幻方普通構(gòu)造法

1、目錄幻方基本知識(shí)1普通幻方構(gòu)造法2奇數(shù)階幻方的 Lombere 構(gòu)造法（斜排法）2單偶數(shù)（即 2(2m + 1)階）階幻方的 Ralph Strachey 構(gòu)造法3雙偶數(shù)（即 4m 階）階幻方的構(gòu)造法4奇數(shù)階完美幻方構(gòu)造5雙偶數(shù)階完美幻方構(gòu)造6雙偶數(shù)完美幻方（兼田格化，奇偶數(shù)列型）方程6雙偶數(shù)完美幻方特點(diǎn)證明7雙偶數(shù)完美幻方（兼田格化，奇偶數(shù)列型）編制93 的奇數(shù)倍階優(yōu)化幻方的構(gòu)造11構(gòu)造完美幻方的方法12長(zhǎng)方基磚13廣義全等和拉完美幻方.14.19完美幻方的變換及構(gòu)造完美幻方（兼對(duì)稱）24高次冪幻方的簡(jiǎn)捷方法26拉與高次冪幻方26平方幻方的.28立方幻方的編制30幻方通解公式35i幻方基本知

2、識(shí)幻方定義：把 1 n2 個(gè)自然數(shù)分別填入 n n 個(gè)方格中，形成方陣，如果每行、每列以及主對(duì)角線上所填自然數(shù)之和分別都等于某一定值（稱為幻和），則此方陣稱為幻方。全對(duì)稱幻方：在 n 階幻方中，凡中心對(duì)稱的兩數(shù)之和都相等，等于 n2 +1，那么該幻方稱為全對(duì)稱幻方。完美幻方（純幻方）：一個(gè)由 1 n2 連續(xù)自然數(shù)的方陣，如果它的每一行、每一列以及每一泛對(duì)角線的 n 個(gè)元和都相等，則稱這個(gè)方陣為 n 階完美幻方或 n 階純幻方。有理純幻方和無(wú)理純幻方：如果一個(gè)純幻方，可分拆成有限多個(gè)同階方陣的代數(shù)和，且每一個(gè)分拆方陣均為全對(duì)稱方陣，則稱該純幻方為有理純幻方；否則，稱該純幻方為無(wú)理純幻方。性質(zhì)：n

3、 階幻方的幻和等于 1 n(n 2 1)2證明：假設(shè) n 階幻方的幻和等于 S，因?yàn)? 2 L n2 1 n2 (n2 1) ，2而 n 階幻方共 n 行，每行的和都等于幻和 S，而且nS = 1 + 2 + n2因此S 1 n(n2 1) 。2二階幻方不存在，因?yàn)榧僭O(shè)二階幻方存在，并且如下圖所示，按照幻方定義a1 + a2 = a3 + a4， a1 + a3 = a2 + a4，上面兩式子相減，得到a2 a3 = a3 a2，也就是 a2 = a3，與幻方的定義。n 2 時(shí)，n 階幻方都存在，而三階段幻方實(shí)際上只有一種（如下圖所示），1816357492a1a2a3a4其余的三階幻方都是由

4、其中一種經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、反射后得到的，這樣的幻方視為同種幻方，同種幻方稱為一個(gè)基本幻方。四階以及四階以上的幻方不止一種，其中四階基本幻方有 880 個(gè)，五階基本幻方有 275305224 個(gè)，五階以上的基本幻方個(gè)數(shù)至今還是未知數(shù)，下面介紹的構(gòu)造法是多種同類幻方中的一種。普通幻方構(gòu)造法奇數(shù)階幻方的 Lombere 構(gòu)造法（斜排法）下面以五階幻方為例子，其它奇數(shù)階幻方的構(gòu)造方法步驟相同1列最上格起填 1（或者最小的數(shù)字）2在 n 的右上方格子填寫 n + 1，特殊情況分以下幾種情況處理（以粗體字表示）： A如果要填寫的數(shù)字在最上方行的上面，則把數(shù)字移到對(duì)應(yīng)的列的最下方行處2B如果要填寫的數(shù)字在最右方列的

