高中物理選擇性必修36.1精讀分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第2課時(shí)

1、第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第2課時(shí)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.將3張不同的奧運(yùn)會(huì)門票分給10名同學(xué)中的3人,每人1張,則不同分法的種數(shù)是()A.2 160B.720C.240D.120解析第1張門票有10種分法,第2張門票有9種分法,第3張門票有8種分法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有1098=720(種)分法.答案B2.從0,1,2,9這10個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)(a,b)的坐標(biāo),能夠確定不在x軸上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.100B.90C.81D.72解析分兩步,第1步選b,因?yàn)閎0,所以有9種不同的選法;第2步選a,因?yàn)閍b,所以也有9種不同的選

2、法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有99=81(個(gè))點(diǎn)滿足要求.答案C3.(2020北京魯迅中學(xué)高二月考)算籌是在珠算發(fā)明以前我國(guó)獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具,為我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大貢獻(xiàn).在算籌計(jì)數(shù)法中,以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字,如圖,表示多位數(shù)時(shí),個(gè)位用縱式,十位用橫式,百位用縱式,千位用橫式,以此類推,遇零則置空,如圖:如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?那么可以表示的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.46B.44C.42D.40解析按每一位算籌的根數(shù)分類一共有15種情況,如下,(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3

3、,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4).2根及2根以上的算籌可以表示兩個(gè)數(shù)字,運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,則上述情況能表示的三位數(shù)字個(gè)數(shù)分別為2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2.根據(jù)分步加法計(jì)數(shù)原理,5根算籌能表示的三位數(shù)字個(gè)數(shù)為2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.故選B.答案B4.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為()A.42B.30C.20D.12解析原定的5個(gè)節(jié)

4、目產(chǎn)生6個(gè)空位,將其中1個(gè)新節(jié)目插入,有6種不同的插法,然后6個(gè)節(jié)目產(chǎn)生7個(gè)空位,將另一個(gè)新節(jié)目插入,有7種不同的插法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有76=42(種)不同的插法.答案A5.(2020天津高二月考)某縣總工會(huì)利用業(yè)余時(shí)間開設(shè)太極、書法、繪畫三個(gè)培訓(xùn)班,甲、乙、丙、丁四人報(bào)名參加,每人只報(bào)名參加一項(xiàng),且甲、乙不參加同一項(xiàng),則不同的報(bào)名方法種數(shù)為.解析甲有三個(gè)培訓(xùn)可選,甲、乙不參加同一項(xiàng),所以乙有兩個(gè)培訓(xùn)可選,丙、丁各有三個(gè)培訓(xùn)可選,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的報(bào)名方法種數(shù)為3233=54.答案546.已知集合M=1,2,3,4,集合A,B為集合M的非空子集,若對(duì)xA,yB,xy恒成立,則

5、稱(A,B)為集合M的一個(gè)“子集對(duì)”,則集合M的“子集對(duì)”共有個(gè).解析當(dāng)A=1時(shí),B有23-1=7(種)情況;當(dāng)A=2時(shí),B有22-1=3(種)情況;當(dāng)A=3時(shí),B有1種情況;當(dāng)A=1,2時(shí),B有22-1=3(種)情況;當(dāng)A=1,3,2,3,1,2,3時(shí),B均有1種情況,所以集合M的“子集對(duì)”共有7+3+1+3+3=17(個(gè)).答案177.五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個(gè)不同的子項(xiàng)目,每個(gè)工程隊(duì)承建1個(gè),其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目,則不同的承建方案有種.解析完成承建任務(wù)可分五步.第1步,安排1號(hào),有4種不同的承建方案;第2步,安排2號(hào),有4種不同的承建方案;第3步,安排3號(hào),有3種不同的承建方

6、案;第4步,安排4號(hào),有2種不同的承建方案;第5步,安排5號(hào),有1種承建方案.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,共有44321=96(種)不同的承建方案.答案968.某文藝小組有20人,其中會(huì)唱歌的有14人,會(huì)跳舞的有10人,從中選出會(huì)唱歌與會(huì)跳舞的各1人參加演出,且既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的至多選1人,有多少種不同的選法?解第1類,首先從只會(huì)唱歌的10人中選出1人,有10種不同的選法,從會(huì)跳舞的10人中選出1人,有10種不同的選法,共有1010=100(種)不同的選法;第2類,從既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的4人中選1人,再?gòu)闹粫?huì)跳舞的6人中選1人,共有46=24(種)不同的選法.所以一共有100+24=124(種)不同的

7、選法.9.在3 000到8 000之間有多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)?解分兩類:一類是以3,5,7為首位的四位奇數(shù),可分三步完成:先排首位有3種方法,再排個(gè)位有4種方法,最后排中間兩個(gè)數(shù)有87種方法,所以滿足要求的數(shù)有3487=672(個(gè)).另一類是首位是4或6的四位奇數(shù),也可分三步完成,滿足要求的數(shù)有2587=560(個(gè)).由分類加法計(jì)數(shù)原理得,滿足要求的數(shù)共有672+560=1 232(個(gè)).10.如圖是某校的校園設(shè)施平面圖,現(xiàn)有不同的顏色作為各區(qū)域的底色,為了便于區(qū)分,要求相鄰區(qū)域不能使用同一種顏色.若有6種不同的顏色可選,求有多少種不同的著色方案.操場(chǎng)宿舍區(qū)餐廳教學(xué)區(qū)解操場(chǎng)可從6種顏色中任選

