數(shù)學(xué)和物理如何走在一起

1、卡拉比丘空間丘成桐 1949年出生于廣東汕頭。1983年獲得素有數(shù)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)之稱的菲爾茲獎(jiǎng),迄今仍是華人數(shù)學(xué)家中唯一的獲獎(jiǎng)?wù)摺?979年后,丘成桐把主要精力轉(zhuǎn)向振興祖國數(shù)學(xué)事業(yè)上,先后創(chuàng)建了香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)所、中科院晨興數(shù)學(xué)中心、浙江大學(xué)數(shù)學(xué)中心和清華大學(xué)數(shù)學(xué)中心,并親自擔(dān)任這些研究機(jī)構(gòu)的負(fù)責(zé)人。他還為這些研究機(jī)構(gòu)募集資金1.5億元。他是當(dāng)今世界公認(rèn)的最著名的國際數(shù)學(xué)大師之一,被國際數(shù)學(xué)界公認(rèn)為四分之一世紀(jì)里最有影響的數(shù)學(xué)家。他現(xiàn)任美國哈佛大學(xué)講座教授、國際頂尖數(shù)學(xué)雜志微分幾何雜志主編,所獲榮譽(yù)還有:瑞士皇家科學(xué)院的克雷福特獎(jiǎng)、美國國家科學(xué)獎(jiǎng)、美國國家科學(xué)院院士、中國科學(xué)院首批外籍院士、俄羅斯

2、科學(xué)院外籍院士、臺(tái)灣中研院院士、世界華人數(shù)學(xué)家大會(huì)主席、中華人民共和國國際科學(xué)技術(shù)合作獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)和物理如何走在一起廣義相對(duì)論卡拉比猜想弦論結(jié)語數(shù)學(xué)和物理如何走在一起演講人：丘成桐 地點(diǎn)：三亞第二屆國際數(shù)學(xué)論壇今天要講的，是數(shù)學(xué)和物理如何互動(dòng)互利，這種關(guān)系在卡拉比丘（CalabiYau）空間和弦論的研究中尤為突出。這個(gè)題目非出偶然，它正是我和史蒂夫納第斯（Steve Nadis）的新書內(nèi)空間的形狀的主旨。書中描述了這些空間背后的故事、個(gè)人的經(jīng)歷和幾何的歷史。我寫這本書，是希望讀者透過它，了解數(shù)學(xué)家是如何看這世界的。數(shù)學(xué)并非一門不食人間煙火的抽象學(xué)問，相反地，它是我們認(rèn)識(shí)物理世界不可或缺的工具?，F(xiàn)在

3、，就讓我們沿著時(shí)間，或更確切地沿著時(shí)空從頭說起。黎曼幾何學(xué)黎曼的創(chuàng)見，顛覆了前人對(duì)空間的看法，給數(shù)學(xué)開辟了新途徑。幾何的對(duì)象，從此不再局限于平坦而線性的歐幾里德空間內(nèi)的物體。黎曼引進(jìn)了更抽象的、具有任何維數(shù)的空間。1969年，我到了伯克利研究院。在那里我了解到，十九世紀(jì)幾何學(xué)在高斯和黎曼的手上經(jīng)歷了一場(chǎng)翻天覆地的變化。黎曼的創(chuàng)見，顛覆了前人對(duì)空間的看法，給數(shù)學(xué)開辟了新途徑。幾何的對(duì)象，從此不再局限于平坦而線性的歐幾里德空間內(nèi)的物體。黎曼引進(jìn)了更抽象的、具有任何維數(shù)的空間。在這些空間里，距離和曲率都具有意義。此外，在它們上面還可以建立一套適用的微積分。大約五十年后，愛因斯坦發(fā)覺包含彎曲空間的這種

