函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性課件

1、主要內(nèi)容：第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法;二、曲線的凹凸性、拐點(diǎn);三、函數(shù)凹凸性的判定法. f (x)0 f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)減少 由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x1x0 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 這就證明了函數(shù)f(x)在a b上單調(diào)增加 證明 只證(1) 在a b上任取兩點(diǎn)x1

2、 x2(x1x2) 在( 0)內(nèi)y0 函數(shù) 在0 )上單調(diào)增加 解 函數(shù)yexx1的定義域?yàn)? ) yex1 例1 討論函數(shù) yex x1的單調(diào)性 定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0時 y0 所以函數(shù)在( 0 上單調(diào)減少 因?yàn)閤0時 y0 因此函數(shù)yx3在區(qū)間( 0及0, )上都是單調(diào)增加的 從而函數(shù)在整個定義域( )內(nèi)是單調(diào)增加的 問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段

3、位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性定義 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù) 對I上任意兩點(diǎn)x1 x2 如果恒有 那么稱f(x)在I上的圖形是凹的 那么稱f(x)在I上的圖形是凸的 如果恒有 觀察與思考: f(x)的圖形的凹凸性與f (x)的單調(diào)性的關(guān)系. 1) f(x)的圖形是凹的 2) f(x)的圖形是凸的 f (x)單調(diào)增加; f (x)單調(diào)減少.定理2(曲線凹凸性的判定法) 設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸

4、的 例5 判斷曲線yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因?yàn)楫?dāng)x0時 y0時 y0 所以曲線在0 )上是凹的 定理2(曲線凹凸性的判定法) 設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的 拐點(diǎn) 連續(xù)曲線yf(x)上凹弧與凸弧的連接點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn) 拐點(diǎn)討論 如何確定曲線yf(x)的拐點(diǎn)？ 如果(x0, f(x0)是拐點(diǎn), 且f (x0)存在, 問f (x0)=？ 如何找可能的拐點(diǎn)？討論 曲線yx4是否有拐點(diǎn)？ 例6 解 二階導(dǎo)數(shù)無零點(diǎn); 當(dāng)x0時, 二階導(dǎo)數(shù)不存在 因?yàn)楫?dāng)x0 當(dāng)x0時 y0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的 課堂練習(xí)：（2）確定函數(shù)f(x)2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間 凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)單調(diào)增加證明 （1）證明: 當(dāng) 時,于是即因此xf (x)f (x)（2）確定函數(shù)f(x)2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間 解:函數(shù)的定義域?yàn)? ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 導(dǎo)數(shù)為零的