高中物理選擇性必修36.2.2組合及組合數(shù)（精講解析版）

1、6.2.2 組合及組合數(shù)（精講）思維導(dǎo)圖常見考法考法一 組合的概念【例1】（2020廣東湛江高二單元測試）給出下列問題：有10個車站，共需要準備多少種車票？有10個車站，共有多少中不同的票價？平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？有10個同學(xué)，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？從10個同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，有多少中選派方法？以上問題中，屬于組合問題的是_(填寫問題序號).【答案】【解析】有10個車站，共需要準備多少種車票？相當于從10個不同元素任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；有10個車站，共有多少中不同的票價？相當于從10個不同元素任取2個并成一組，

2、屬于組合問題；平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？相當于從10個不同元素任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；有10個同學(xué)，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？相當于從10個不同元素任取2個并成一組，屬于組合問題；從10個同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，有多少中選派方法？相當于從10個不同元素任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；以上問題中，屬于排列問題的是.【一隅三反】1（2020全國高二課時練習(xí)）以下四個問題中，屬于組合問題的是（ ）A從3個不同的小球中，取出2個小球排成一列B老師在排座次時將甲乙兩位同學(xué)安排為同桌C在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運觀眾中選

3、出2名幸運之星D從13位司機中任選出兩位分別去往甲乙兩地【答案】C【解析】只有從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關(guān)，是組合問題.故選：C.2（2020全國高二課時練習(xí)）下列問題屬于排列問題的是（ ）從10個人中選2人分別去種樹和掃地；從10個人中選2人去掃地；從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作為中的底數(shù)與真數(shù)ABCD【答案】A【解析】排列的概念：從個元素中取個元素，按照一定順序排成一列，由題可知：中元素的選取有順序，中元素的選取無順序，由此可判斷出：是排列問題，故選：A.考法二 組合數(shù)【例2】（1）（2020廣東云浮高二期末）（ ）A

4、BCD（2）（2020湖北高二期末）滿足條件的自然數(shù)有（ ）A7個B6個C5個D4個【答案】（1）D（2）C【解析】（2）故選：D.（2）由得，即，又，且，所以.故選：C.組合數(shù)的兩個性質(zhì)：（1）；（2）【一隅三反】1（2020陜西高二期末）若，則n等于（ ）A11B12C13D14【答案】B【解析】根據(jù)題意，變形可得，；由組合性質(zhì)可得，即，則可得到.故選：B.2（2020林芝市第二高級中學(xué)高二期中）已知，那么（ ）A20B30C42D72【答案】B【解析】 答案選B3設(shè)n為滿足不等式的最大正整數(shù)，則n的值為（ ）A11B10C9D8【答案】D【解析】設(shè)，則，又，由得：，的值為.故選：.4（多

5、選）下列等式正確的是（ ）ABCD【答案】ABD【解析】A.，故正確；B.，故正確；C.，故錯誤；D.，故正確.故選：ABD5（多選）（2020江蘇省豐縣中學(xué)高二期末）如下的四個命題中真命題的標號為（ ）ABCD的展開式中二項式系數(shù)最大的項是【答案】BCD【解析】由于，故A錯誤；由組合數(shù)的性質(zhì)：，故B正確；，故C正確；的展開式中二項式系數(shù)最大的項是，故D正確.故選： BCD考法三 組合應(yīng)用【例3】男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)隊長中至少有1人參加；(4)既

6、要有隊長，又要有女運動員【答案】（1）120 （2）246 （3）196 （4）191【解析】(1)分兩步完成：第一步，選3名男運動員，有Ceq oal(3,6)種選法；第二步，選2名女運動員，有Ceq oal(2,4)種選法由分步計數(shù)原理可得，共有Ceq oal(3,6) Ceq oal(2,4)120(種)選法(2)方法一“至少有1名女運動員”包括以下四種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分類計數(shù)原理可得總選法共有Ceq oal(1,4)Ceq oal(4,6)Ceq oal(2,4)Ceq oal(3,6)Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,6)Ceq oal(4,4

7、)Ceq oal(1,6)246(種)方法二“至少有1名女運動員”的反面為“全是男運動員”，可用間接法求解從10人中任選5人有Ceq oal(5,10)種選法，其中全是男運動員的選法有Ceq oal(5,6)種所以“至少有1名女運動員”的選法有Ceq oal(5,10)Ceq oal(5,6)246(種)(3)方法一(直接法)可分類求解：“只有男隊長”的選法種數(shù)為Ceq oal(4,8)；“只有女隊長”的選法種數(shù)為Ceq oal(4,8)；“男、女隊長都入選”的選法種數(shù)為Ceq oal(3,8)，所以共有2Ceq oal(4,8)Ceq oal(3,8)196(種)選法方法二(間接法)從10人

8、中任選5人有Ceq oal(5,10)種選法，其中不選隊長的方法有Ceq oal(5,8)種所以“至少有1名隊長”的選法有Ceq oal(5,10)Ceq oal(5,8)196(種)(4)當有女隊長時，其他人任意選，共有Ceq oal(4,9)種選法；當不選女隊長時，必選男隊長，共有Ceq oal(4,8)種選法，其中不含女運動員的選法有Ceq oal(4,5)種，所以不選女隊長時的選法共有(Ceq oal(4,8)Ceq oal(4,5)種所以既要有隊長又要有女運動員的選法共有Ceq oal(4,9)Ceq oal(4,8)Ceq oal(4,5)191(種)【方法總結(jié)】組合問題常有以下兩

9、類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理【一隅三反】1（2020江蘇金湖中學(xué)）一個口袋內(nèi)有3個不同的紅球，4個不同的白球（1）從中任取3個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取4個球，使總分不少于6分的取法有多少種？【答案】(1)

10、；(2) .【解析】(1 )從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法：紅球個，紅球個和白球個.當取紅球個時，取法有種；當取紅球個和白球個時，.取法有種.根據(jù)分類計數(shù)原理,紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù)的取法有種.(2 )使總分不少于分情況有兩種：紅球個和白球個，紅球個和白球個.第一種，紅球個和白球個，取法有種;第二種，紅球個和白球個，取法有種,根據(jù)分類計數(shù)原理，使總分不少于分的取法有種.2（2020云南省保山第九中學(xué)）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術(shù)考核（）求從甲、乙兩組各

11、抽取的人數(shù)；（）求從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率【答案】（）2，1；（）；（）.【解析】（）因為車間甲組有10名工人，乙組有5名工人，所以甲、乙兩組的比例是，又因為從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術(shù)考核，所以從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)是2，1；（）因為車間甲組有10名工人，其中有4名女工人，所以從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（）因為車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率3（2020江蘇高二）有男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名.選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)既要有隊長，又要有女運動員.【答案】（1）共有(種)選法；（2）246；（3）191.【解析】第一步：選3名男運動員，有種選法.第二步：選2名女運動員，有