4、幾何學(xué)，剛好用來統(tǒng)一牛頓的重力理論和狹義相對(duì)論，沿著新路邁進(jìn)，他終于完成了著名的廣義相對(duì)論。在研究院的第一年，我念了黎曼幾何學(xué)。它與我在香港時(shí)學(xué)的古典幾何不一樣，過去我們只會(huì)討論在線性空間里的曲線和曲面。在伯克利，我修了斯巴涅爾（Spanier）的代數(shù)拓?fù)?、勞森（Lawson）的黎曼幾何、莫雷伊（Morrey）的偏微分方程。此外，我還旁聽了包括廣義相對(duì)論在內(nèi)的幾門課，我如饑似渴地盡力去吸收知識(shí)。課余的時(shí)間都呆在圖書館，它簡(jiǎn)直成了我的辦公室。我孜孜不倦地找尋有興趣的材料來看。圣誕節(jié)到了，別人都回去和家人團(tuán)聚。我卻在讀微分幾何學(xué)報(bào)上約翰米爾諾（John Milnor）的一篇論文,它闡述了空間里曲率

5、與基本群的關(guān)系。我既驚且喜，因?yàn)樗玫搅宋覄倓倢W(xué)過的知識(shí)上。米爾諾的文筆是如此流暢，我通讀此文毫不費(fèi)力。他文中提及普里斯曼（Preissman）的另一篇論文，我也極感興趣。從這些文章中可以見到，負(fù)曲率空間的基本群受到曲率強(qiáng)烈的約束，必須具備某些性質(zhì)?；救菏峭?fù)渖系母拍睢ｋm然，拓?fù)湟彩且环N研究空間的學(xué)問，但它不涉及距離。從這角度來看，拓?fù)渌枥L的空間并沒有幾何所描繪的那樣精細(xì)。幾何要量度兩點(diǎn)間的距離，對(duì)空間的屬性要知道更多。這些屬性可以由每一點(diǎn)的曲率表達(dá)出來，這便是幾何了。舉例而言，甜甜圈和咖啡杯具有截然不同的幾何，但它們的拓?fù)鋮s無二樣。同樣，球面和橢球面幾何迥異但拓?fù)湎嗤Ｗ鳛橥負(fù)淇臻g，球面

6、的基本群是平凡的，在它上面的任何閉曲線，都可以透過連續(xù)的變動(dòng)而縮成一點(diǎn)。但輪胎面則否，在它上面可以找到某些閉曲線，無論如何連續(xù)地變動(dòng)都不會(huì)縮成一點(diǎn)。由此可見，球面和輪胎面具有不同的拓?fù)?。普里斯曼定理討論了幾?曲率) 如何影響拓?fù)?基本群)，我作了點(diǎn)推廣。在影印這些札記時(shí)，一位數(shù)學(xué)物理的博士后阿瑟費(fèi)舍爾（Arthur Fisher）嚷著要知道我干了什么。他看了那些札記后，說任何把曲率與拓?fù)涑渡详P(guān)系的結(jié)果，都會(huì)在物理學(xué)中用上。這句話在我心中留下烙印，至今不忘。廣義相對(duì)論愛因斯坦研究重力的經(jīng)歷，固然令人神往，他的創(chuàng)獲更是驚天動(dòng)地。但是黎曼幾何學(xué)在其中發(fā)揮的根本作用，也是昭昭然不可抹殺的。狹義相對(duì)論

7、告訴我們，時(shí)間和空間渾為一體，形成時(shí)空，不可分割。愛因斯坦進(jìn)一步探究重力的本質(zhì)，他的友人馬塞爾格羅斯曼（Marcel Grossman）是數(shù)學(xué)家，愛氏透過他認(rèn)識(shí)到黎曼和里奇（Ricci）的工作。黎曼引進(jìn)了抽象空間的概念，并且討論了它的距離和曲率。愛因斯坦利用這種空間，作為他研究重力的舞臺(tái)。愛因斯坦也引用了里奇的工作，以他創(chuàng)造的曲率來描述物質(zhì)在時(shí)空的分布。里奇曲率乃是曲率張量的跡，是曲率的某種平均值。它滿足的比安奇恒等式，奇妙地可以看成一條守恒律。愛因斯坦利用了這條守恒律來把重力幾何化，從此我們不再視重力為物體之間的吸引力。新的觀點(diǎn)是，物體的存在使空間產(chǎn)生了曲率，重力應(yīng)當(dāng)看作是這種曲率的表現(xiàn)。對(duì)