5、右面，則把數(shù)字移到對(duì)應(yīng)的行的最左方列處4C如果要填寫的數(shù)字 n + 1 的右上方格子已經(jīng)被別的數(shù)字占了，則 n + 1 填寫在 n的正下方3如果 n 已經(jīng)處在是最右上方格子，則 n + 1 填寫在 n 的正下方215463214321214繼續(xù)按照步驟 2 填寫，直到把格子填寫完71416該方法構(gòu)造出來(lái)的幻方是全對(duì)稱幻方。單偶數(shù)（即 2(2m + 1)階）階幻方的 Ralph Strachey 構(gòu)造法下面以十階幻方為例子，其它 2(2m + 1)階幻方的構(gòu)造方法步驟相同1把方陣劃分為 A（左上），B（右下），C（右上），D（左下）四個(gè)小方陣，每邊有 u= 2m + 1 格ACDB2使 A，B，

6、C，D 四方陣內(nèi)分別含元素 1 u2，u2 + 1 2u2，2u2 + 1 3u2，3u2 + 1 4u2，按照奇數(shù)階 Lombere 法把四方陣填寫成 u 階幻方3在 A 中的行取第 2，m + 1 個(gè)元素，其它行取第 1，m 個(gè)元素，把這些元素共 m(2m + 1)個(gè)與 D 中對(duì)應(yīng)行元素互換（下面粗體字的表示已經(jīng)互換后的元素）31724181567745158652357141673555764664613202254566370721012715311182529616875525992997683904249263340988082899148303239417981889597293

7、13845478587949678353744462886931007784364350273464在 B 中取右起共 m 1 列，共(m 1)(2m + 1)個(gè)元素與 C 中同列對(duì)應(yīng)行元素互換（下面粗體字的表示已經(jīng)互換后的元素），2(2m + 1)階幻方構(gòu)造完成據(jù)估計(jì)，2(2m + 1)階幻方不存在完美幻方。雙偶數(shù)（即 4m 階）階幻方的構(gòu)造法下面以八階幻方為例子，其它 4m 階幻方的構(gòu)造方法步驟相同1先作元素 1 (4m)2 的自然方陣2m2 個(gè)四階方陣的兩主對(duì)角線的元素不動(dòng)（每個(gè)粗邊框的小方陣表示每個(gè)分開(kāi)的四階方陣，表格中粗體的數(shù)字）412345678910111213141516171

8、819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364929918156774515840988071416735557644148188202254566370478587712886932529616875523417247683904249263365235828991483032396679613959729313845721012949678353744465311435027599299181567745158659880714167355576466

9、48188202254566370728587715386932529616875525917247683904249263340235828991483032394179613959729313845471012949678353744462811435027343其余 8m2 個(gè)元素關(guān)于方陣中心作對(duì)稱互換（表格中不是粗體的數(shù)字），4m 階幻方構(gòu)造完成由該方法構(gòu)造出的幻方是全對(duì)稱幻方，但不是完美幻方。奇數(shù)階完美幻方構(gòu)造奇數(shù)完美幻方（兼對(duì)稱，雪花幻方，兩條正對(duì)角線三次方和相等，七階是五次方和相等）可以直接編寫，編寫要訣稱為“躍馬過(guò)檀溪法”。其特色是：馬步跨度隨方陣階數(shù) n 的大小而變化。每走

10、n 1 步（即當(dāng)填寫的數(shù)字除以 n 的余數(shù)是 1 時(shí)）后，向前飛躍一步。假設(shè)陣階數(shù)是 n，第 i 行第 j 列填寫的數(shù)字是 a(i, j)，具體步驟如下：1第 n 1 行第 n 1 列處填寫數(shù)字 1。222假設(shè)已經(jīng)填寫到第 i1 行第 j1 列，當(dāng) mod(a(i1, j1), n) 0 時(shí)，進(jìn)行以下操作： 1 ，j2 = j1 1。當(dāng) i2 n，則令i 1 ；當(dāng) j2 = 0，則令 j2 = n。A i 2222Ba(i2, j2) = a(i1, j1) + 1。假設(shè)已經(jīng)填寫到第 i1 行第 j1 列，當(dāng) mod(a(i1, j1), n) = 0 時(shí)，進(jìn)行以下操作：Ai2 = i1，j2

11、 = j1 2。當(dāng) j2 0 時(shí)，令 j2 = j1 + n 2。 Ba(i2, j2) = a(i1, j1) + 1。反復(fù)進(jìn)行步驟 2 和 3，直至把方鎮(zhèn)填寫完。5856101153521415494818194544222341253938282935343233313036372726402442432120464717165051766061326412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364

