蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一第1章1.2.2《直線的兩點(diǎn)式方程》課件

1、蘇教版高中數(shù)學(xué)課件1.2.2直線的兩點(diǎn)式方程某區(qū)商業(yè)中心O有通往東、西、南、北的四條大街，某公園位于東大街北側(cè)、北大街東側(cè)的P處，如圖所示.公園到東大街、北大街的垂直距離分別為1 km和4 km.現(xiàn)在要在公園前修建一條直線大道分別與東大街、北大街交匯于A，B兩處，并使區(qū)商業(yè)中心O到A，B兩處的距離之和最短.導(dǎo)語(yǔ)在上述問(wèn)題中，實(shí)際上解題關(guān)鍵是確定直線AB，那么直線AB的方程確定后，點(diǎn)A，B能否確定？一、直線的兩點(diǎn)式方程問(wèn)題1我們知道已知兩點(diǎn)也可以確定一條直線，若給定直線上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2，y1y2)，你能否得出直線的方程呢？經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x

2、2，y2)(其中x1x2，y1y2)的直線方程_，叫作直線的兩點(diǎn)式方程.注意點(diǎn)：(1)當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的直線斜率不存在(x1x2)或斜率為0(y1y2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式方程表示.(2)兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān).(3)方程中等號(hào)兩邊表達(dá)式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等.知識(shí)梳理例1(1)過(guò)(1,2)，(5,3)的直線方程是解析直線過(guò)(1,2)，(5,3)，(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，(1,4)，則直線l的兩點(diǎn)式方程是_.反思感悟利用兩點(diǎn)式求直線的方程首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件.若滿足即可考慮用兩點(diǎn)式求方

3、程.在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程.跟蹤訓(xùn)練1(1)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，B(3，3)的直線方程為_.解析因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(2,1)和(3，3)，4x5y30化簡(jiǎn)得4x5y30.(2)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(m,1)，求這條直線的方程.解由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(m,1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在.(1)當(dāng)直線斜率不存在，即m1時(shí)，直線方程為x1；(2)當(dāng)直線斜率存在，即m1時(shí)，利用兩點(diǎn)式，綜上可得，當(dāng)m1時(shí)，直線方程為x1；當(dāng)m1時(shí)，直線方程為x(m1)y10.二、直線的截距式方程問(wèn)題2若給定直線上兩點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)(a0，

4、b0)，你能否得出直線的方程呢？方程 1，其中 稱為直線在y軸上的截距， 稱為直線在x軸上的截距.這個(gè)方程由直線在x軸和y軸上的非零截距所確定，所以這個(gè)方程也叫作直線的 .注意點(diǎn)：(1)如果已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程.(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來(lái)作圖.(3)與坐標(biāo)軸平行和過(guò)原點(diǎn)的直線都不能用截距式表示.(4)過(guò)原點(diǎn)的直線的橫、縱截距都為零.知識(shí)梳理ba截距式方程例2求過(guò)點(diǎn)A(3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程.解(1)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不為0時(shí)，即xy10.(2)當(dāng)直線

5、l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且為0時(shí)，即直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx，因?yàn)閘過(guò)點(diǎn)(3,4)，所以4k3，綜上，直線l的方程為xy10或4x3y0.延伸探究1.若將點(diǎn)A的坐標(biāo)改為“A(3，4)”，其他條件不變，又如何求解？解(1)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不為0時(shí)，(2)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且為0時(shí)，即直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx，由于l過(guò)點(diǎn)(3，4)，所以直線l的方程為4x3y0.綜上，直線l的方程為xy10或4x3y0.所以直線l的方程為xy70.(2)當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx，綜上，直線l的方程為xy70或4x3y0.2.若將本

6、例中“截距互為相反數(shù)”改為“截距相等”呢？反思感悟截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)(1)如果問(wèn)題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可.(2)選用截距式方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過(guò)原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直.(3)要注意截距式方程的逆向應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練2直線l過(guò)點(diǎn)P ，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)AOB的周長(zhǎng)為12時(shí)，求直線l的方程.兩邊平方整理得ab12(ab)720. 所以直線l的方程為3x4y120或15x8y360.三、直線方程的靈活應(yīng)用例3過(guò)點(diǎn)P(1,4)作直線l，直線l與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).(1)若

7、ABO的面積為9，求直線l的方程；解設(shè)A(a,0)，B(0，b)，其中a0，b0，即ab18，由(*)式得，b4aab18，從而b184a，a(184a)18，整理得，2a29a90，整理得，2xy60或8xy120.(2)若ABO的面積為S，求S的最小值，并求出此時(shí)直線l的方程.反思感悟直線方程的選擇技巧(1)已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)該點(diǎn)的直線方程，一般選取點(diǎn)斜式方程，再由其他條件確定直線的斜率.(2)若已知直線的斜率，一般選用直線的斜截式，再由其他條件確定直線的一個(gè)點(diǎn)或者截距.(3)若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，一般選用直線的兩點(diǎn)式方程，若兩點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，就用截距式方程.(4)不論選用怎樣的直線方程，

