高等數(shù)學作業(yè)

1、PAGE PAGE 55高等數(shù)學作業(yè)A吉林大學公共數(shù)學教學與研究中心2013年3月第一次作業(yè)學院 班級 姓名 學號 一、單項選擇題1下列反常積分收斂的是( ) （A）；（B）； （C）；（D）2下列反常積分發(fā)散的是( ) （A）； （B）； （C）； （D）3設(shè)、在上連續(xù)，則由曲線，直線所圍成平面圖形的面積為( ) （A）； （B）； （C）； （D）4設(shè)曲線與直線所圍圖形面積為S，則下列各式中，錯誤的是 ( ) （A）； （B）； （C）； （D）5設(shè)點是曲線上一點，記是直線OA（O為原點）與曲線所圍成圖形的面積，則當時，與( ) （A）為同階無窮??； （B）為同階無窮小； （C）為同階無窮

2、小； （D）為同階無窮小6設(shè)（常數(shù)），則由所圍圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所形成的立體的體積等于( ) （A）； （B）； （C）； （D）二、填空題1已知反常積分收斂，且值為1，則 2 反常積分，當滿足條件 時收斂 5由曲線所圍成的平面圖形面積為 三、計算題1用定義判斷無窮積分的收斂性，如果收斂則計算積分值2判斷反常積分的收斂性：3用定義判斷反常積分的收斂性，如果收斂則計算積分值4求由曲線與圍成圖形的面積5計算由軸，曲線及其經(jīng)過原點的切線圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所生成立體體積6求擺線的一拱的長度以及擺線與軸所圍圖形的面積7在曲線上某點A處作一切線，使之與曲線以軸所圍圖形的面積為，試求：（1）切點A的坐標；（

3、2）過切點A的切線方程；（3）由上述所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成旋轉(zhuǎn)體體積8半徑為的球沉入水中，球的頂部與水面相切，球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中提出，問需作多少功？第二次作業(yè)學院 班級 姓名 學號 一、單項選擇題1平面（ ）（A）平行于yoz平面；（B）平行于x軸；（C）平行于xoz面；（D）平行于xoy平面2平面與曲面（ ）（A）不相交；（B）交于一點；（C）交線為一個橢圓；（D）交線為一條拋物線3方程所表示的曲面為（ ）（A）橢球面；（B）柱面；（C）雙曲拋物面；（D）旋轉(zhuǎn)拋物面4過點且與平面垂直的直線方程是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）5設(shè)有直線與，則L1與L2的夾角為（ ）（

4、A）；（B）；（C）；（D）6設(shè)有直線及平面，則直線L（ ） （A）平行于；（B）在上；（C）垂直于；（D）與斜交二、填空題1設(shè)均為非零向量，且，則a與b的夾角為 2與直線平行的單位向量為 3點到平面的距離為 4若，且a，b間夾角為，則 ， 5xoz平面上的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 6曲線在xoy面上的投影曲線方程為 7已知向量a，b，c兩兩相互垂直，且，則有 三、計算題1求過直線，且平行于直線的平面的方程2求點到直線的距離3設(shè)空間三點，求三角形ABC的面積4求過平面和平面的交線，并切于球面的平面方程5設(shè)有直線，平面求直線L與平面的夾角；如果L與相交，求交點6模長為2的向量與軸

5、的夾角是，與軸的夾角是，試求向量的坐標第三次作業(yè)學院 班級 姓名 學號 一、單項選擇題1（ ） （A）；（B）0；（C）；（D）不存在2二元函數(shù)在處（ ） （A）連續(xù)，偏導數(shù)存在；（B）連續(xù)，偏導數(shù)不存在； （C）不連續(xù)，偏導數(shù)存在；（D）不連續(xù)，偏導數(shù)不存在3設(shè)，在下列求的方法中，不正確的一種是（ ） （A）因，故；（B）因，故；（C）因，故；（D）4若的點處的兩個偏導數(shù)都存在，則（ ） （A）在點的某個鄰域內(nèi)有界；（B）在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù)； （C）在點處連續(xù)，在點處連續(xù)；（D）在點處連續(xù)5設(shè)，且，則為（ ） （A）； （B）； （C）； （D）二、填空題1的定義域為 2 3設(shè)，則 ， 4