12、例：七階完美幻方兩條正對(duì)角線上各數(shù)一至五次方和分別相等：左對(duì)角線：40 + 21 + 44 + 25 + 6 + 29 + 10 = 175右對(duì)角線：16 + 5 +36 + 25 + 14 + 45 + 34 = 175左對(duì)角線：402 + 212 + 442 + 252 + 62 + 292 + 102 = 5579右對(duì)角線：162 + 52 +362 + 252 + 142 + 452 + 342 = 5579左對(duì)角線：403 + 213 + 443 + 253 + 63 + 293 + 103 = 199675右對(duì)角線：163 + 53 +363 + 253 + 143 + 453 +

13、 343 = 199675左對(duì)角線：404 + 214 + 444 + 254 + 64 + 294 + 104 = 7611779右對(duì)角線：164 + 54 +364 + 254 + 144 + 454 + 344 = 7611779左對(duì)角線：405 + 215 + 445 + 255 + 65 + 295 + 105 = 301784875右對(duì)角線：165 + 55 +365 + 255 + 145 + 455 + 345 = 301784875雙偶數(shù)階完美幻方構(gòu)造由連續(xù)自然數(shù) 1，2，3，n2（n 能被 4 整除）組成的 n 階數(shù)字方陣，都可以完美幻方。本文所創(chuàng)立的幻方，都可以由簡(jiǎn)單方程

14、求得幻方所有的數(shù)。尤其是當(dāng) n 為雙偶數(shù)時(shí)，不論 n 值多大，只要從方程中求出四個(gè)數(shù)，即可一氣呵成，編成具有特殊性質(zhì)的完美幻方。其特點(diǎn)：1、 方程中的數(shù)由 1，2，3，n2 連續(xù)自然數(shù)組成。1222、 方陣中任何行，列以及所有左右斜對(duì)角線(共 2n 條)諸數(shù)和為常數(shù)，n) 。n3、 方陣中對(duì)稱位置上的數(shù)，具有對(duì)應(yīng)關(guān)系。4、 在方陣中，取任何相鄰的四個(gè)數(shù)組成正方形， 其數(shù)值和為常數(shù) S = 2(n2 + 1)。5、 由奇數(shù)，偶數(shù)數(shù)列組成數(shù)字方陣。雙偶數(shù)完美幻方（兼田格化，奇偶數(shù)列型）方程、數(shù)字方陣方程(第二象限)將 n 階方陣，以其上下，左右中心線為坐標(biāo)軸，劃分四個(gè)象限。當(dāng) i = 1，3，5，

15、 n 1 ；j = 1，3，5， n 1 時(shí)：2264083272448164621381330522327441254917414728452037122943422643184210a (i, j) 1 n(i 1) j 1（1）14當(dāng) i = 2，4，6， n ；j = 2，4，6， n 時(shí)：2231a (i, j) n n(i 2 2) j（2）184當(dāng) i = 1，3，5， n 1 ；j = 2，4，6， n 時(shí)：22a (i, j) 7 n2 1 n(i 1) j 1（3）284當(dāng) i = 2，4，6， n ；j = 1，3，5， n 1 時(shí)：22a (i, j) 3 n2 1 n

16、(i 2) j（4）244、與第二象限對(duì)稱位置上其它象限數(shù)的分布由下列關(guān)系方程求得：第一象限：n2a1 (i, n 1 j) 1 a1 (i, j)（5）2a (i, n 1 j) 3 n2 1 a (i, j)（6）222第三象限：a1(n + 1 i, j) = n2 + 2 a1(i, j)a2(n + 1 i, j) = n2 a2(i, j)（7）（8）第四象限：n2a1 (n 1 i, n 1 j) 1 a1 (i, j)（9）2n22a2 (n 1 i, n 1 j) a2 (i, j) 1 （10）雙偶數(shù)完美幻方特點(diǎn)證明引理 1：由雙偶數(shù)完美幻方方程的方陣中，存在二個(gè)數(shù)同時(shí)為左

