中考備考中的二次函數(shù)問題（李柏生）

1、PAGE PAGE 8中考備考中的二次函數(shù)問題 拋物線上求點的坐標的技巧與方法歸納武漢市漢鐵初中 李柏生二次函數(shù)問題，一直是中考中的一個難點問題，近年來，二次函數(shù)問題經(jīng)常被很多省市作為中考的壓軸題，它是幾何問題與函數(shù)問題的綜合題，幾乎涵蓋所有的幾何考點和函數(shù)考點，加之對代數(shù)中等式的變形，方程的思想等都有較高的要求。這個問題一直是教師在指導復習備考中的重點內(nèi)容，也是學生感到困難的問題，而很多二次函數(shù)問題都涉及到拋物線上點的坐標的求法，對于這類問題的求解技巧與方法筆者作了以下的歸類和總結(jié)：一、當直線與拋物線相交時，可以采用直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立的方法求解。例1：已知拋物線交軸于A、B兩點

2、（A點在B點的左邊），且AB2，交y軸于點C。（1）求這個拋物的解析式；（2）拋物線上是否存在點M，使得銳角MCA的正切值大于3？若存在，求出點M橫坐標的取值范圍；若不存在，說明理由。分析：本題第（2）題主要求出M橫坐標的最大值和最小值的零界值，由畫圖象可知：當時，有最大值，當MC與AC垂直時，有最小值，而求解方法可以利用，所在的直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，求出的坐標。簡解：當時，過A作ACAK交的延長線于K。Rt中，過K作KD軸，垂足為D。1+290，2+390，13又KDAAOC90，KDAAOC，DA3CO9，DK3AO9KC：，（舍） 過C作ACM2C交拋物線于M2過M2作M2E

3、y軸，垂足為E，易得M2CE為等腰Rt, （舍） 成立，不成立M的橫坐標的范圍為例2：如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于另外一點B。（1）求拋物線的解析式；（2）已知點在第一象限的拋物線上，求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標；（3）在（2）的條件下，連結(jié)BD，點P為拋物線上的一點，且DBP45，求點P的坐標。分析：由（1）（2）可知：，本題求解方法眾多，其中一種方法利用BP直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立求得。簡解：過D作DKBD交BP的延長線于K。過D作DFx軸，垂足為F，過K作KEDF，垂足為E，由DKB為等腰Rt, 可得DKEBDFBFDE1，KEDF4，K（1，3）KB：，解得（舍） 當時

4、，二、可以利用幾何手段求出拋物線上點的橫、縱坐標的數(shù)量關(guān)系，用同一字母表示點的坐標代入拋物線的解析式求得。求拋物線上的點的坐標，可由該點向軸，軸引垂線，可以考慮相似、全等、勾股定理、面積、特殊圖形的性質(zhì)等找出該點到軸，軸垂線段的長度的數(shù)量關(guān)系，從而用同一字母表示點的坐標，然后代入拋物線的解析式，即可解得。例3：已知拋物線與軸交于點，與y軸交于點。（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，P為拋物線上的點，且在第二象限，若POA的面積等于POB的面積的2倍，求點P的坐標。分析：由（1）可得過P分別作軸的垂線，垂足分別為F、E點，實際上是POB與POA的高之比。利用面積比和底之比從而求出高之比。簡解：如

5、圖，當，即AO3又，AOPF，OBPE2，設PF3m，PE2m，將其代入解析式，中解得，（舍）例4：拋物線經(jīng)過點交軸于A，B（A在B的左側(cè)）兩點，且OC3OA。（1）求拋物線的解析式；（2）點P為軸上方拋物線上的一點，若PCB與AOC相似，求P點坐標。分析：由PCB與AOC相似，可能是PCBAOC，也可能是CPBAOC。由（1）可得若CPBAOC，如圖1過P分別作軸的垂線，垂足分別為E、F，由CPBAOC，可得AOCCPB90，從而PCFPBE，若PCBAOC，如圖2，由PCBAOC，AOCPCB90，過P作PGy軸。得PGCCOB，從而可求P。簡解：若CPBAOC，如圖1，AOCCPB90，

