可靠性模型匯總課件

1、可靠性模型Reliability Model8/9/20221系統(tǒng)可靠性模型建立-1可靠性模型有關(guān)術(shù)語及定義基本可靠性模型任務(wù)可靠性模型建立系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型的程序系統(tǒng)功能分析典型的可靠性模型8/9/20222系統(tǒng)可靠性模型建立-2不可修系統(tǒng)可靠性模型虛單元不含橋聯(lián)的復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型含橋聯(lián)的復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型建模實(shí)例：某衛(wèi)星過渡軌道、同步及準(zhǔn)同步軌道任務(wù)可靠性系統(tǒng)任務(wù)可靠性建模的注意事項8/9/20223系統(tǒng)、單元產(chǎn)品系統(tǒng)由相互作用和相互依賴的若干單元結(jié)合成的具有特定功能的有機(jī)整體。“系統(tǒng)”、“單元”相對概念可以是按產(chǎn)品層次劃分：零部件、組件、設(shè)備、分系統(tǒng)、系統(tǒng)、裝備中任何相對的兩層

2、“系統(tǒng)”包含“單元”，其層次高于“單元”產(chǎn)品可以指任何層次。 8/9/20224模型原理圖反映了系統(tǒng)及其組成單元之間的物理上的連接與組合關(guān)系 功能框圖、功能流程圖 反映了系統(tǒng)及其組成單元之間的功能關(guān)系 系統(tǒng)的原理圖、功能框圖和功能流程圖是建立系統(tǒng)可靠性模型的基礎(chǔ) 8/9/20225可靠性模型 描述了系統(tǒng)及其組成單元之間的故障邏輯關(guān)系多種可靠性建模方法 :可靠性框圖網(wǎng)絡(luò)可靠性模型故障樹模型事件樹模型馬爾可夫模型Petri網(wǎng)模型GO圖模型 可靠性框圖模型 8/9/20226可靠性框圖 為預(yù)計或估算產(chǎn)品的可靠性所建立的可靠性方框圖和數(shù)學(xué)模型。 方框：產(chǎn)品或功能邏輯關(guān)系：功能布局連線：系統(tǒng)功能流程的方

3、向 無向的連線意味著是雙向的。 節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)可以在需要時才加以標(biāo)注）輸入節(jié)點(diǎn)：系統(tǒng)功能流程的起點(diǎn) 輸出節(jié)點(diǎn)：系統(tǒng)功能流程的終點(diǎn) 中間節(jié)點(diǎn) 圖例8/9/20227可靠性模型示例可靠性框圖（收音機(jī)）可靠性數(shù)學(xué)模型8/9/20228基本可靠性模型基本可靠性模型用以估計產(chǎn)品及其組成單元發(fā)生故障所引起的維修及保障要求的可靠性模型。 度量使用費(fèi)用 全串聯(lián)模型 儲備單元越多，系統(tǒng)的基本可靠性（無故障持續(xù)時間和概率）越低8/9/20229任務(wù)可靠性模型任務(wù)可靠性模型用以估計產(chǎn)品在執(zhí)行任務(wù)過程中完成規(guī)定功能的概率（在規(guī)定任務(wù)剖面中完成規(guī)定任務(wù)功能的能力），描述完成任務(wù)過程中產(chǎn)品各單元的預(yù)定作用，用以度量工作有效性

4、的一種可靠性模型。系統(tǒng)中儲備單元越多，則其任務(wù)可靠性越高。注意事項模型描述的是各單元之間的可靠性邏輯關(guān)系8/9/202210基本可靠性模型任務(wù)可靠性模型在進(jìn)行設(shè)計時，根據(jù)要求同時建立基本可靠性及任務(wù)可靠性模型的目的在于，需要在人力、物力、費(fèi)用和任務(wù)之間進(jìn)行權(quán)衡。設(shè)計者的責(zé)任就是要在不同的設(shè)計方案中利用基本可靠性及任務(wù)可靠性模型進(jìn)行權(quán)衡，在一定的條件下得到最合理的設(shè)計方案。為正確地建立系統(tǒng)的任務(wù)可靠性模型，必須對系統(tǒng)的構(gòu)成、原理、功能、接口等各方面有深入的理解。 8/9/202211F18基本可靠性模型8/9/202212F18任務(wù)可靠性模型8/9/202213可靠性邏輯關(guān)系8/9/202214

