冪級數(shù)演示文稿課件

1、第六講冪級數(shù)演示文稿（優(yōu)選）第六講冪級數(shù)定理 1. ( Abel定理 ) 若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.在的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 點發(fā)散 ,則對滿足不等式發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂發(fā)散阿貝爾(1802 1829)挪威數(shù)學(xué)家, 近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者. 他在22歲時就解決了用根式解5 次方程的不可能性問題 , 他還研究了更廣的一 并稱之為阿貝爾群. 在級數(shù)研究中, 他得 到了一些判斂準則及冪級數(shù)求和定理. 論的奠基人之一, 他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路. 數(shù)學(xué)家們工作150年. 類代數(shù)方程, 他是橢圓函數(shù)C. 埃爾米特曾說: 阿貝爾留下的思想可供 后人發(fā)現(xiàn)這

2、是一類交換群,證: 設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù) M 0, 使當 時, 收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂 .也收斂,下面用反證法證之.假設(shè)有一點滿足且使級數(shù)收斂 ,級數(shù)在點的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散 . 則對一切滿足不等式則由前可知也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾。證畢設(shè)發(fā)散,界 點討論：在界點處函數(shù)項級數(shù)是否有相同斂散性？答：在界點處級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，在兩個界點處的斂散性未必相同，要單獨討論. 因此，當我們從原點出發(fā)，沿數(shù)軸向兩方走，后來遇到的全部是發(fā)散點.起初只遇到收斂點，定義1若冪級數(shù)在這個R稱為冪級數(shù)的收斂半徑，而把開區(qū)間（-R,R）稱為收斂區(qū)間。冪級數(shù)在 (, +) 收斂 ，規(guī)定R = 0 ；冪

3、級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ，R = 。(1)冪級數(shù)的收斂域是區(qū)間；(2)冪級數(shù)在 (a,b) 內(nèi)收斂 ，在 (a,b) 外發(fā)散 ，例3. 設(shè)在處收斂，則此級數(shù)在處收斂性如何？（A）條件收斂（B）絕對收斂#2012022801（C）發(fā)散（D）太難確定了例3. 設(shè)在處收斂，則此級數(shù)在處收斂性如何？解: 令設(shè)級數(shù)的收斂半徑為R。收斂，由阿貝爾定理1. 已知處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂半徑性質(zhì)為思考#2012022802冪級數(shù) 由它的系數(shù)數(shù)列 所確定，故其收斂半徑R也應(yīng)由 唯一確定定理2. 若的系數(shù)滿足1) 當 0 時,2) 當 0 時,3) 當 時,則 證:1) 若 0,則根據(jù)比值審斂法可知:當原

4、級數(shù)收斂;當原級數(shù)發(fā)散.即時,即時,因此級數(shù)的收斂半徑2) 若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂 ,3) 若則對除 x = 0 以外的一切 x 原級發(fā)散 ,對任意 x 原級數(shù)因此因此 注意（1）缺項的冪級數(shù)不能直接用此定理解決：（ii）用一般級數(shù)收斂域求法（i）作變換（2）也可以由根值法求收斂半徑對端點 x =1, 的收斂半徑及收斂域.解:對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù)收斂; 級數(shù)為發(fā)散 . 故收斂域為例1.求冪級數(shù) 例2.的收斂半徑 .解: 級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 故直接由比值例3.的收斂域.解: 令 級數(shù)變?yōu)楫?t =

5、2 時, 級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當 t = 2 時, 級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即例4.求下列冪級數(shù)的收斂域.解: (1)令 級數(shù)變?yōu)橛谑?的收斂區(qū)間為解: (1)令 級數(shù)變?yōu)橛谑?級數(shù)在收斂，2. 在冪級數(shù)中,n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)它的收斂半徑?思考#20120228032. 在冪級數(shù)中,n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在 ?答: 不能. 因為當時級數(shù)收斂 ,時級數(shù)發(fā)散 ,說明: 可以證明:比值判別法成立根值判別法成立三、冪級數(shù)的性質(zhì)1.四則運算性質(zhì)其中設(shè)有冪級數(shù) 與 ，它們的收斂半徑分別為 與 ，記 ，且 .則(1)(2)說明:兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)

6、的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.例如, 設(shè) 它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是 2.冪級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)(4.8)性質(zhì)1 冪級數(shù) 的和函數(shù) 在其收斂域I上連續(xù).即有 或(4.7)性質(zhì)2 冪級數(shù) 的和函數(shù) 在其收斂域 上可積，并且可以逐項積分，即有逐項求極限性質(zhì)3 冪級數(shù) 的和函數(shù) 在其收斂區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，并且可以逐項求導(dǎo)，即有并且逐項求積或逐項求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑.(4.9)反復(fù)應(yīng)用上述結(jié)論可得，冪級數(shù) 的和函數(shù) 在其收斂區(qū)間 內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù).你發(fā)現(xiàn)這三條性質(zhì)的條件有什么不同嗎？逐項求極限、逐項積分是在收斂域I上；而逐項求導(dǎo)限制在收斂域區(qū)間(-R,R

7、)內(nèi).例1. 的和函數(shù)解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 ,x1 時級數(shù)發(fā)散,例2. 求級數(shù)的和函數(shù)解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 及收斂 , 因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及解: 級數(shù)的收斂半徑 R+.例3.則故有故得的和函數(shù) .因此得設(shè)例4.解: 設(shè)則而故內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標準型冪級數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性 .2) 對非標準型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2. 冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與也可通過換元化為標準型再求 .乘法運算. 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可

8、逐項求導(dǎo)和求積分.第四節(jié)兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求 和展 開本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù) 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù) 第十一章 一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù) 其中( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項 .則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :為f (x) 的泰勒級數(shù) . 則稱當x0 = 0 時, 泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù) .1) 對此級數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 定理1 .各階導(dǎo)數(shù),

9、 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足:證明:令設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 的某一鄰域 內(nèi)具有定理2.若 f (x) 能展成 x 的冪級數(shù), 則這種展開式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級數(shù)為則顯然結(jié)論成立 .二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1. 直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知, 第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否為驟如下 :展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式0.

10、的函數(shù)展開例1. 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù). 解: 其收斂半徑為 對任何有限數(shù) x , 其余項滿足故( 在0與x 之間)故得級數(shù) 例2. 將展開成 x 的冪級數(shù).解: 得級數(shù):其收斂半徑為 對任何有限數(shù) x , 其余項滿足類似可推出:(見P281頁) 例3. 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù), 其中m為任意常數(shù) . 解: 易求出 于是得 級數(shù)由于級數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對任意常數(shù) m, 推導(dǎo)則為避免研究余項 , 設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為稱為二項展開式 .說明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當 m 為正整數(shù)時, 級數(shù)為 x 的 m 次多項式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項式定理.由此得 對應(yīng)的二項展開式分別為2. 間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì), 例4. 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).解: 因為把 x 換成, 得將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù). 例5. 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).解: 從 0 到 x 積分定義且連續(xù), 區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂得例6. 將展成解: 的冪級數(shù). 例7. 將展成 x1 的