6、設(shè)，則 5設(shè)，則 三、計算題1已知，且當時，求及的表達式2討論函數(shù) 的連續(xù)性3設(shè)，求4求的偏導數(shù)四、證明題1設(shè)，驗證：當時，有2證明函數(shù)在點(0, 0)處：（1）連續(xù)；（2）偏導數(shù)存在；（3）不可微第四次作業(yè)學院 班級 姓名 學號 一、單項選擇題1設(shè)，其中為可導函數(shù)，則=（ ） （A）；（B）； （C）；（D）2設(shè)方程確定z是x，y的函數(shù)，F(xiàn)是可微函數(shù)，則=（ ） （A）；（B）；（C）；（D）3設(shè)都由方程所確定的隱函數(shù)，則下列等式中，不正確的一個是（ ） （A）；（B）； （C）；（D）4設(shè)都是可微函數(shù)，C為常數(shù)，則在下列梯度運算式中，有錯誤的是（ ） （A）；（B）； （C）；（D） 5，

7、而，且函數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù)，則 ( ) （A）；（B）；（C）；（D）6函數(shù)在點處沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在是它在點處的兩個偏導數(shù)都存在的( )條件 （A）充分必要；（B）必要非充分；（C）充分非必要；（D）既非充分又非必要二、填空題1已知，則在點（1, 2）處對x的偏導數(shù)為 2由方程所確定的隱函數(shù)在點（1, 1）處的全微分為 3在點（0, 0）處沿x軸正向的方向?qū)?shù)為 4函數(shù)在點處的方向?qū)?shù)的最大值等于 三、計算與解答題1設(shè)f是C(2)類函數(shù)，求 2設(shè)，求 3設(shè)f，是C(2)類函數(shù)，證明：（1）； （2）4設(shè)，求5設(shè)求6設(shè)，其中求f，是C(1)類函數(shù)，求7求函數(shù)的點(1, 2)處沿著拋物線的

8、該點切線方向的方向?qū)?shù)第五次作業(yè)學院 班級 姓名 學號 一、單項選擇題1在曲線的所有切線中，與平面平行的切線( ) （A）只有一條；（B）只有兩條；（C）至少有三條；（D）不存在2設(shè)函數(shù)在點(0, 0)附近有定義，且，則( ) （A）；（B）曲面在點的法向量為；（C）曲線在點的切向量為；（D）曲線在點的切向量為3曲面的任一點處的切平面 ( ) （A）垂直于一定直線；（B）平等于一定平面；（C）與一定坐標面成定角；（D）平行于一定直線4設(shè)在平面有界閉區(qū)域D上是C(2)類函數(shù)，且滿足及，則的 ( ) （A）最大值點和最小值點必定都在D的內(nèi)部；（B）最大值點和最小值點必定都在D的邊界上；（C）最大值

9、點在D的內(nèi)部，最小值點在D的邊界上；（D）最小值點在D的內(nèi)部，最得到值點在D的邊界上5函數(shù)滿足條件的條件極值為 ( ) （A）1；（B）0；（C）；（D）二、填空題1如果曲面在點M處的切平面平行于平面，則切點M的坐標是 曲面與平面的交線在處的切線與軸正向所成的角為 曲線在點處的法平面方程是 在條件下的極小值是 函數(shù)在點處沿曲面在該點的外法線方向的方向?qū)?shù)是 三、計算題1求曲線在點處的切線方程2過直線作曲面的切平面，求其方程3證明曲面上任意點處的切平面在各個坐標軸上的截距平方和等于4求函數(shù)的極值5求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值6求曲面的一個切平面，使其在三個坐標軸上的截距之積為最大階段測試題學院