5、建立系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型的程序 建模步驟1、規(guī)定產(chǎn)品定義（1）確定任務(wù)和功能功能分析（2）確定工作模式（3）規(guī)定性能參數(shù)及范圍故障定義（4）確定物理界限與功能接口（5）確定故障判據(jù)（6）確定壽命剖面及任務(wù)剖面時間及環(huán)境條件分析2.建立可靠性框圖（7）明確建模任務(wù)并確定限制條件（8）建立系統(tǒng)可靠性框圖3.確定數(shù)學(xué)模型（9）確定未列入模型的單元（10）系統(tǒng)可靠性數(shù)學(xué)模型8/9/202215系統(tǒng)功能分析對系統(tǒng)的構(gòu)成、原理、功能、接口等各方面深入的分析是建立正確的系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型的前導(dǎo)。前導(dǎo)工作的主要任務(wù)就是進(jìn)行系統(tǒng)的功能分析功能的分解與分類功能框圖與功能流程圖時間分析任務(wù)定義及故障判據(jù)8/9/202

6、216功能的分解與分類 功能的分解系統(tǒng)往往是多任務(wù)與多功能的一個系統(tǒng)及功能是由許多分系統(tǒng)級功能實(shí)現(xiàn)的通過自上而下的功能分解過程，可以得到系統(tǒng)功能的層次結(jié)構(gòu)功能的逐層分解可以細(xì)分到可以獲得明確的技術(shù)要求的最低層次（如部件）為止。 進(jìn)行系統(tǒng)功能分解可以使系統(tǒng)的功能層次更加清晰，同時也產(chǎn)生了許多低層次功能的接口問題。對系統(tǒng)功能的層次性以及功能接口的分析，是建立可靠性模型的重要一步。8/9/202217功能的分解8/9/202218功能的分類在系統(tǒng)功能分解的基礎(chǔ)上，可以按照給定的任務(wù)，對系統(tǒng)的功能進(jìn)行整理。 分類定義按重要程度分基本功能起主要的必不可少的作用；擔(dān)任主要的任務(wù)，實(shí)現(xiàn)其工作目的；它的作用改

7、變了，就會產(chǎn)生整體性的變化。輔助功能針對某種特定的構(gòu)思所必需的功能，或輔助實(shí)現(xiàn)基本功能所需要的功能。它相對于基本功能是次要的或從屬的。按用戶要求分必要功能對于用戶的任務(wù)需求而言，是必要的和不可缺少的。不必要功能對于用戶的任務(wù)需求而言，該功能并非是非有不可的。8/9/202219功能框圖與功能流程圖 用以描述在系統(tǒng)功能分解的過程中，較低層次功能間的接口與關(guān)聯(lián)關(guān)系 。功能框圖功能流程圖功能框圖與功能流程圖的逐級細(xì)化過程是與系統(tǒng)的功能分解相協(xié)調(diào)的。 8/9/202220原理圖、功能層次圖及功能框圖 某家用熱水器原理圖 8/9/202221某空間飛行器整個飛行任務(wù)在最高層次以及下級層次中的功能流程 第

