兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

1、5-1如圖所示的系統(tǒng)，若運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0,x105mm,x10 x200,試求系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。解：5-1如圖所示的系統(tǒng)，若運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0,x105mm,x10 x200,試求系統(tǒng)k:;k帶入可得運(yùn)動(dòng)微分方程:mx+2kx-kx=021令xxAcos(t+,),12代入原方程可得5-1如圖所示的系統(tǒng)，若運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0,x105mm,x10 x200,試求系統(tǒng)5-1如圖所示的系統(tǒng)，若運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0,x105mm,x10 x200,試求系統(tǒng)oacost+,)+kAcos(t+,)0有5-1如圖所示的系統(tǒng)，若運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0,x105mm,x10 x200,試求系統(tǒng)x5

2、mm,x=x=0,101020有Acos,5,一Aosin,=0,可得A=5mm,=0 xx15cos2x1p1有兩個(gè)值5x=cos22mck5tm25-2圖示為一帶有附于質(zhì)量m1和m2上的約束彈簧的雙擺，采用質(zhì)量的微小水平平移xi和x2為坐標(biāo)，設(shè)m1=m2=m，l1=2=1，k1=k2=0，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。m2不動(dòng)，對(duì)m2，mi沿xi方向移動(dòng)1個(gè)單位，保持mi進(jìn)行受力分析，可得mg2kmg0,2i/22,m(B)(kk+k)/(m+m)g0iii2im+mk一i2g+kkii/i2ii同理使m2沿x2方向移動(dòng)一個(gè)單位，保持m(A)=-kl2i2ii2m+mmg一i2g+k+一2/

3、i/i2mi不變，對(duì)-k+mi2/2km(C)=(k一k)*l一mg=02222222，Zm2受力分析可得:k,km,0ii2imik,ki222，質(zhì)量距陣0,m2k剛度矩陣為帶入可得運(yùn)動(dòng)的微分方程為m,0i0,m2fk,kIii2iTk,ki222“mx+k+m2x2mx+kx二Fxix2=F；m+mm2g+-gxi/丿m2g2xi2liL“mg+k2/12丿mix/22Fi(t)綜上解得：I利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣k。設(shè)xii,x20對(duì)mi:，分別畫出件與x2F2(t)m2的受力圖，并施加二物塊力kii，k21，列平衡方程,Y0，X0，Tcos”Tcos”mg0kTsin”Tsin”k

4、=0iiii22i對(duì)m2:i2X0，Y0，ik+Tsin”02i22Tcos”mg0222設(shè)x1平衡方程，0,x21，分別畫出化與m2的受力圖，并施加二物塊力k12,k22，列對(duì)m2:工X0工Y0工X0工Y0k,Tsin00122TTcos0mg0121kkTsin002222Tcos0mg02由，sin0tan01廠1，sin0tan0221T2cos0COS01COS012，1sin0tan0=12，解得，(m,m)gmg12,2l1k=k,11121gl212得作用力方程為k22k,mg2l2由方程得到系統(tǒng)的剛度矩陣為(m,m)gm12,l1mg2ll12丄mgk,22Xix2p(t)1

5、P(t)2系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為由頻率方程K=3mgTmgT-mglmgT0K-p2M0得3mgp2mlmglmgTmgp2ml0展開為P4m2124lP2m2g+2m2g20，解出頻率為(22)p1lgp2(2，2)lgadjB(1)由特征矩陣BKp2M的伴隨矩陣的第一列,mg-p2mlmgT并分別代入V13mg二頻率值，得到二階振型為lmgl11+；2V2mgl3mglr1r1A(1)1+2A(1)12、1、1系統(tǒng)的主振型矩陣為5-3圖示的扭振系統(tǒng)由無質(zhì)量的軸和兩個(gè)圓盤組成，已知軸段的扭轉(zhuǎn)剛度為k01及k02,圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I、I2,并受到扭矩M、M2的作用，試寫出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程，并求系統(tǒng)

6、的固有頻率和主振型。題5-3圖解：取0102為廣義坐標(biāo)，它們分別為M、M2的轉(zhuǎn)角。當(dāng)01=1，02=0時(shí)，k11,k21分別表示保持系統(tǒng)該位置平衡，應(yīng)加在M、M2的力偶矩,由剛體的平衡條件得kk+k110102k，k2102當(dāng)01=0，02=1時(shí)，k11,k21分別表示保持系統(tǒng)該位置平衡，應(yīng)加在M、M2的力偶矩,由剛體的平衡條件得kk2202k，k對(duì)0102取任意值時(shí),2102根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可得系統(tǒng)的微分方程為+k0+k0M11H11221I0+k0+k0M2221122221n1nI+(k+k)-k=M11010210221I-k+k二M2202102225-4圖示懸臂梁的質(zhì)量不計(jì)，梁的