6、1+290，2+390，23.又PFCPEB90PFCPEB，設PE=m，PE3m，將其代入解析式中，解得（舍）若PCBAOC如圖2，BOC為等腰RtBCO45，又PCB90，PCG45又PGC90，PCG為等腰Rt，設，代入解析式中，（舍），三、設拋物線上的點為，用解方程組的方法求出的值，從而求得P的坐標。法拋物線上的點向軸分別作了垂線之后，無法通過幾何手段找出點的橫、縱坐標的數(shù)量關(guān)系時，可以用兩個字母設拋物線上的點的坐標，但需要兩個等式聯(lián)立成方程組來求。拋物線的解析式可作為一個等式，另一個等式可以通過幾何手段，比如利用相似、勾股定理、面積、全等等找到等量。例5：在平面直角坐標系中，拋物線與

7、軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，且OBOC3OA。（1）求拋物線的解析式；（2）若CH/軸交掃物線的對稱軸于H，在拋物線上是否存在點M，使MHDM？求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，說明理由。分析：由本題（1）可知：C（0，3），A（1，0），B（3，0）第（2）問中，H（2，3）若過M作軸與軸的垂線，找不到M到軸的垂線段的長，而且利用好條件MHDM，我們可以設，一方面有，另一方面有可得，從而通過聯(lián)立解方程組求得。簡解：當M在拋物線的對稱軸右側(cè)時，過M作MG對稱軸，垂足為G，設RtHMD中，由MGHD，又，解得（舍），當M在拋物線的對稱軸的左側(cè)時，由與

8、M關(guān)于對稱軸對稱，例6：如圖，拋物線與軸相交于A，B兩點，與軸交于C點，D為拋物線的項點，A（1，0），連結(jié)DA，DB，有DADB，且ABD的面積為1.（1）求這個拋物線的解析式；（2）連結(jié)CD，在拋物線上是否存在點M，使得CDM為以CD為底的等腰三角形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由。分析：由畫圖可知，存在、分別在對稱軸的兩側(cè)，由題可知垂直平分CD，但不能用的高中的知識求解。在求M1時，過M1分別作軸的垂線，但無法找到兩垂線段之間的數(shù)量關(guān)系，而且還沒有用好這個條件。過作y軸的平行線，分別過C，D作這條平行線的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，可設，在RtM1CE中和RtM1DF中，由勾股定

9、理得 ，又，所以有與聯(lián)立可求得簡解：當M在拋物線對稱軸右側(cè)時，解得（舍），四、當要求拋物線上兩個點的坐標時，兩個點的橫、縱坐標都有關(guān)系，用兩個字母表示這兩個點的坐標，同時代入拋物線的解析式中，聯(lián)立成為方程組而求解。例7：拋物線經(jīng)過A（1，0），C（3，2）兩點，與y軸交于點D，與軸交于另一點B。（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，過點E（1，1）作EFx軸于點F，將AEF繞平面內(nèi)的某點旋轉(zhuǎn)180后得MNQ（點M、N、Q分別與點A、E、F點對應），使點M、N在拋物線上，求點M、N的坐標。分析：由中心對稱的知識可知：MNAE，NQEF，MQAF，畫出圖形MNQ，如圖所示。MQAF2，EFNQ1，可

10、設同時代入解析式中，聯(lián)立即可得到。簡解：聯(lián)立得方程組為用加減消元法即可很快可得：，例8：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的項點A在軸上，與y軸交于點B（0，1），且。（1）求拋物線的解析式；（2）將直線AB平移至EF，使EF2AB，E、F正好落在拋物線上，求E、F的坐標。分析：過點E作軸的平行線，過點F作y軸的平行線，兩線交于H點。得FHEBOA，可設，代入解析式聯(lián)可求得簡解：由加減消元法可得以上通過實例介紹了求拋物線上點的坐標的技巧和方法，即：一、利用直線和拋物線的解析式聯(lián)立求；二、用同一字母表示點的坐標代入解析式中；三、用兩個字母表示點的坐標，再找兩個等式聯(lián)立成為方程組的方法求，其中一個方程由拋物線的解析式轉(zhuǎn)化得到，另一個通過幾何手段得到