8、一層 飛行任務(wù) 第二層 40執(zhí)行任務(wù)操作 8/9/202222時間分析-1功能框圖靜態(tài)（不隨時間而變）系統(tǒng)級的功能以及它們的子功能具有唯一的時間基準(zhǔn)（所有功能的執(zhí)行時間一樣長）系統(tǒng)的功能隨時間而變的系統(tǒng)功能流程圖可以描述這類系統(tǒng)的功能關(guān)系，為建立系統(tǒng)可靠性框圖模型奠定基礎(chǔ)功能流程圖的一個缺陷：沒有對系統(tǒng)功能的持續(xù)時間及功能間的時間進(jìn)行描述，缺少一個時間坐標(biāo)時間特性是可靠性分析中不可缺少的一個要素8/9/202223時間分析-2復(fù)雜系統(tǒng)一般具有兩方面的特點(diǎn)：（1）系統(tǒng)具有多功能，各功能的執(zhí)行時機(jī)是有時序的，各功能的執(zhí)行時間長短不一（2）在系統(tǒng)工作的過程中，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是可以隨時間而變化 需要進(jìn)行時

9、間分析確定時間基準(zhǔn)通過與該時間基準(zhǔn)對應(yīng)，可以得到系統(tǒng)功能流程圖中各功能的執(zhí)行時間及功能間的時間 8/9/202224某飛行任務(wù)的時間基準(zhǔn) 8/9/202225任務(wù)定義及故障判據(jù) 在進(jìn)行系統(tǒng)功能分解、建立功能框圖或功能流程圖及確立時間基準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，要建立系統(tǒng)的任務(wù)及基本可靠性框圖，必須明確地給出系統(tǒng)的任務(wù)定義及故障判據(jù)，把它們作為系統(tǒng)可靠性定量分析計算的依據(jù)和判據(jù)。 產(chǎn)品或產(chǎn)品的一部分不能或?qū)⒉荒芡瓿深A(yù)定功能的事件或狀態(tài)，稱為故障。對于具體的產(chǎn)品應(yīng)結(jié)合產(chǎn)品的功能以及裝備的性質(zhì)與使用范疇，給出產(chǎn)品故障的判別標(biāo)準(zhǔn)，即故障判據(jù)。故障判據(jù)是判斷產(chǎn)品是否構(gòu)成故障的界限值。8/9/202226典型可靠性模型

10、分類8/9/202227假設(shè) （a）系統(tǒng)及其組成單元只有故障與正常兩種狀態(tài)，不存在第三種狀態(tài)；（b）用框圖中一個方框表示的單元或功能發(fā)生故障就會造成整個系統(tǒng)的故障（有替代工作方式的除外）；（c）就故障概率來說，用不同方框表示的不同功能或單元其故障概率是相互獨(dú)立的。（d）系統(tǒng)的所有輸入在規(guī)定極限之內(nèi)，即不考慮由于輸入錯誤而引起系統(tǒng)故障的情況；（e）當(dāng)軟件可靠性沒有納入系統(tǒng)可靠性模型時，應(yīng)假設(shè)整個軟件是完全可靠的；（f）當(dāng)人員可靠性沒有納入系統(tǒng)可靠性模型時，應(yīng)假設(shè)人員是完全可靠的，而且人員與系統(tǒng)之間沒有相互作用問題。8/9/202228典型可靠性模型串聯(lián)模型并聯(lián)模型表決模型(r/n(G)模型)非工

11、作貯備模型（旁聯(lián)模型） 橋聯(lián)模型 8/9/202229串聯(lián)模型定義組成系統(tǒng)的所有單元中任一單元的故障都會導(dǎo)致整個系統(tǒng)故障的稱為串聯(lián)系統(tǒng)。串聯(lián)系統(tǒng)是最常用和最簡單的模型之一。串聯(lián)系統(tǒng)的邏輯圖如下圖所示：8/9/202230串聯(lián)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型當(dāng)各單元服從指數(shù)分布時：8/9/202231串聯(lián)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型當(dāng)各單元的壽命分布均為指數(shù)分布時，系統(tǒng)的壽命也服從指數(shù)分布，系統(tǒng)的故障率為單元的故障率之和：系統(tǒng)的平均故障間隔時間：8/9/202232串聯(lián)模型S系統(tǒng)正常xi單元i正常x1x3x2S=x1 x2x3當(dāng)幾個單元相互獨(dú)立，系統(tǒng)可靠度：8/9/202233串聯(lián)模型在設(shè)計時，為提高串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性，可從下列三方