10、 班級 姓名 學號 一、單項選擇題（每小題3分，滿分18分）1曲面與（）的交線是（ ）（A）拋物線（B）雙曲線（C）橢圓（D）圓2極限（ ）（A）為0（B）為1（C）為（D）不存在3雙紐線所圍成區(qū)域面積可用定積分表示為（ ）（A）（B）（C）（D）4曲線在點處的切線必平行于（ ）（A）平面（B）平面（C）平面（D）平面5的處的梯度等于（ ）（A）（B）（C）（D）6已知、在（0，0）連續(xù)，則在（0，0）處，在處（ ）（A）均連續(xù)（B）均不一定連續(xù)（C）均不連續(xù)（D）一定連續(xù)，不一定連續(xù)二、填空題（每小題3分，滿分21分）1 2若向量與的和與差的模相等，則 3已知，則 ， 4在點處沿= 方向的方

11、向?qū)?shù)最大，方向?qū)?shù)的最大值為 5設(shè)，其中，則 6曲面與平面的交線在處的切線與軸正向所成的角為 7設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則 三、解答題（每小題8分，滿分40分）1判斷反常積分的收斂性，如果收斂則計算積分值2設(shè)直線在平面上，且平面又與曲面相切于點，求的值3求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線所圍成的圖形面積最小4，其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，g具有二階導數(shù)。求5已知，而是由方程確定的的函數(shù)，求四、證明題（滿分7分）證明函數(shù)在點（0, 0）處可微，但偏導數(shù)在點（0, 0）處不連續(xù)五、應用題（每小題7分，滿分14分）1求內(nèi)接于橢球面，且棱平行于對稱軸的體積最大的長方體2用鐵錘將鐵釘擊入木板，設(shè)

12、木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比，在鐵錘擊第一次時，能將鐵釘擊入木板內(nèi)1cm，如果鐵錘每次打擊所作的功相等，問鐵錘第二次能把鐵釘又擊入多少厘米？第六次作業(yè)學院 班級 姓名 學號 一、單項選擇題1設(shè)連續(xù)，且，其中D是由，所圍區(qū)域，則等于( ) （A）；（B）；（C）；（D）2設(shè)D是xOy平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)為頂點的三角形區(qū)域，D1是D的第一象限部分，則等于( ) （A）；（B）； （C）；（D）03設(shè)平面區(qū)域是在區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則等于 ( ) （A）；（B）；（C）；（D）設(shè)平面區(qū)域，則有( ) （A）；（B）；（C）；（D）5設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，

13、則 ( ) （A）不存在；（B）；（C）；（D） 二、填空題1積分 2交換積分次序： 3設(shè)區(qū)域D為，則 4設(shè)區(qū)域D為，則 設(shè)D為，則二重積分在極坐標中先r后的二次積分為 設(shè)D是由曲線與所圍成的區(qū)域，則 三、計算題1計算，其中D是由直線所圍成的三角形區(qū)域2計算，其中D是由和所圍成的區(qū)域3計算，其中求設(shè)函數(shù)在區(qū)間0, 1上連續(xù)，并設(shè)，設(shè)計算，其中四、應用題求位于兩圓之間的均勻平面薄片的重心五、證明題設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且恒大于零，證明第七次作業(yè)學院 班級 姓名 學號 一、單項選擇題1設(shè)有空間區(qū)域及，則( ) （A）； （B）；（C）； （D）2設(shè)由平面圍成，則( ) （A）；（B）；（C）；（D）

14、3設(shè)有空間區(qū)域，則等于( ) （A）；（B）；（C）；（D）4設(shè)為球域：，則( ) （A）不存在；（B）；（C）；（D）15設(shè)由曲面圍成將，則和三重積分化為球面坐標系下三次積分為( ) （A）；（B）；（C）；（D）二、填空題1直角坐標中三次積分在柱面坐標中先z再r后順序的三次積分是 2設(shè)就由曲面與所圍成的區(qū)域，則 3設(shè)，則當時， 4設(shè)就由平面及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域，則 5設(shè)為，則 6橢球體的體積為 三、計算題1計算，其中是由曲面與平面和所圍成的閉或區(qū)域2計算，其中3計算，其中是由曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的立體4設(shè)，其中在可導，且，求5設(shè)，求6計算積分7利用函數(shù)，B函數(shù)計算

