35 W/(m2K)，鋼板的導(dǎo)熱系數(shù)為45 W/(mK)，熱擴(kuò)散率為1.37 10-5 m2/s，試

45、確定使鋼板冷卻到與空氣相差10時(shí)所需的時(shí)間。3-9 熱處理工藝中，用銀球試樣來測定淬火介質(zhì)在不同條件下的冷卻能力。今有兩個(gè)直徑為20 mm的銀球，加熱到650后分別置于20的盛有靜止水的大容器及20的循環(huán)水中。用熱電偶測得，當(dāng)銀球中心溫度從650變化到450時(shí)，其降溫速率分別為180/s及360/s。試確定兩種情況下銀球表面與水之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。已知在上述溫度范圍內(nèi)銀的物性參數(shù)為 = 10500 kg/m3，c = 262 J/(kg)， = 360 W/(mK)。3-10 設(shè)有五塊厚30 mm的無限大平板，分別由銀、銅、鋼、玻璃及軟木做成，初始溫度為20，兩側(cè)面溫度突然上升到60，試計(jì)算使

46、中心溫度上升到56各板所需的時(shí)間。五種材料的熱擴(kuò)散率依次為170 10-6 m2/s、103 10-6 m2/s、12.9 10-6 m2/s、0.59 10-6 m2/s和0.155 10-6 m2/s。由此計(jì)算你可以得出什么結(jié)論？3-11 一塊厚30 mm的大銅板，初始溫度為300，突然將其一側(cè)面置于80的流體中，而另一側(cè)面絕熱。6 min時(shí)，冷卻面的溫度降為140。試計(jì)算對流表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。3-12 一塊厚10 mm的大鋁板，初始溫度為400，突然將其浸入90的流體中，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為1400 W/(m2K)。試求使鋁板中心溫度降低到180所需要的時(shí)間。3-13 一截面尺寸為10cm5cm的

47、長鋼棒（18-20Cr/8-12Ni），初始溫度為20，然后長邊的一側(cè)突然被置于200的氣流中，h = 125 W/(m2K)，而另外三個(gè)側(cè)面絕熱。試確定6min后長邊的另一側(cè)中點(diǎn)的溫度。鋼棒的、c、可近似的取用20時(shí)之值。3-14 一直徑為11 mm的長鋁棒，初始溫度為300，突然將其浸入50的流體中，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為1200 W/(m2K)。試求使鋁棒中心溫度降低到80所需要的時(shí)間，并計(jì)算單位長鋁棒的傳熱量。3-15 一直徑為10 mm的碳鋼球，初始溫度為220，突然將其浸入10的油中，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為5000 W/(m2K)。試求使鋼球中心溫度降低到120所需要的時(shí)間。3-16 一直徑為0.

48、3 m的長圓柱形鋼坯，被水平地送入6 m長的爐子，且勻速前進(jìn)。進(jìn)爐前鋼坯溫度為200，爐內(nèi)氣體溫度為1500，與鋼坯間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為102 W/(m2K)。要求鋼坯中心線溫度加熱到不低于750，試求鋼坯連續(xù)經(jīng)過爐子的最大速度。設(shè)a = 1.5 10-5 m2/s, = 52 W/(mK)。3-17 一種測量導(dǎo)熱系數(shù)的瞬態(tài)法是基于半無限大物體的導(dǎo)熱過程而設(shè)計(jì)的。設(shè)有一塊厚金屬，初溫為30，然后其一側(cè)表面突然與溫度為100的沸水相接觸。在離開此表面10 mm處由熱電偶測得2 min后該處的溫度為65。已知材料的密度為2200 kg/m3，比熱容為700 J/(kgK)，試計(jì)算該材料的導(dǎo)熱系數(shù)。3-18 夏天高