高考知識點(diǎn)分章復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)列

1、第三章 數(shù)列一、數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與它的序號n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式a=f（n）（nN+或其有限子集1，2，3，n） 來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 通項(xiàng)公式 數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中一個(gè)確定的數(shù)，是函數(shù)值，而序號是指數(shù)列中項(xiàng)的位置，是自變量的值由通項(xiàng)公式可知數(shù)列的圖象是 散點(diǎn)圖 ，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 項(xiàng)的序號值 ，縱坐標(biāo)是 各項(xiàng)的值 不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一二、數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)an-1，an-2，）間關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f（a）（n=2，3，） （或an=

2、f（a,a）(n=3，4，5，)，）來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 遞推公式 三、數(shù)列的求和公式：設(shè)Sn表示數(shù)列an和前n項(xiàng)和，即Sn=a1+a2+an，如果Sn與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式Sn= f（n）（n=1，2，3，） 來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 求和公式 四、通項(xiàng)公式an與求和公式Sn的關(guān)系：五、等差數(shù)列與等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列符號定義通項(xiàng)其中（）前n項(xiàng)和其中中項(xiàng)主要性質(zhì)若則推論：若則若則推論：若則六、數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法題型一：應(yīng)用“公式”求數(shù)列通項(xiàng)例1（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解析：（1）

3、當(dāng)，當(dāng)又不適合上式，故（2）當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)撥：一般的利用公式 求，特別要注意是否合適.題型二：利用“構(gòu)造法”求數(shù)列的通項(xiàng)例2. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：， ，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列，所以。點(diǎn)撥：若數(shù)列滿足為常數(shù)），則令來構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對應(yīng)項(xiàng)相等求的值，求通項(xiàng)公式。例3.數(shù)列中，則。解：是以首項(xiàng)為2，公比也為2的等比數(shù)列。所以，故有：點(diǎn)撥：先構(gòu)造等比數(shù)列，這是化歸思想的具體應(yīng)用，再用疊加法求出通項(xiàng)公式，當(dāng)然本題也利用了等比數(shù)列求和公式。例4已知數(shù)列中對于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？（必修5教材69頁）解：，又形成首項(xiàng)為7，公比為3的等比數(shù)列，則

4、又因?yàn)?，所以，從而形成了一個(gè)首項(xiàng)為13，公比為1的等比數(shù)列 則點(diǎn)撥：本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，屬于構(gòu)造方面比較級，最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例5數(shù)列中，若，則（ ）A B C D解：又是首項(xiàng)為公差3的等差數(shù)列。 所以選A變式題型：數(shù)列中，求解：是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，點(diǎn)撥：且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列，發(fā)散之后，兩種構(gòu)造思想相互聯(lián)系,相互滲透，最后融合到一起。題型三：利用“遞推關(guān)系”求數(shù)列的通項(xiàng)例6.根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式（1）， .（2）.解析：（1）兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列

5、的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2）因?yàn)?，所以所以，以上個(gè)式相加得 ：即：點(diǎn)撥：在遞推關(guān)系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系數(shù)法或迭代法。題型四：應(yīng)用“累加法”求數(shù)列的通項(xiàng)例7.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得：，則所以點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。題型五：應(yīng)用“累乘法

6、”求數(shù)列的通項(xiàng)例9(1)已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 (2)已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：(1)依題意得：,(2)因?yàn)?，所以，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。題型六：應(yīng)用“待定系數(shù)法”求數(shù)列的通項(xiàng)例10.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例11.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式

7、，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例12.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。題型七：應(yīng)用“迭代法”求數(shù)列的通項(xiàng)例13.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以又，所以?shù)列的通項(xiàng)公

8、式為。題型八：應(yīng)用“不動點(diǎn)法”求數(shù)列的通項(xiàng)例14.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動點(diǎn)。因?yàn)椤Ｋ詳?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例15.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動點(diǎn)。因?yàn)?，所以。點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。七、數(shù)列求和的方法題型一：利用“公式法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和如果一個(gè)數(shù)列

9、是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式來求.等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：例1已知，求的前n項(xiàng)和.解：由，由等比數(shù)列求和公式得 1例2.設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得 ， 當(dāng) ，即n8時(shí)，題型二：利用“倒序相加法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和類似于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.例3.求證：證明： 設(shè)（反序：把式右邊倒轉(zhuǎn)過來）又由可得+得：（反序相加）例4

10、.求的值解：設(shè).（反序：把式右邊倒轉(zhuǎn)過來）又因?yàn)?+得：（反序相加）89 S44.5例5.已知函數(shù)，且；求的值.解：由得兩式相加得： 所以.點(diǎn)撥：解題時(shí)，認(rèn)真分析對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和.例6.針對訓(xùn)練1：求值：題型三：利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和類似于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘得到，即數(shù)列是一個(gè)“差比”數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法.若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令則，兩式相減并整理即得。例7.求和：解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè).（設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減）再利用等

11、比數(shù)列的求和公式得：例8.求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè)（設(shè)制錯(cuò)位）得（錯(cuò)位相減）例9求和：解：= 1 * GB2= 2 * GB2= 1 * GB3= 2 * GB3（設(shè)制錯(cuò)位） 由= 1 * GB3= 2 * GB3得：（錯(cuò)位相減）點(diǎn)撥：1、錯(cuò)位相減法的求解步驟：在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比；將兩個(gè)等式相減；利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.2、若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法；3、當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對字母是否為1進(jìn)行討論；4、當(dāng)將與相減合并同類項(xiàng)時(shí)，注意錯(cuò)位及未合并項(xiàng)的正負(fù)號。題型四：利用“裂

12、項(xiàng)相消法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法。適用于類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等。用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：（1），特別地當(dāng)時(shí)，（2），特別地當(dāng)時(shí)（3），（4），（5） ，（6）,（7）,（8），（9）例10.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若等于（ B ）例11.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和解： =點(diǎn)撥：裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差，且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消

13、項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同.例12.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)（裂項(xiàng)）則 （裂項(xiàng)求和） 例13. 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： （裂項(xiàng)） 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為： （裂項(xiàng)求和） 例14. 數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，=）點(diǎn)撥：= 1 * GB3若數(shù)列的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和。= 2 * GB3使用裂項(xiàng)消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)。針對訓(xùn)練4：求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型五：利用“拆項(xiàng)分組求和法（分組求和）”求數(shù)列的前n項(xiàng)和有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例15.求和：解：點(diǎn)撥：這是求和的常用方法，按照一定規(guī)律將數(shù)列分成等差（比）數(shù)列或常見的數(shù)列，使問題得到順利求解.例16.求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得：（分組）當(dāng)a1時(shí)， （分組求和）當(dāng)時(shí)，針對訓(xùn)練5