8、都要注意各自方程的限制條件，對(duì)特殊情況下的直線要單獨(dú)討論解決.跟蹤訓(xùn)練3一束光線從點(diǎn)A(3,2)發(fā)出，經(jīng)x軸反射，通過(guò)點(diǎn)B(1,6)，分別求入射光線和反射光線所在直線的方程.點(diǎn)B(1,6)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B(1，6).解易知點(diǎn)A(3,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(3，2).由已知可得反射光線所在直線為直線AB，即2xy40.故入射光線所在直線的方程為2xy40，反射光線所在直線的方程為2xy40.1.知識(shí)清單：(1)直線的兩點(diǎn)式方程.(2)直線的截距式方程.2.方法歸納：分類討論法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：利用截距式求直線方程時(shí)忽略過(guò)原點(diǎn)的情況導(dǎo)致漏解.課堂小結(jié)隨堂演練12341.在x軸、y軸

9、上的截距分別是3,4的直線方程是12342.過(guò)點(diǎn)(1,2)，(5,3)的直線方程是解析所求直線過(guò)點(diǎn)(1,2)，(5,3)，1234解析當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，得直線方程為2xy0；當(dāng)在坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，將x1，y2代入方程可得a1，得直線方程為xy10.直線方程為2xy0或xy10.3.過(guò)點(diǎn)P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線方程為_.2xy0或xy104.過(guò)(1，1)和(1,3)兩點(diǎn)的直線在x軸上的截距為_，在y軸上的截距為_.12341課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.過(guò)兩點(diǎn)(2,1)和(1,4)的直線方程為A.yx3 B.yx1C.yx2 D.yx

10、2整理得yx3.2.已知直線l：axy20在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a的值是A.1 B.1C.2或1 D.2或112345678910111213141516直線l：axy20在x軸和y軸上的截距相等，12345678910111213141516A.a0，b0 B.a0，b0C.a0 D.a0，b0解析因?yàn)橹本€在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，故a0.123456789101112131415164.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5)，B(3,6)的直線在x軸上的截距為A.2 B.3C.27 D.27即x5y270，令y0，得x27.1234567891011121314

11、15165.下列說(shuō)法正確的是A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可以用方程yy0k(xx0)表示B.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程ykxb表示D.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y y1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示12345678910111213141516解析選項(xiàng)A不正確，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線不可以用方程yy0k(xx0)表示；選項(xiàng)B不正確，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，b)的直線不可以用方程ykxb表示；選項(xiàng)C不正確，當(dāng)直線與x軸平行或者與y軸平行時(shí)，雖然不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)但不可以用方程

12、 表示；選項(xiàng)D正確，斜率有可能不存在，截距也有可能為0，但都能用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.123456789101112131415166.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有A.0條 B.1條 C.2條 D.3條12345678910111213141516解析直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得直線方程為y2x.解得a1，b1，可得方程為xy1.解得a3，b3，可得方程為yx3.綜上可得，滿足條件的直線的條數(shù)為3.7.若直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，且過(guò)定點(diǎn)A(6，2)，則直線l的方程為_.解析設(shè)直線l在y軸上的截距為a(a0)，則在x軸上

13、的截距為a1(a1)，即a23a20，a2或a1，123456789101112131415168.過(guò)點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)OAOB取最小值時(shí)，直線l的方程為_.x2y6012345678910111213141516123456789101112131415169.已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，試求這個(gè)三角形的三條邊所在直線的方程.同理可得直線BC：5x3y60，直線AC：2x5y100.10.求過(guò)點(diǎn)P(6，2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程.解得a2或a1，123456789101112

14、131415161234567891011121314151611.(多選)過(guò)點(diǎn)A(4,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為A.xy5B.xy5C.x4y0D.x4y0綜合運(yùn)用12345678910111213141516即x4y0；把(4,1)代入，解得a5，所以直線方程為xy5.綜上可知，直線方程為xy5或x4y0.12.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,8)，B(4,0)，C(6，0)，則過(guò)點(diǎn)B將ABC的面積平分的直線方程為A.2xy40 B.x2y40C.2xy40 D.x2y40解析由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為D(4,4)，則過(guò)點(diǎn)B將ABC的面積平分的直線過(guò)點(diǎn)D

15、(4,4)，1234567891011121314151612345678910111213141516于是兩直線的傾斜角同為銳角或者同為鈍角，且斜率的絕對(duì)值一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，檢驗(yàn)4個(gè)選項(xiàng)，知只有B選項(xiàng)滿足.14.已知直線l過(guò)點(diǎn)(2,3)，且在x軸上的截距是在y軸上截距的兩倍，則直線l的方程為_.12345678910111213141516解析若l在坐標(biāo)軸上的截距均為0，3x2y0或x2y80當(dāng)l在坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)其在y軸上的截距為b，所以l的方程為x2y80.綜上，直線l的方程為3x2y0或x2y80.拓廣探究1234567891011121314151615.已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則xy的最大值是_.31234567891011121314151616.若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一