8、歷史有興趣的讀者，愛因斯坦的自家說辭更具說服力。他說：“這套理論指出重力場(chǎng)由物質(zhì)的分布決定，并隨之而演化，正如黎曼所猜測(cè)的那樣，空間并不是絕對(duì)的，它的結(jié)構(gòu)與物理不能分割。我們宇宙的幾何絕不像歐氏幾何那樣孤立自足?！敝v到自己的成就時(shí)，愛因斯坦寫道：“就學(xué)問本身而言，這些理論的推導(dǎo)是如此行云流水，一氣呵成，聰明的人花點(diǎn)力氣就能掌握它。然而，多年來的探索，苦心孤詣，時(shí)而得意，時(shí)而氣餒，到事竟成，其中甘苦，實(shí)在不足為外人道?！睈垡蛩固寡芯恐亓Φ慕?jīng)歷，固然令人神往，他的創(chuàng)獲更是驚天動(dòng)地。但是黎曼幾何學(xué)在其中發(fā)揮的根本作用，也是昭昭然不可抹殺的。半個(gè)多世紀(jì)后，我研習(xí)愛因斯坦方程組，發(fā)現(xiàn)物質(zhì)只能決定時(shí)空的部

9、分曲率，為此心生困惑，自問能否找到一個(gè)真空，即沒有物質(zhì)的時(shí)空，但其曲率不平凡，即其重力為零。當(dāng)然，著名愛因斯坦方程史瓦茲契德（Schwarzschild）解具有這些性質(zhì)。它描述的乃是非旋轉(zhuǎn)的黑洞，這是個(gè)真空，但奇怪地，異常的重力產(chǎn)生了質(zhì)量。然而這個(gè)解具有一個(gè)奇點(diǎn)，在那里所有物理的定律都不適用。我要找的時(shí)空不似史瓦茲契德解所描繪的那樣是開放無垠的，反之，它是光滑不帶奇點(diǎn)，并且是緊而封閉的。即是說，有沒有一個(gè)緊而不含物質(zhì)的空間即封閉的真空宇宙其上的重力卻不平凡？這問題在我心中揮之不去，我認(rèn)為這種空間并不存在。如果能從數(shù)學(xué)上加以論證，這會(huì)是幾何學(xué)上的一條美妙的定理?？ɡ炔孪朐谧C明卡拉比猜想時(shí)，我引

10、進(jìn)了一個(gè)方案，用以尋找滿足卡拉比方程的空間，這些空間現(xiàn)在通稱為卡拉比丘空間。我深深地感到，我無心插柳，已經(jīng)進(jìn)入了一界數(shù)學(xué)高地。它必定與物理有關(guān)，并能揭開自然界深深埋藏的隱秘。從上世紀(jì)七十年代開始，我便在考慮這個(gè)問題。當(dāng)時(shí)，我并不知道幾何學(xué)家歐亨尼奧卡拉比（Eugenio Calabi）早已提出差不多同樣的問題。他的提問透過頗為復(fù)雜的數(shù)學(xué)語言來表述，其中涉及到克勒（Kaehler）流形、里奇曲率、陳類等等，看起來跟物理沾不上邊。事實(shí)上，卡拉比抽象的猜想也可以翻過來，變?yōu)閺V義相對(duì)論里的一個(gè)問題。新的內(nèi)容乃是要求要找的時(shí)空具有某種內(nèi)在的對(duì)稱性，這種對(duì)稱物理學(xué)家稱之為超對(duì)稱。于是上述的問題便變成這樣：

11、能否找到一個(gè)緊而不帶物質(zhì)的超對(duì)稱空間，其中的曲率非零，即具有重力？我與其他人一起試圖證明卡拉比猜想所描述的空間并不存在，花了差不多三年。這猜想不僅指出封閉而具重力的真空的存在性，而且還給出系統(tǒng)地大量構(gòu)造這類空間的途徑，大家都認(rèn)為世間哪有這樣便宜的東西可撿?？墒?，縱然不乏懷疑卡拉比猜想的理由，但沒人能夠反證它。1973年我出席了在斯坦福舉行的國際幾何會(huì)議。這會(huì)議是由奧斯曼（Osserman）和陳省身老師組織的?；蚴怯捎谖遗c兩人的關(guān)系，我有幸作出兩次演講。在會(huì)議期間，我告訴了一些相識(shí)的朋友，說已經(jīng)找到了卡拉比猜想的反例。消息一下子傳開了，徇眾要求，當(dāng)天晚上另作報(bào)告。那晚三十多位幾何工作者聚集在數(shù)學(xué)