7、抗彎剛度為EI,設(shè)m1=m2=m，試寫出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。1n1n1n1n題5-4圖解：取為xrx2廣義坐標(biāo)，根據(jù)柔度影響系數(shù)的定義，表示在m1處施加單位力(沿x1方向)在m1處產(chǎn)生的位移。按材料力學(xué)的撓度公式，則有(1)_H丄3EI24EI22表示在m2處施加單位力(沿x2方向)在m2處產(chǎn)生的位移。有13_223EI1221表示在m2處施加單位力在m1處產(chǎn)生的位移等于在m1處施加單位力在m2處產(chǎn)生的位移。有1(1)_丄+圧亠2124EI2EI48EI系統(tǒng)的位移方程=(Fmx)+(Fmx)1111112222=(Fmx)+o(Fmx)11,*22222x1211x

8、即有所求微分方程2為xi1xI21324EI51348EI51348EI133EI_F-1F2mIIxI22丿1n1n其柔度矩陣為1112_133EI2122181161161n1n系統(tǒng)的特征矩陣為令_且_“3EIp2_51L，0(mX)(m九)，(mm)2_51_51矩陣L的伴隨矩陣為.九，m且九，mm-九m16mL6mA8_51M=首先僅在質(zhì)量m1處施加iTi且A(，)i4/_系統(tǒng)的主振型為A（i,解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣豎直單位力Q=1，則產(chǎn)生的位移是：6ii；m2產(chǎn)生的位移是：621。畫出m的受力圖，如圖（1）。_51_51M(x)，x2v”，(-x)EI21(l1)v，(x一x2)cTOC

9、 o 1-5 h zEI22iV，dlx21x3)cxdEI46iix=0時(shí),v=0,所以ci=0；v，所以di=0。l3x，o，時(shí)，ii24EI；以為0非常小，所以有sinv，l5l3o，o+sin0，2iii248EI12處產(chǎn)生的位移為22。畫出S的再在m2上施加單位力，則mi處產(chǎn)生的位移為_51M(x)=l-xv(l-X)Elv丄(lx-1X2),cEl22v丄(丄lx2-1X3),cx,dEl26220；v0，x0時(shí)，lX2時(shí)，V0，所以C25l3O1245El所以d20O旦2248Elx=l時(shí)，于是可以寫出柔度矩陣25l3A48ElL516系統(tǒng)的特征矩陣L=AM-丄lp2ml3248

10、El5p216p2ml3令48EI,X=丄p2，則有L2一尢5516-九頻率方程，(2-九)(16-九)-2520求出各根九1=17.6九2=%p1.65于是得到固有頻率1Elml3p2ml310.9EladjL為求系統(tǒng)的主振型，先求adjL將九1，九2分別代入第一列，則各階主振型為0.3216九52九A(1)1-3.1A(2丨1_515-5如圖所示，拉緊的無質(zhì)量弦上附著兩個(gè)質(zhì)量m1與m2，假定質(zhì)量作橫向微振動(dòng)時(shí)弦中拉力Ft不變，設(shè)m1m2=m，試寫出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。_51_51解：在豎直方向以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)（正方向豎直向下）。令有單位位移yi，而m2保持不

11、動(dòng)，k11k12分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)在吧施加的力，由剛體mim2的平衡條件得k112Ft/1，k21-Ft/1。my再令2有單位們移2，同理可得k12-Ft/1k222Ft/1,kK11k因此，可得到剛度矩陣V21k)12k丿22z,2F/1tF/1t-F/八t2F/1丿t_51_51可寫出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為Mx+K=0，整理后得，m0,2F/1F/1)，0、1x+ttxj0m丿JF/12F/1Jj0J解：令x1=1，x2=0k2112Fk11=2FTsin9=2Fttan0=2FT1=1(00)1,X01FFk二2-k=t_51圖5521。21。所以系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為：m10

12、2FTlFTlF，Tl2FTlx10_x01-21解：取x,x為廣義坐標(biāo)。12對(duì)1球的進(jìn)行受力分析。552l+1n5-l2l113T2l,3T同理可得，5-225=51221=l_3Tm-3T1110ml21110P201_3T12p2012L=AM-nn1p2n4a=3T，=L=2a-a2a-n(2a-)2-a2n-3a且-a121v3a52Ja1pi=,pL的伴隨矩陣為2a-a2a-=3anA(i)=11則-211lTl2lLAM-丄Ip2A(2)11由受力平衡得：2l113F213F同理，受單位力時(shí)，得2l123F223F于是可以寫出柔度矩陣A3F12系統(tǒng)的特征矩陣LAMml2(Xml3