12、面考慮：(a) 盡可能減少串聯(lián)單元數(shù)目(b) 提高單元可靠性，降低其故障率(c) 縮短工作時間8/9/202234并聯(lián)模型并聯(lián)模型組成系統(tǒng)的所有單元都發(fā)生故障時，系統(tǒng)才發(fā)生故障的稱為并聯(lián)系統(tǒng)。并聯(lián)系統(tǒng)是最簡單的冗余系統(tǒng)（有貯備模型）。并聯(lián)系統(tǒng)的邏輯圖如圖所示，其數(shù)學(xué)模型為：8/9/202235并聯(lián)模型B1B3B2B系統(tǒng)故障Bi單元i故障B=B1 B2B3當(dāng)個單元相互獨(dú)立，系統(tǒng)不可靠度：8/9/202236并聯(lián)模型系統(tǒng)可靠度當(dāng)系統(tǒng)各單元的壽命分布為指數(shù)分布時，對于最常用的兩單元并聯(lián)系統(tǒng)，有8/9/202237并聯(lián)模型盡管單元故障率都是常數(shù)，但并聯(lián)系統(tǒng)的故障率不再是常數(shù)。 當(dāng)系統(tǒng)各單元的壽命分布為

13、指數(shù)分布時，對于n個相同單元的并聯(lián)系統(tǒng)，有 8/9/202238并聯(lián)模型與無貯備的單個單元相比，并聯(lián)可明顯提高系統(tǒng)可靠性（特別是n=2時）當(dāng)并聯(lián)過多時可靠性增加減慢 8/9/202239表決模型表決模型(模型)組成系統(tǒng)的n個單元中，正常的單元數(shù)不小于r（1rn）系統(tǒng)就不會故障，這樣的系統(tǒng)稱為r/n(G)表決模型。它是工作貯備模型的一種形式?？煽啃钥驁D如下圖：8/9/202240表決模型若組成系統(tǒng)的各單元相同，每個單元失效概率為q，正常工作概率為p， 則r/n(G)表決模型服從二項分布系統(tǒng)可靠度（假設(shè)表決器完全可靠）8/9/202241r/n(G) 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型式中：RS(t) 系統(tǒng)的可靠度；

14、R(t) 系統(tǒng)組成單元（各單元相同）的可靠度；Rm 表決器的可靠度。8/9/202242表決模型當(dāng)各單元的可靠度是時間的函數(shù)，且壽命服從故障率為的指數(shù)分布時，系統(tǒng)可靠度為：當(dāng)表決器的可靠度為1時，系統(tǒng)的致命故障間任務(wù)時間為： 8/9/202243多數(shù)表決系統(tǒng)（2/3(G)表決模型）在r/n(G)模型中，當(dāng)n必須為奇數(shù)（令為2k+1），且正常單元數(shù)必須大于n/2（不小于k+1）時系統(tǒng)才正常，這樣的系統(tǒng)稱為多數(shù)表決模型。多數(shù)表決模型是r/n(G)系統(tǒng)的一種特例。三中取二系統(tǒng)是常用的多數(shù)表決模型，其可靠性框圖如下圖8/9/2022442/3(G)表決模型其可靠性數(shù)學(xué)模型為（表決器可靠度為1，組成單元