12、大樓的三樓，其中包括卡拉比、陳師和其他知名學(xué)者。我把如何構(gòu)造反例說了一遍，大家似乎都非常滿意?？ɡ冗€為我的構(gòu)造給出一個(gè)解釋。大會(huì)閉幕時(shí)，陳師說我這個(gè)反例或可視為整個(gè)大會(huì)最好的成果，我聽后既感意外，又興奮不已?？墒?，真理總是現(xiàn)實(shí)的。兩個(gè)月后我收到卡拉比的信，希望我厘清反例中一些他搞不清楚的細(xì)節(jié)。看見他的信，我馬上就知道我犯了錯(cuò)。接著的兩個(gè)禮拜，我不眠不休，希望重新構(gòu)造反例，身心差不多要垮掉。每次以為找到一個(gè)反例，瞬即有微妙的理由把它打掉。經(jīng)過多次失敗后，我轉(zhuǎn)而相信這猜想是對(duì)的。于是我便改變了方向，把全部精力放在猜想的證明上?；藥啄旯し?，終于在1976把猜想證明了。在斯坦福那個(gè)會(huì)上，物理學(xué)家羅

13、伯特杰勒西（Robert Geroch）在報(bào)告中談到廣義相對(duì)論中的一個(gè)重要課題正質(zhì)量猜想。這猜想指出，在任何封閉的物理系統(tǒng)中，總質(zhì)量/能量必須是正數(shù)。我和舒恩（Schoen）埋頭苦干，利用了極小曲面，終于把這猜想證明了。這段日子的工作把我引到廣義相對(duì)論，我們證明了幾條有關(guān)黑洞的定理。與相對(duì)論學(xué)者交流的愉快經(jīng)驗(yàn)，使我更能開放懷抱與物理學(xué)家合作。至于參與弦論的發(fā)展，則是幾年之后的事了。在證明卡拉比猜想時(shí)，我引進(jìn)了一個(gè)方案，用以尋找滿足卡拉比方程的空間，這些空間現(xiàn)在通稱為卡拉比丘空間。我深深地感到，我無心插柳，已經(jīng)進(jìn)入了一界數(shù)學(xué)高地。它必定與物理有關(guān)，并能揭開自然界深深埋藏的隱秘。然而，我并不知道這

14、些想法在那里會(huì)大派用場(chǎng)，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)我懂得的物理也不多。弦論弦論認(rèn)為時(shí)空的總數(shù)為十。我們熟悉的三維是空間，加上時(shí)間，那便是愛因斯坦理論中的四維時(shí)空。此外的六維屬于卡拉比丘空間，它獨(dú)立地暗藏于四維時(shí)空的每一點(diǎn)里。我們看不見它，但弦論說它是存在的。1984年，我接到物理學(xué)家加里霍羅威茨（Gary Horowitz）和安迪斯特羅明格（Andy Strominger）的電話。他們興沖沖地談到有關(guān)宇宙真空狀態(tài)的一個(gè)模型，這模型是建基于一套叫弦論的嶄新理論上的。弦論的基本假設(shè)是，所有最基本的粒子都是由不斷振動(dòng)的弦線所組成的，時(shí)空必須容許某種超對(duì)稱性。同時(shí)時(shí)空必須是十維的。我在解決卡拉比猜想時(shí)證明存在的空間

15、得到霍羅威茨和斯特羅明格的喜愛。他們相信這些空間會(huì)在弦論中擔(dān)當(dāng)重要的角色，原因是它們具有弦論所需的那種超對(duì)稱性。他們希望知道這種看法對(duì)不對(duì)，我告訴他們，那是對(duì)的。他們聽到后十分高興。不久，愛德華威滕（Edward Witten）打電話給我，我們是上一年在普林斯頓相識(shí)的。他認(rèn)為就像當(dāng)年量子力學(xué)剛剛面世那樣，理論物理學(xué)最激動(dòng)人心的時(shí)刻來臨了。他說每一位對(duì)早期量子力學(xué)有貢獻(xiàn)的人，都在物理學(xué)史上留名。早期弦學(xué)家如邁克爾格林（Michael Green）和約翰施瓦茨（John Schwarz）等人的重要發(fā)現(xiàn)，有可能終究把所有自然力統(tǒng)一起來。愛因斯坦在他的后半生花了三十年致力于此，但至死也未竟全功。當(dāng)時(shí)威