13、FLp2p22a,3F101p2p2則有：2a一,L0頻率方程，得(2a,)2a20求出各根,a,3a12于是得到固有頻率TOC o 1-5 h z3FFPTPT1ml2ml HYPERLINK l bookmark153為求系統(tǒng)的主振型，先求adjL2a_,aadjLa2a_,將1，2分別代入第一列，則各階主振型為11A(1)A(2)115-6圖中剛性桿的質(zhì)量不計(jì)，按圖示坐標(biāo)建立微分方程，試求出系統(tǒng)固有頻率和主振型。題5-6圖k5k11k二4k21121解的1k二5k22同理得也12=4系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為解：當(dāng)m下降單位長(zhǎng)度時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)受力平衡和m所受力矩為零得:2k+k+k+k

14、011212kl+kl+k.21=0血J?砧m0-5k4kMK=02m4k5k0m由Mx+Kx,0得微分方程B系統(tǒng)的特征矩陣為由頻率方程5kp2m4k5kp2m4k4k5k2p2mp2解得1k，6.85mkmp22p，2.617固有頻率為1adjB，特征矩陣的伴隨矩陣x5k4kx0_1+1,4k5kx0無2m24k5k2p2m2p4一15一p2+9一得=0.65-5k2p2m4k4kA（i），將固有頻率值代入，得主振型或由公式求固有頻率和主振型b，12m11k5ka，ii，mm，11，p21,21-1_A（2）=0.4625，1.08755kp2m,4km，k21m22,2km，5k力kd一m

15、2m2222，+be2a+dap211bap21_b把數(shù)據(jù)代入以后的結(jié)果是：，0.921,1，2.171p=0.811k,p=2.616k1m2m5-7試求圖示系統(tǒng)的固有頻率和主振型。已知m1=2m2=2m。題5-7圖5-8剛桿AB長(zhǎng)1,質(zhì)量不計(jì)。其一端B鉸連接，另下連接彈簧常量為k的彈簧，并掛有質(zhì)量為m的物體D,拉住，使桿在水平位置平衡，試求系統(tǒng)的固有頻率。一端剛連一質(zhì)量為m的物體A；其桿AB中點(diǎn)用彈簧常量為k的彈簧題5-8圖解：x0,x1:ADk=k?k=k；1121xA1,xD0k1,k1k1-k,k5k224221222kk|1m0 xx11+510mk-kx2無242解得k12=0知

16、kp2mk=0k14kp2m9mk土65mkp2，8m2k,pm，1.46P1解：給桿AB一單位轉(zhuǎn)角，m，0B，kll+kll-k2211，0.3422則有，0，所以,5l24對(duì)物體D有k21kl=給物體D一單位位移，則對(duì)物體D有k22k=0又k12=k21，klk11所以k21=_kl得k22=kK,4kl2|klkl所以剛度矩陣為5kl24klklxiX2kl2p2mkl4kmm，p2,1.65klp1，0.37系統(tǒng)的固有頻率為5-9兩根相同的重為W的桿，在中簡(jiǎn)鉸支，桿長(zhǎng)為2a。兩桿的端點(diǎn)以彈簧k和k1聯(lián)接如圖。試求這一系統(tǒng)的固有頻率及主振型。題5-9圖5-10一剛性圓盤質(zhì)量為M,半徑為R

17、。圓盤軸心上鉸聯(lián)一根長(zhǎng)為l的臂，臂端帶有一個(gè)質(zhì)量為m的擺錘，如題5-10圖所示。求擺錘自由振動(dòng)時(shí)的固有頻率。廣義坐標(biāo)為X和x2,它們完整地確定了系統(tǒng)的位置，并且對(duì)任意約束都是獨(dú)立的。22題5-10圖x=ROU=mgl(1-cos)=221丿(x2-x1)2令q,=x1，用拉格朗日方程rd1Q(T)dt丿dx1=Mx12Mx1axi21丿(-2x22x1)于是可得到運(yùn)動(dòng)方程：(x1-x2)=03.mx21d1a（T）-dt丿dx2Q(U)=Mx2令q,=x2，用拉格朗日方程=號(hào)(2X2-2XJ可得運(yùn)動(dòng)方程為mx2(x2-x1)=0假定x1=X1sin“,x2=X2sin“，就可求解這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程組。X1mg1r3mi“2Lx-mg-I1,2,I211X1(mg)(mg)X2=01丿”-m“2=0因此，可得頻率方程(3Mrg)rr3mO4o2m+,2J1J2丿0CO可以得到O=0或1X-2m日X3M25-11題5-11(a)圖所示兩層剛架式框架。各層樓面質(zhì)量分別為m=m,m=2m；各層k蘭里k的側(cè)移剛度ih3(該層柱子上，下兩端發(fā)生單位相對(duì)位移時(shí)，該層各柱剪力之和)，試分析其自由振動(dòng)。設(shè)橫梁變形略去不計(jì)。解：(1)求剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M在各樓層處附加水平鏈桿，并分別使各層產(chǎn)生一單位位移。由各層的剪力平衡條件，可求得各剛度影響系數(shù)，其數(shù)值分別如圖5-11