15、的故障率均為常值 ）：8/9/202245表決系統(tǒng)特例若表決器的可靠度為1：當(dāng)r=1時，1/n(G)即為并聯(lián)系統(tǒng)，當(dāng)r=n時，n/n(G)即為串聯(lián)系統(tǒng)：系統(tǒng)的MTBCFS比并聯(lián)系統(tǒng)小，比串聯(lián)系統(tǒng)大。8/9/202246非工作貯備模型（旁聯(lián)、冷貯備）組成系統(tǒng)的各單元只有一個單元工作，當(dāng)工作單元故障時，通過轉(zhuǎn)換裝置接到另一個單元繼續(xù)工作，直到所有單元都故障時系統(tǒng)才故障，稱為非工作貯備系統(tǒng)，又稱旁聯(lián)系統(tǒng)。非工作貯備系統(tǒng)的可靠性框圖如下圖。8/9/202247非工作貯備模型非工作貯備系統(tǒng)的可靠性數(shù)學(xué)模型如下： （a）假設(shè)：轉(zhuǎn)換裝置可靠度為1，則系統(tǒng)的MTBCFS等于各單元MTBCFi之和。當(dāng)系統(tǒng)各單元

16、的壽命服從指數(shù)分布時： 8/9/202248非工作貯備模型（續(xù)）系統(tǒng)的各單元都相同時： 對于常用的兩個不同單元組成的非工作貯備系統(tǒng)： 8/9/202249非工作貯備模型（續(xù)）A系統(tǒng)正常，A11單元正常，A22單元正常8/9/202250非工作貯備模型（b）假設(shè)：轉(zhuǎn)換裝置的可靠度為常數(shù)RD，兩個單元相同且壽命服從指數(shù)分布，系統(tǒng)的可靠度為 對于兩個不相同單元 ：非工作貯備的優(yōu)點(diǎn)是能大大提高系統(tǒng)的可靠度。其缺點(diǎn)是：（1）由于增加了故障監(jiān)測與轉(zhuǎn)換裝置而提高了系統(tǒng)的復(fù)雜度；（2）要求故障監(jiān)測與轉(zhuǎn)換裝置的可靠度非常高，否則貯備帶來的好處會被嚴(yán)重削弱。 8/9/202251非工作貯備模型例：某兩臺發(fā)電機(jī)構(gòu)成

17、旁聯(lián)模型，發(fā)電機(jī)故障率 =0.001h-1 ，切換開關(guān)成功概率0.98，求運(yùn)行100小時的可靠度。解： R(t)=e-0.001100(1+0.980.001100)=0.9934若兩臺發(fā)動機(jī)并聯(lián)，系統(tǒng)可靠度 R(t)=2e-t-e-2 t=2e-0.001100-e-20.001100=0.9909若希望旁聯(lián)可靠度大于并聯(lián) ，則 e-t(1+Ps t) 2e-t-e-2 t 因此，要求切換開關(guān)成功概率Ps (1-e-0.001100)/(0.001100)=0.958/9/202252橋聯(lián)模型系統(tǒng)某些功能冗余形式或替代工作方式的實(shí)現(xiàn)，是一種非并聯(lián)、表決或旁聯(lián)的橋聯(lián)形式。稱為橋聯(lián)模型,可靠性框

18、圖示意圖如下。示例：系統(tǒng)由A、B、C、D、E五個部分組成，當(dāng)開關(guān)E打開時，電機(jī)A向設(shè)備B供電，電機(jī)C向設(shè)備D供電。如果電機(jī)C故障，合上開關(guān)E，由電機(jī)A向設(shè)備B和D供電。系統(tǒng)的原理圖和可靠性框圖如下圖 所示。 8/9/202253橋聯(lián)模型橋聯(lián)模型從圖中模型可以看出，在橋聯(lián)模型中可靠性框圖中的單元帶有流向，它反映了系統(tǒng)功能間的流程關(guān)系。 通過觀察分析上面的可靠性框圖可以得知，當(dāng)單元A和B，或單元A、D和E，或單元C和D都正常時，系統(tǒng)的功能正常。系統(tǒng)可靠度的數(shù)學(xué)模型為： 8/9/202254虛單元所謂虛單元就是把一些相互獨(dú)立的單元組合在一起，構(gòu)成一個虛擬的單元，達(dá)到簡化可靠性框圖的目的。充分性 ：虛