17、右斜對(duì)角線上的數(shù)。證明：設(shè)第二象限有一個(gè)數(shù) a(i, j)，在其左斜對(duì)角線上有一個(gè)數(shù)為 a(i + L, j + L)，在其右斜對(duì)角線上有一個(gè)數(shù)為 a(i + L, j + n L)。若a(i + L, j + n L) = a(i + L, j + L)，則有i + L = i + L，j + n L = j + L。解得 L L n ，2即 a(i L, j n L) a(i L, j L) a(i n , j n ) 。22由此得出 a(i n , j n ) 即是 a(i, j)左斜對(duì)角線上一個(gè)數(shù)，又是 a(i, j)右斜對(duì)角線的一個(gè)22數(shù)。引理 2 ： 在雙偶數(shù)方陣中， 在第二象限有

18、一個(gè) a1(i, j) ，與方陣中另一數(shù)7n2nna1 ( 2 1 i, 2 1 j) 之和等于 2 時(shí)，則 a1(i, j) 與其左右斜對(duì)角線共用另一數(shù) 2n2nnnna1 (i 2 , j 2 ) 之和等于 n + 1。即：若 a1 (i, j) a1 ( 2 1 i, 2 1 j) 2 時(shí)，則：22nna (i, j) a (i , j ) n 1。21122證明： a (i n , j n ) a (n 1 ( n 1 i), n 1 ( n 1 j) 根據(jù)關(guān)系方程（9）112222n 2nnnna1 (n 1 ( 2 1 i), n 1 ( 2 1 j) 1 a1 ( 2 1 i,

19、2 1 j)2即n 2nnnna1 (i 2 , j 2 ) 1 a1 ( 2 1 i, 2 1 j)（11）2已知n2nna1 (i, j) a1 ( 2 1 i, 2 1 j) 2（12）2nn將（11），（12）聯(lián)立解得 a (i, j) a (i , j ) n 1。211223n2nn同理可證：當(dāng) a2 (i, j) a2 ( 2 1 i, 2 1 j) 時(shí)，則有2a (i, j) a (i n , j n ) n2 1 。2222雙偶數(shù)完美幻方性質(zhì)：任一左右斜對(duì)角線上共用一對(duì)數(shù)之和等于 n2 + 1，其諸數(shù)和：2 1) 。證明：設(shè) a1(i, j)為方程（1）一個(gè)數(shù)a (i, j)

20、 1 n(i 1) j 1（13）14設(shè) a ( n 1 i, n 1 j) 為方程（2）一個(gè)數(shù)122a ( n 1 i, n 1 j) 3 n 2 1 n( n 1 i) n 1 j（14）1228422將方程（13）和（14）相加得n2nna1 (i, j) a1 ( 2 1 i, 2 1 j) 22nn根據(jù)引理 2 則有 a (i, j) a (i , j ) n 1。21122到 a (i, j) a (i n , j n ) n2 1 。同理方程（3）與（4）2222由此到雙偶數(shù)完美幻方，在第二象限任何一個(gè)數(shù) a1(i, j)（或 a2(i, j)）其左右斜角線上共用一對(duì)數(shù) a (i

21、 n , j n )（或 a (i n , j n ) ）之和等于 n2 + 1。雙偶數(shù)完美幻方，任一1222228斜對(duì)角線上的數(shù)為 n 個(gè)，其上有 n 對(duì)，其和等于 n2 + 1。所以斜對(duì)角線上諸數(shù)22 1) 。田格化性質(zhì)：雙偶數(shù)完美幻方中，在任意位置取四個(gè)相鄰數(shù)組成正方形，其四個(gè)數(shù)之和CS = 2(n2 + 1)。證明：第二象限任取相鄰四個(gè)數(shù)組成的正方形，其四個(gè)數(shù)分別為：a1(i, j)，a1(i + 1, j + 1)，a2(i, j + 1)，a2(i + 1, j)；并代入方程（1），（2），（3），（4）。得a1 (i, j) a1 (i 1, j 1) a2 (i, j 1) a

22、2 (i 1, j) 1 (i 1) j 1 3 n 2 1 n(i 1) j 1 7 n 2 1 n(i 1) j 3 n 2 1 n(i 1) j4 2(n 2 1)848444根據(jù)關(guān)系方程（5），（6），（7），（8），（9），（10）對(duì)于其它象限任意位置上相鄰四個(gè)數(shù)的正方形，其四個(gè)數(shù)和亦為 CS = 2(n2 + 1)。雙偶數(shù)完美幻方其它特點(diǎn)是顯而易見(jiàn)的，不再詳細(xì)證明。雙偶數(shù)完美幻方（兼田格化，奇偶數(shù)列型）編制雙偶數(shù)完美幻方編制是極容易的，它不必從方程（1），（2），（3），（4）計(jì)算出所有數(shù)，將方陣分四個(gè)象限，每一個(gè)象限分布兩個(gè)偶數(shù)數(shù)列和兩個(gè)奇數(shù)數(shù)列，只要知道數(shù)列首項(xiàng)的位置，即可一氣