8、1種著色;餐廳可以從剩下的5種顏色中任選1種著色;宿舍區(qū)和操場(chǎng)、餐廳顏色都不能相同,故可以從剩下的4種顏色中任選一種著色;教學(xué)區(qū)和宿舍區(qū)、餐廳的顏色都不能相同,故可以從剩下的4種顏色中任選1種著色.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有6544=480(種)不同的著色方案.能力提升練1.袋中有8個(gè)不同的紅球,7個(gè)不同的白球,6個(gè)不同的黃球,現(xiàn)從中任取兩個(gè)不同顏色的球,不同的取法有()A.336種B.21種C.104種D.146種解析分三類:當(dāng)取出一紅一白時(shí),有87種不同的取法;當(dāng)取出一紅一黃時(shí),有86種不同的取法;當(dāng)取出一白一黃時(shí),有76種不同的取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知有N=87+86+76=146(

9、種)不同的取法.答案D2.從集合1,2,3,10中任意選出三個(gè)不同的數(shù),使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,這樣的等比數(shù)列個(gè)數(shù)為()A.3B.4C.6D.8解析遞增的等比數(shù)列為1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9共4個(gè).同理,遞減的等比數(shù)列也有4個(gè),故所求的等比數(shù)列有8個(gè).答案D3.現(xiàn)從甲、乙、丙等6名學(xué)生中安排4人參加4100 m接力賽跑,第一棒只能從甲、乙兩個(gè)人中安排一人,第四棒只能從甲、丙兩個(gè)人中安排一人,則不同的安排方法共有種.解析若甲跑第一棒,則丙跑第四棒,此時(shí)不同的安排方法有43=12(種);若乙跑第一棒,則不同的安排方法有243=24(種),故不同的安排方法共有24+12=36(種)

10、.答案364.(2020浙江寧波高三專題練習(xí))某超市內(nèi)一排共有6個(gè)收費(fèi)通道,每個(gè)通道處有1號(hào)、2號(hào)兩個(gè)收費(fèi)點(diǎn),根據(jù)每天的人流量,超市準(zhǔn)備周一選擇其中的3處通道,要求3處通道互不相鄰,且每個(gè)通道至少開通一個(gè)收費(fèi)點(diǎn),則周一這天超市選擇收費(fèi)的安排方式共有種.解析設(shè)6個(gè)收費(fèi)通道依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,從中選擇3個(gè)互不相鄰的通道,有135,136,146,246共4種不同的選法.對(duì)于每個(gè)通道,至少開通一個(gè)收費(fèi)點(diǎn),即可以開通1號(hào)收費(fèi)點(diǎn),開通2號(hào)收費(fèi)點(diǎn),同時(shí)開通兩個(gè)收費(fèi)點(diǎn),共3種不同的安排方式.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得超市選擇收費(fèi)的安排方式共有433=108(種).答案1085.從-3,-2,-1

11、,0,1,2,3中任取三個(gè)不同的數(shù)作為拋物線y=ax2+bx+c(a0)的系數(shù),如果拋物線過原點(diǎn),且頂點(diǎn)在第一象限,那么這樣的拋物線共有多少條?解第1步,確定c的取值.由題意知c=0,所以c有1種取值方法;第2步,確定a的取值.由于a0,因此b有3種取值方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,知滿足題意的拋物線共有N=331=9(條).6.(1)從5種顏色中選出3種顏色,涂在一個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)上,每一個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色,并使同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)異色,求不同的涂色方法數(shù);(2)從5種顏色中選出4種顏色,涂在一個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)上,每個(gè)頂點(diǎn)上涂一種顏色,并使同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)異色,求不同的涂色方法數(shù).解(1

12、)如圖,由題意知,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所涂色互不相同,則A,C必須顏色相同,B,D必須顏色相同,所以共有54311=60(種)不同的涂色方法.(2)(方法一)由題意知,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所涂色互不相同,則A,C可以顏色相同,B,D可以顏色相同,并且兩組中必有一組顏色相同.所以,先從兩組中選出一組涂同一顏色,有2種選法(如:B,D顏色相同);再?gòu)?種顏色中,選出四種顏色涂在S,A,B,C四個(gè)頂點(diǎn)上,最后D涂B的顏色,有5432=120(種)不同的涂色方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有2120=240(種)不同的涂色方法.(方法二)分兩類.第1類,C與A顏色相同.由題意

13、知,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所涂色互不相同,它們有543=60(種)不同的涂色方法.共有54312=120(種)不同的涂色方法.第2類,C與A顏色不同.由題意知,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所涂色互不相同,它們有543=60(種)不同的涂色方法.共有54321=120(種)不同的涂色方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有120+120=240(種)不同的涂色方法.素養(yǎng)培優(yōu)練1.(2020浙江高一課時(shí)練習(xí))稱子集AM=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11是“好的”,如果它有下述性質(zhì)“若2kA,則2k-1A且2k+1A(kN)”(空集和M都是“好的”),則M中有多少個(gè)包含2個(gè)偶數(shù)

14、的“好的”子集?解 含有2個(gè)偶數(shù)的“好的”子集A,有兩種不同的情形:兩偶數(shù)是相鄰的,有4種可能:2,4;4,6;6,8;8,10.每種情況必有3個(gè)奇數(shù)相隨(如2,4A,則1,3,5A).余下的3個(gè)奇數(shù)可能在A中,也可能不在A中,故這樣的“好的”子集共有423=32(個(gè)).兩偶數(shù)不相鄰,有6種可能:2,6;2,8;2,10;4,8;4,10;6,10.每種情況必有4個(gè)奇數(shù)相隨(如2,6A,則1,3,5,7A).余下的2個(gè)奇數(shù)可能在A中,也可能不在A中,故這樣的“好的”子集共有622=24(個(gè)).綜上所述,M中有32+24=56(個(gè))包含2個(gè)偶數(shù)的“好的”子集.2.(2020河北遷西第一中學(xué)高二期中)用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙),要求在A,B,C,D四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色.(1)若n=6,則為甲圖著色時(shí)共有多少種不同