19、單元內(nèi)的所有單元與虛單元外的單元應(yīng)是相互統(tǒng)計獨(dú)立的 ；必要性 ：虛單元內(nèi)的所有單元之間的邏輯關(guān)系不能僅用串聯(lián)、并聯(lián)及橋聯(lián)模型來描述 ；虛單元應(yīng)只有一個邏輯入口和一個邏輯出口。 劃分虛單元，簡化可靠性框圖后，可以分步建立系統(tǒng)的可靠性數(shù)學(xué)模型 ：建立虛單元的可靠度數(shù)學(xué)模型，并把它作為虛單元的可靠度代入簡化后的可靠性框圖中；對簡化后的可靠性框圖建立數(shù)學(xué)模型 。8/9/202255虛單元劃分示例8/9/202256不含橋聯(lián)的復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型系統(tǒng)的可靠性數(shù)學(xué)模型為：在劃分虛單元后應(yīng)是一個簡潔的串聯(lián)、并聯(lián)組合模型 前例圖3-21、228/9/202257含橋聯(lián)的復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型含有橋聯(lián)的系統(tǒng)任

20、務(wù)可靠性框圖，在劃分虛單元后得到的可靠性框圖應(yīng)是一個串聯(lián)、并聯(lián)和橋聯(lián)的組合模型網(wǎng)絡(luò)可靠性模型。（案例）布爾真值表法 部件狀態(tài)圖示法 全概率分解法 最小路集法 8/9/202258含橋聯(lián)的復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型示例假設(shè)：組成系統(tǒng)的各單元的壽命服從故障率為的指數(shù)分布。 8/9/202259(1) 全概率分解法 系統(tǒng)中任一單元正常這一事件，與其逆事件（單元故障）一起，構(gòu)成完備事件組。利用概率論中的全概率公式，可以將非串并聯(lián)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分解簡化，經(jīng)多次分解簡化后，可將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)簡化成簡單的串并聯(lián)系統(tǒng)，從而計算出系統(tǒng)的可靠度。這個分解過程稱為全概率分解。用數(shù)學(xué)符號表示為： 式中 ：系統(tǒng)的可靠度； 網(wǎng)絡(luò)S正常

21、的概率； 單元x正常的概率； 單元x故障的概率； 在單元x正常的條件下，網(wǎng)絡(luò)S正常的概率； 在單元x故障的條件下，網(wǎng)絡(luò)S正常的概率； 8/9/202260令：S(x)表示把網(wǎng)絡(luò)S中單元x的兩端節(jié)點(diǎn)合成一個節(jié)點(diǎn)而產(chǎn)生的新網(wǎng)絡(luò)； 表示把網(wǎng)絡(luò)S中單元x去掉（即兩個端點(diǎn)之間不存在經(jīng)由x的聯(lián)系）而產(chǎn)生的新網(wǎng)絡(luò) 如果滿足： (1) 全概率分解法（續(xù)） 則全概率分解公式可變?yōu)椋?如此經(jīng)過多次分解可以使產(chǎn)生的子網(wǎng)絡(luò)成為一般的串并聯(lián)系統(tǒng)，從而可以逐步地計算出網(wǎng)絡(luò)S的可靠度。 8/9/202261全概率分解的規(guī)則全概率分解的一個關(guān)鍵步驟是選擇分解單元（不產(chǎn)生新的通道 ） i 任一無向單元都可以作為分解單元；ii

