高中物理選擇性必修36.1精讀分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第1課時

1、6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第1課時激趣誘思知識點撥今年暑假期間,如果你想去北京旅游,可供選擇的比較理想的旅游路線中,坐動車有三條,坐飛機有兩條,坐汽車有兩條,那么你可以選擇的旅游的往返路線共有幾條呢?激趣誘思知識點撥一、分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.激趣誘思知識點撥名師點析應(yīng)用分類加法計數(shù)原理的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法,怎么才算是完成這件事.(2)完成這件事的n類方案,無論用哪類方案中的哪種方法都可以單獨完成這

2、件事,而不需要再用到其他的方法.(3)確立恰當?shù)姆诸悩藴?準確地對“這件事”進行分類,要求每一種方法必屬于某一類方案,不同類方案的任意兩種方法不同,也就是分類必須既“不重復(fù)”也“不遺漏”.從集合的角度看,若完成一件事分A,B兩類方案,則AB=,AB=U(U表示全集).激趣誘思知識點撥微練習(1)已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,現(xiàn)從這兩個班中任選一人去參加演講比賽,則共有種不同的選法.(2)某人從甲地到乙地,可以乘火車,也可以坐輪船,在這一天的不同時間里,火車有4趟,輪船有3班,則此人的走法共有種.解析:(1)若這個人來自(1)班,則有54種不同的選法;若來自(2)班,則有5

3、6種不同的選法,所以共有110種不同的選法.(2)因為某人從甲地到乙地,乘火車的走法有4種,坐輪船的走法有3種,每一種方法都能從甲地到乙地.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得此人的走法共有4+3=7(種).答案:(1)110(2)7激趣誘思知識點撥二、分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=mn種不同的方法.名師點析應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事必須要完成幾步.(2)完成這件事需要分成若干個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,缺少哪一步,這件事都不可能完成.(3)根據(jù)

4、題意正確分步,要求各步之間必須連續(xù),只有按照這幾步逐步地去做,才能完成這件事,各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏.激趣誘思知識點撥微思考如何區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步?提示:區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步,關(guān)鍵看一步能否完成這件事,若能完成,則是分類,否則,是分步.激趣誘思知識點撥微練習已知某乒乓球隊有男隊員9人、女隊員8人,現(xiàn)從男、女隊員中各選1人去參加比賽,則共有種不同的選法.解析:先從男隊員中選1人,有9種不同的選法,再從女隊員中選1人,有8種不同的選法.由分步乘法計數(shù)原理,得共有98=72(種)不同的選法.答案:72激趣誘思知識點撥三、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別

5、1.聯(lián)系:都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題.2.區(qū)別:分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法互相依存,只有每一個步驟都完成才算做完這件事.激趣誘思知識點撥微練習判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“”,錯誤的畫“”.(1)從書架上任取數(shù)學書、語文書各一本是分類問題.()(2)分步乘法計數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情.()(3)分類加法計數(shù)原理可用來求完成一件事有若干類方法這類問題.()(4)從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究

6、二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分類加法計數(shù)原理例1某校高三共有三個班,各班人數(shù)如下表:班別男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個班中任選1名學生擔任學生會主席,有多少種不同的選法?(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長,有多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測思路分析:(1)從每個班任選1名學生擔任學生會主席都能獨立地完成這件事,因此應(yīng)采用分類加法計數(shù)原理;(2)完成這件事有三類方案,因此也應(yīng)采用分類加法計數(shù)原理.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)從三個班中任

7、選1名學生擔任學生會主席,共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班中選出1名學生,有50種不同的選法;第2類,從高三(2)班中選出1名學生,有60種不同的選法;第3類,從高三(3)班中選出1名學生,有55種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從三個班中任選1名學生擔任學生會主席,共有50+60+55=165(種)不同的選法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長,共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班男生中選出1名學生,有30種不同的選法;第2類,從高三(2)班男生中選出1名學生,有30種不同的選法;第3

8、類,從高三(3)班女生中選出1名學生,有20種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長,共有30+30+20=80(種)不同的選法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 1.分類加法計數(shù)原理的推廣分類加法計數(shù)原理:完成一件事有n類不同的方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+mn種不同的方法.2.能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點(1)完成一件事有若干種方案,這些方案可以分成n類;(2)用每一類中

9、的每一種方法都可以單獨完成這件事;(3)把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測3.利用分類加法計數(shù)原理解題的一般步驟(1)分類,即將完成這件事情的方法分成若干類;(2)計數(shù),求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論,將各類的方法數(shù)相加得出結(jié)果.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練1甲盒中有3個編號不同的紅球,乙盒中有5個編號不同的白球,某同學要從甲、乙兩盒中摸出1個球,則不同的方法有()A.3種B.5種C.8種D.15種解析:要完成“摸出1個球”這件事,有兩類不同的方法.第1類,從甲盒中取出1個球,有3種不同的取法;第2類,從乙盒中取出1個球,有