15、積分四、應用題設(shè)曲面和圍成立體，其密度為1，求繞z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量綜合練習題學院 班級 姓名 學號 一、單項選擇題1曲線所圍圖形的面積等于( ) （A）； （B）； （C）； （D）2與z軸垂直，則滿足條件（ ） （A）；（B）；（C）；（D）3函數(shù)在點(0, 0)處 ( ) （A）不連續(xù)；（B）偏導數(shù)存在；（C）沿任一方向的方向?qū)?shù)存在；（D）可微4設(shè)，且則為（ ） （A）；（B）； （C）；（D）5設(shè)D由和圍成，則（ ）（A）0（B）1（C）2/3（D）4/36設(shè)由圍成，則三重積分化為柱面坐標系下三次積分為（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空題1由曲線和所圍圖形面積為，則 2已知a，b，

16、c都是單位向量，且滿足，則 3函數(shù)在點連續(xù)且可偏導，是在點可微的 條件4設(shè)，則 5設(shè)函數(shù)，其中具有二階導數(shù)，具有一階導數(shù)，則 6設(shè)為由，圍成的空間區(qū)域，為常數(shù)，則 7設(shè)，改變積分次序 ；化為極坐標下二次積分為 三、計算題1求過點，平行于平面，且與直線相交的直線方程2計算設(shè)，f具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求設(shè)，是由方程和確定的函數(shù)，其中和F分別具有一階連續(xù)導數(shù)和一階連續(xù)偏導數(shù)，求求，其中為球體設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值7設(shè)連續(xù)，其中，求，四、應用題1在第一卦限內(nèi)作球面的切平面，使該切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積最小，求這切平面的切點2一容器的內(nèi)表面是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面如果以(m

17、3/s)的速率注水，求水面高度(m)時，水面上升的速率五、證明題設(shè)D由軸，軸，直線圍成，證明：.綜合模擬題（一）學院 班級 姓名 學號 一、選擇題(共5道小題，每小題3分，滿分15分)1. 下列方程表示拋物面的是( ) （A）；（B）； （C）；（D）2. 函數(shù)的極小值點是（ ）（A）（1,1）； （B）（0,0）； （C）（0,1）； （D）（1,0）.3. 設(shè)山坡的高度為，一個登山者在山坡上點處，他決定沿最陡的道路向上攀登，則他應當選取的方向l是（ ）（A）l=； （B）l=； （C）l=； （D）l=.4. 設(shè)隱函數(shù)由方程所確定，其中可微，且，則（ ）(A) ； （B） ； (C) 0；

18、 (D) .5. 由曲面與所圍成的立體體積等于（ ）（A）； （B）；（C）； （D）二、填空題(共5道小題，每小題3分，滿分15分)1. 與兩條直線及都平行，且過原點的平面方程為 . 2. 曲線在點處的切線的方向向量為 .3. 設(shè)函數(shù)，則 .4設(shè)函數(shù)，則 .5設(shè)D是由直線所圍成的平面閉區(qū)域，則二重積分 三、(滿分6分) 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求.四、解答下列各題(共4個小題，每小題8分，滿分32分) 1. 求由曲線與及軸所圍成的平面圖形的面積和該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.2.若點M與關(guān)于直線對稱，求M的坐標3. 求由方程組所確定的隱函數(shù)的偏導數(shù).4. 求函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值和最小值.五、解答下列各題(共4個小題，每小題8分，滿分32分) 1. 判別的斂散性.2. 計算二重積分，其中D為圓域在第一象限的部分.3. 計算三重積分,其中是由圓錐面與平面圍成的閉區(qū)域.4. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，證明：綜合模擬題（二）學院 班級 姓名 學號 一、單項選擇題（每小題3分，滿分15分