16、滕正與凱德勒斯（Candelas）、霍羅威茨和斯特羅明格一起，希望搞清楚弦論中那多出來的六維空間的幾何形狀。他們認(rèn)為這六維卷縮成極小的空間，他們叫這空間為卡拉比丘空間，因?yàn)樗从诳ɡ鹊牟孪耄⒂晌易C明其存在。弦論認(rèn)為時(shí)空的總數(shù)為十。我們熟悉的三維是空間，加上時(shí)間，那便是愛因斯坦理論中的四維時(shí)空。此外的六維屬于卡拉比丘空間，它獨(dú)立地暗藏于四維時(shí)空的每一點(diǎn)里。我們看不見它，但弦論說它是存在的。這個(gè)添了維數(shù)的空間夠神奇了，但弦理論并不止于此，它進(jìn)一步指出卡拉比丘空間的幾何，決定了這個(gè)宇宙的性質(zhì)和物理定律。哪種粒子能夠存在，質(zhì)量是多少，它們?nèi)绾蜗鄟冏饔茫踔磷匀唤绲囊恍┏?shù)，都取決于卡拉比丘空間或本

17、書所謂“內(nèi)空間”的形狀。理論物理學(xué)家利用狄克拉（Dirac）算子來研究粒子的屬性。透過分析這個(gè)算子的譜，可以估計(jì)能看到粒子的種類。時(shí)空具有十個(gè)維數(shù)，是四維時(shí)空和六維卡拉比丘空間的乘積。因此，當(dāng)我們運(yùn)用分離變數(shù)法求解算子譜時(shí)，它肯定會(huì)受卡拉比丘空間所左右?？ɡ惹鹂臻g的直徑非常小，則非零譜變得異常大。這類粒子應(yīng)該不會(huì)觀測(cè)到，因?yàn)樗鼈冎粫?huì)在極度高能量的狀態(tài)下才會(huì)出現(xiàn)。另一方面，具有零譜的粒子是可能觀測(cè)到的，它們?nèi)Q于卡拉比丘空間的拓?fù)?。由此可見，這細(xì)小的六維空間，其拓?fù)湓谖锢碇惺侨绾闻e足輕重。愛因斯坦過去指出，重力不過是時(shí)空幾何的反映。弦學(xué)家更進(jìn)一步，大膽地說這個(gè)宇宙的規(guī)律，都可以由卡拉比丘空間的

18、幾何推演出來。這個(gè)六維空間究竟具有怎樣的形狀，顯然就很重要了。弦學(xué)家正就此問題廢寢忘食，竭盡心力地研究。威滕很想多知道一點(diǎn)卡拉比丘空間。他從普林斯頓飛來圣迭戈，與我討論如何構(gòu)造這些空間。他還希望知道究竟有多少個(gè)卡拉比丘空間可供物理學(xué)家揀選。原先，他們認(rèn)為只有幾個(gè)即少數(shù)拓?fù)漕惪勺骺紤]，是以決定宇宙“內(nèi)空間”的任務(wù)不難完成。可是，我們不久便發(fā)現(xiàn)，卡拉比丘空間比原來估計(jì)的來得多。1980年初，我想它只有數(shù)萬個(gè)，然而，其后這數(shù)目不斷增加，迄今未止。于是，決定內(nèi)空間的任務(wù)一下子變得無比困難，假如稍后發(fā)現(xiàn)有無數(shù)卡拉比丘空間的話，就更遙不可及了。當(dāng)然，后者是真是假還有待驗(yàn)證，我一直相信，任何維的卡拉比丘空間