10、5種不同的取法.故共有3+5=8(種)不同的方法.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分步乘法計數(shù)原理例2一種號碼鎖有4個撥號盤,每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字,這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼?(各位上的數(shù)字允許重復(fù))解:按從左到右的順序撥號可以分四步完成:第1步,有10種撥號方式,所以m1=10;第2步,有10種撥號方式,所以m2=10;第3步,有10種撥號方式,所以m3=10;第4步,有10種撥號方式,所以m4=10.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可以組成N=10101010=10 000(個)四位數(shù)的號碼.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究 若各位上的數(shù)字不允許重復(fù),那

11、么這個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼?解:按從左到右的順序撥號可以分四步完成:第1步,有10種撥號方式,即m1=10;第2步,去掉第1步撥的數(shù)字,有9種撥號方式,即m2=9;第3步,去掉前兩步撥的數(shù)字,有8種撥號方式,即m3=8;第4步,去掉前三步撥的數(shù)字,有7種撥號方式,即m4=7.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可以組成N=10987=5 040(個)四位數(shù)的號碼.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分步,將完成這件事的過程分成若干步;(2)計數(shù),求出每一步中的方法數(shù);(3)結(jié)論,將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測

12、變式訓(xùn)練2張老師要從教學樓的一層走到三層,已知從一層到二層有4個扶梯可走,從二層到三層有2個扶梯可走,則張老師從一層到三層有多少種不同的走法?解:第1步,從一層到二層有4種不同的走法;第2步,從二層到三層有2種不同的走法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,張老師從教學樓的一層到三層的不同走法有42=8(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測兩個計數(shù)原理的應(yīng)用例3現(xiàn)有高一四個班的學生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數(shù)學課外小組.(1)選其中一人為負責人,有多少種不同的選法?(2)每班選一名組長,有多少種不同的選法?(3)推選兩人做中心發(fā)言,這兩人需來自不同的班級,有

13、多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)分四類:第1類,從一班學生中選1人,有7種選法;第2類,從二班學生中選1人,有8種選法;第3類,從三班學生中選1人,有9種選法;第4類,從四班學生中選1人,有10種選法.由分類加法計數(shù)原理知共有不同的選法N=7+8+9+10=34(種).(2)分四步:第1、2、3、4步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長.由分步乘法計數(shù)原理知共有不同的選法N=78910=5 040(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(3)分六類,每類又分兩步.從一、二班學生中各選1人,有78種不同的選法;從一、三班學生中各選1人,有79種不同的選法;從一

14、、四班學生中各選1人,有710種不同的選法;從二、三班學生中各選1人,有89種不同的選法;從二、四班學生中各選1人,有810種不同的選法;從三、四班學生中各選1人,有910種不同的選法.由分類加法計數(shù)原理知共有不同的選法N=78+79+710+89+810+910=431(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 1.使用兩個原理的原則使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計數(shù)原理;“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時可用分步乘法計數(shù)原理.2.應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個

15、步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進行計算.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練3如圖,從甲地到乙地有3條公路可走,從乙地到丙地有2條公路可走,從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走.從甲地到丙地共有多少種不同的走法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:要從甲地到丙地共有兩類不同的方案:第1類,從甲地經(jīng)乙地到丙地,共需兩步完成,第1步,從甲地到乙地,有3條公路可走;第2步,從乙地到丙地,有2條公路可走.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,從甲地經(jīng)乙地到丙地有32=6(種)不同的走法.第2類,從甲

16、地不經(jīng)乙地到丙地,有2條水路可走,即有2種不同的走法.由分類加法計數(shù)原理知,從甲地到丙地共有6+2=8(種)不同的走法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分類討論思想的應(yīng)用典例在某種信息傳輸過程中,用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息,不同排列表示不同信息.若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為()A.10B.11C.12D.15探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解析:分0個相同、1個相同、2個相同討論.(1)若0個相同,則信息為1001,共1個.(2)若1個相同,則信息為0001,1101,1011,1000,共4個.(3)若2個相同,又

17、分為以下情況:若位置一與二相同,則信息為0101;若位置一與三相同,則信息為0011;若位置一與四相同,則信息為0000;若位置二與三相同,則信息為1111;若位置二與四相同,則信息為1100;若位置三與四相同,則信息為1010.共有6個.故與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為1+4+6=11.答案:B 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛 利用分類加法計數(shù)原理解題時的注意點(1)切實理解“完成一件事”的含義,根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準,分類標準要統(tǒng)一,不能遺漏;(2)分類時,注意完成這件事情的任何一種方法必屬于某一類方案,分類的關(guān)鍵在于做到“不重不漏”;(

18、3)確定題目中是否有特殊條件限制.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.某校高一年級共8個班,高二年級共6個班,從中選一個班級擔任學校星期一早晨升旗任務(wù),安排方法共有()A.8種B.6種C.14種D.48種解析:由分類加法計數(shù)原理,得完成升旗這一任務(wù)分兩類,安排方法共有8+6=14(種).答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數(shù)為()A.11B.28C.16 384D.2 401解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選一件,有4種不同的選法;第2步,選長褲,從7條長褲中任選一條,有7種不同的選法.故共有47=28(種)不同的配法.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測3.(2020山東濟南高三三模)中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,已知甲同學喜歡牛、馬和猴,