22、任一有向單元，若其兩端節(jié)點(diǎn)中有一個節(jié)點(diǎn)只有流出連線（或只有流入連線）則可作為分解單元；與網(wǎng)絡(luò)輸入或輸出節(jié)點(diǎn)相連的單元可以作為分解單元，因為這些單元滿足前述條件。 8/9/202262全概率分解的規(guī)則（續(xù)）分解過程中產(chǎn)生的無用單元及其組合（如懸掛環(huán)、輸出節(jié)點(diǎn)流向輸入節(jié)點(diǎn)的逆向單元等）可以去掉 選擇最佳分解單元可以減少分解步驟，更快地建立系統(tǒng)的可靠性數(shù)學(xué)模型。最佳分解單元的選擇需要一定的經(jīng)驗。 P.38 例3-48/9/202263（2）最小路集法路集和最小路集 路集是可靠性框圖中一些方框的集合，當(dāng)集合內(nèi)的方框都正常時，系統(tǒng)處于正常狀態(tài)。路集中增加一個方框后仍然是路集系統(tǒng)可靠性框圖中所有方框的全集

23、合必然是路集若某路集中任意去掉一個方框后剩下的集合不再是路集，該路集就是最小路集。 最小路集中包含的方框數(shù)稱為路長。 在最小路集中，既沒有重復(fù)的方框，其所形成的通路也沒有重復(fù)的節(jié)點(diǎn)。因此，具有n個節(jié)點(diǎn)的可靠性框圖的最小路集的最大路長為n-1。 求所有最小路集的方法 聯(lián)絡(luò)矩陣法網(wǎng)絡(luò)遍歷法需采用計算機(jī)輔助實(shí)現(xiàn)，已成為求解所有最小路集的主要手段。 8/9/202264用最小路集建立系統(tǒng)任務(wù)可靠度模型 系統(tǒng)任務(wù)可靠性框圖的所有最小路集為：系統(tǒng)正常意味著至少有一個最小路集存在，設(shè)系統(tǒng)正常這一事件為S，則有：第i個最小路集存在，意味著該路集中的每個方框均正常，用 表示集合i中的第j個元素，則有： 8/9/

24、202265用最小路集建立系統(tǒng)任務(wù)可靠度模型（續(xù)）利用相容事件的概率公式可以建立系統(tǒng)任務(wù)可靠度的數(shù)學(xué)模型為：注意：在利用最小路集建立系統(tǒng)任務(wù)可靠度數(shù)學(xué)模型時，存在著計算量隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模指數(shù)增長的問題?？梢圆捎脤ψ钚÷芳M(jìn)行不交化等方法進(jìn)行求解，以達(dá)到簡化計算的目的。 8/9/202266聯(lián)絡(luò)矩陣給定一個任一類型的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，它有n 個節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)編號為1，2，n。定義聯(lián)絡(luò)矩陣為：C = Cij式中Cij為矩陣元素，其定義如下：8/9/202267聯(lián)絡(luò)矩陣的乘方規(guī)則 聯(lián)絡(luò)矩陣C 的平方其中，n為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)。 的含義：從節(jié)點(diǎn) i 到所有可能的節(jié)點(diǎn) k，再從節(jié)點(diǎn) k 到節(jié)點(diǎn) j 的所有最小路集。即從節(jié)點(diǎn)

25、 i 到節(jié)點(diǎn) j 的路長為2的所有最小路集。因此 中路長小于2的要去掉。聯(lián)絡(luò)矩陣C 的r次方其中，n為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)。 的含義：從節(jié)點(diǎn) i 到節(jié)點(diǎn) j 的路長為 r 的所有最小路集。因此 中路長小于 r 的要去掉。由于具有 n 個節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)的最小路集的最大路長為 n-1，因此對于rn，必有 。 8/9/202268聯(lián)絡(luò)矩陣的乘方規(guī)則（續(xù)）由于研究的是從輸入節(jié)點(diǎn) I 到輸出節(jié)點(diǎn) L 的可靠性，所以只需要求出“輸入輸出”兩個端點(diǎn)之間的所有最小路集。只需求出C2、 C3、 Cn-1中的第L 列，即：其中 只需求出第 I 行元素即可。P.40 例3-58/9/202269大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最小路集的計算機(jī)算