19、都是有限的?？ɡ惹鹂臻g的熱潮，始于1984年，當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家，開始了解到這些復(fù)空間或會(huì)用于新興的理論上。熱情持續(xù)了幾年，便開始減退了?？墒堑搅松鲜兰o(jì)八十年代末期，布賴恩格林（Brian Greene）、羅恩布雷斯（Ronen Plesser）、 菲利普凱德拉（Philip Candelas）等人開始研究“鏡象對(duì)稱”時(shí)，卡拉比丘空間又重新成為人們的焦點(diǎn)了。鏡對(duì)稱乃是兩個(gè)具有不同拓?fù)涞目ɡ惹鹂臻g，看起來沒有什么共通點(diǎn)，但卻擁有相同的物理定律。具有這樣關(guān)系的兩個(gè)卡拉比丘空間稱為“鏡象對(duì)”。數(shù)學(xué)家把物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)的鏡象關(guān)系搬過來，成為數(shù)學(xué)上強(qiáng)而有力的工具。在某個(gè)卡拉比丘空間上要解決的難題，可以放到它

20、的鏡象上去考慮，這種做法往往奏效。一個(gè)求解曲線數(shù)目的問題，懸空了差不多一個(gè)世紀(jì)，就是這樣破解的。它使數(shù)數(shù)幾何學(xué)（enumerative geometry）這一數(shù)學(xué)分支，重新煥發(fā)了青春。這些進(jìn)展令數(shù)學(xué)家對(duì)物理學(xué)家及弦論刮目相看。鏡對(duì)稱是對(duì)偶性的一個(gè)重要例子。它就像一面窗，讓我們窺見卡拉比丘空間的隱秘。利用它，我們確定了給定階數(shù)的有理曲線在五次面一個(gè)卡拉比丘空間的總數(shù)，這是一個(gè)非常困難的問題。這問題稱為Schubert問題。它源于十九世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家赫爾曼舍伯特（Hermann Schubert）首先證明，在五次面上共有2875條一階有理曲線。到了1986年，謝爾頓卡茨（Sheldon Katz）

21、證明了有609250條二階曲線。1989年前后，兩位挪威數(shù)學(xué)家蓋爾爾林斯瑞德（Geir Ellingsrud）和斯坦斯達(dá)姆（Stein Stromme）利用代數(shù)幾何的技巧，一下子找到了2638549425條三階曲線?？墒橇硪环矫妫詣P德拉為首的一組物理學(xué)家，卻利用弦論找到317206375條曲線。他們?cè)趯ふ业倪^程中，用了一條并非由數(shù)學(xué)推導(dǎo)出來的適用于任意階數(shù)曲線的公式。這公式的真確與否，還有待數(shù)學(xué)家驗(yàn)證。1991年1月，在伊薩多辛格（Isadore Singer）的敦促下，我組織了弦學(xué)家和數(shù)學(xué)家首次的主要會(huì)議。大會(huì)在伯克利的數(shù)理科學(xué)研究所舉行。會(huì)議上擁埃林斯里德斯達(dá)姆（EllingsrudSt

22、romme）和擁凱德拉團(tuán)隊(duì)的人分成兩派，壁壘分明，各不相讓。這局面維持了幾個(gè)月，直到數(shù)學(xué)家在他們的編碼程序中發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，經(jīng)修正后，結(jié)果竟與物理學(xué)家找到的數(shù)目完全吻合。經(jīng)此一役，數(shù)學(xué)家對(duì)弦學(xué)家深刻的洞察力，不由得肅然起敬。這一幕還說明了鏡象對(duì)稱自有其深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。人們花了好幾年，到了1990年中后期，鏡象對(duì)稱的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明，包括凱德拉等人的公式，才由杰文托（Givental）和LianLiuYau各自獨(dú)立地完成。結(jié)語就弦論而言，我們看到幾何和物理如何走在一起，催生了美妙的數(shù)學(xué)、精深的物理。這些數(shù)學(xué)是如此的美妙，影響了不同的領(lǐng)域，使人們相信它在物理中必有用武之地。話說回來，我們必須緊記，弦“論”畢竟是一套理論而已，它還未被實(shí)驗(yàn)所實(shí)證。事實(shí)上，有關(guān)的實(shí)驗(yàn)還沒有設(shè)計(jì)出來。弦論是否真的與原來設(shè)想的