26、法 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù) n 很大時，聯(lián)絡(luò)矩陣往往很大且是稀疏陣，因此用聯(lián)絡(luò)矩陣法求最小路集時要大容量存儲及“冗余”計算。故需要高效的計算機(jī)算法來求所有最小路集。 所用算法基于廣義的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錈o向網(wǎng)絡(luò)的輸入節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)可以隨意但必須分別指定；有向網(wǎng)絡(luò)（無懸掛環(huán)、逆向單元）：輸入節(jié)點(diǎn)：無輸入弧；輸出節(jié)點(diǎn)：無輸出弧。8/9/202270大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最小路集的計算機(jī)算法（續(xù)）問題描述設(shè)G是有n個節(jié)點(diǎn)的有向網(wǎng)絡(luò)（對無向網(wǎng)絡(luò)可以看成雙向的，故無向網(wǎng)絡(luò)亦可化為有向網(wǎng)絡(luò)）。假定節(jié)點(diǎn)之間無并聯(lián)弧，輸入節(jié)點(diǎn)為I，輸出節(jié)點(diǎn)為L，如何找出I、L之間的所有最小路集。算法思想 整個算法的基本思想可描述如下：（1）輸入節(jié)點(diǎn)I作

27、為起始節(jié)點(diǎn)；（2）由起始節(jié)點(diǎn)出發(fā)，依次選下一步可達(dá)的節(jié)點(diǎn)i；（3）判斷所選節(jié)點(diǎn)i是否走過，若是，則退回起始節(jié)點(diǎn)，轉(zhuǎn)（2）；（4）判斷是否已達(dá)到輸出節(jié)點(diǎn)L，若否，則把i作為起始節(jié)點(diǎn)，轉(zhuǎn)（2）；（5）判斷是否已找到了所有最小路集，如否，則退后一步，把上個節(jié)點(diǎn)作為起始節(jié)點(diǎn)，轉(zhuǎn)（2）；（6）結(jié)束。 8/9/202271求最小路集算法的功能流程圖8/9/2022723算法參數(shù)和符號n：網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù)；I：輸入節(jié)點(diǎn)標(biāo)號；L：輸出節(jié)點(diǎn)標(biāo)號；E：扇出向量；E = (E1, Ei , En)，表示離開節(jié)點(diǎn)1，n的弧數(shù)。其中Ei表示節(jié)點(diǎn)i下一步可以到達(dá)的節(jié)點(diǎn)有Ei個。E向量完全由網(wǎng)絡(luò)所確定。 R：路線陣；R = (

28、 r(i, k) )其中i = 1，n；k = 1， Ei 。R的第i行記錄了節(jié)點(diǎn)i可以一步到達(dá)的節(jié)點(diǎn)標(biāo)號。R不一定是長方陣，即對不同的行，列數(shù)未必相同。為了表示i的下一步的節(jié)點(diǎn)已經(jīng)完全走遍，同時區(qū)分出輸入節(jié)點(diǎn)I，在R的每行再增加一個元素此時稱R為G路線陣。顯然，R陣完全由網(wǎng)絡(luò)所確定。8/9/2022733算法參數(shù)和符號（續(xù)）C：位置向量； C = (C1, Cj , Cn) ，其中Cj記錄節(jié)點(diǎn)j下一步將訪問的節(jié)點(diǎn)在R中的列號。而元素r(j,Cj)記錄j下一步到達(dá)的節(jié)點(diǎn)標(biāo)號。F：檢驗向量；F為定義在節(jié)點(diǎn)1，2，n上的函數(shù)，初值為 F的作用為：當(dāng)某個節(jié)點(diǎn)j已走過時，F(xiàn)(j)的值就為1。在尋找一條最小路集的過程中，這可以用來判斷后面的節(jié)點(diǎn)是否與已走過的節(jié)點(diǎn)有重復(fù)。一旦F(j) = -1，表明已達(dá)