23、呵成，編寫出整個(gè)完美幻方。將方陣分四個(gè)象限，每一個(gè)象限分布兩個(gè)偶數(shù)數(shù)列和兩個(gè)奇數(shù)數(shù)列：奇數(shù)數(shù)列：n 2J1：1，3， 18n 28n 243n 28n2n2 1 ， 3 ， 1J2：84n 23n 2 1 ， 3 ， 1J3：43n 288 3 ， 12n 2 1 ，J4：n 2n 25n 2J5： 1 ， 3 ， 12285n 285n 283n 243n 2 1 ， 3 ， 1 4J6：3n 27n 2J7： 1 ， 3 ， 1847n 27n 22J8： 1 ， 3 ，n 188J1 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 n 行第 n 1 列處，J2 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 n 第 2 列處，J3 數(shù)列首項(xiàng)22填

24、寫在第 n 1 行第 1 列處，J4 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 n 1行第 n 2 處，J5 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 n22行第 n 列處，J6 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 n 行第 n 1列處，J7 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 n 1第 n 列處，22229J8 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 n 1 行 n 1 列處。偶數(shù)數(shù)列：n 28O1：2，4，n 28n 243n 28n 28n 24n 243n 28 2 ， 4 ，O2： 2 ， 4 ，O3：3n 28n 22 2 ， 4 ，O4：n 2n 25n 28O5： 2 ， 4 ，225n 285n 283n 243n 247n 28 2 ， 4 ，O6：3n 2O7： 2 ， 4

25、，47n 27n 2O8： 2 ， 4 ，n288O1 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 1 行第 1 列處，O2 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 n 1 第 n 2 列處，O3 數(shù)列22首項(xiàng)填寫在第 n 2 行第 n 1 列處，O4 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 2 行第 2 處，O5 數(shù)列首項(xiàng)填寫在22第 n 行第 n 1 列處，O6 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 1 行第 n 1 列處，O7 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 2 第 n22列處，O8 數(shù)列首項(xiàng)填寫在第 n 2 行 n 1列處。22雙偶數(shù)完美幻方編制的步驟：（1）填寫奇數(shù)數(shù)列順序：按奇數(shù)數(shù)列順序及數(shù)列首項(xiàng)位置 J1，J2，J3，J4，J5，J6，J7， J8，填入 1，3，5，n2 1。每一

26、數(shù)列填數(shù)規(guī)律：數(shù)列首項(xiàng)在象限左下部（如第一象限 J1），數(shù)列填數(shù)從下而上，從左至右，列與列之間填數(shù)，中間空一格，行與行之間填數(shù)，中間空一行。(2) 填寫偶數(shù)數(shù)列順序：按偶數(shù)數(shù)列順序及數(shù)列首項(xiàng)位置 O1，O2，O3，O4，O5，O6， O7，O8 填入 2，4，6，n2。數(shù)列首項(xiàng)在象限左上部（如第二象限 O1），數(shù)列填數(shù)從上而下，從左至右， 列與列之間填數(shù)，中間空一格，行與行之間填數(shù)，中間空一行。奇、偶數(shù)列的首項(xiàng)位置如下圖所示：10以下的十二階完美幻方就是按照上面的編制方法構(gòu)造出來(lái)的。3 的奇數(shù)倍階優(yōu)化幻方的構(gòu)造當(dāng) n = 3k（k 是大于 1 的奇數(shù)）時(shí)B(i, j)，其中 B(i, j) =

27、 A(i, n + 1 j)。構(gòu)造符合“優(yōu)化方陣”條件的兩個(gè)正交方陣 A(i,j)，構(gòu)造 A 陣的關(guān)鍵環(huán)節(jié)在于 A 陣的中間行。當(dāng) k = 3 時(shí)，中間行的元素的設(shè)計(jì)（當(dāng)然，有多種設(shè)計(jì)）為：2，3，1，4，5，6，9，7，8他們的第 1，4，7 列，第 2，5，8 列及第 3，6，9 列上 3 個(gè)元和都等于 15。當(dāng) k 5 的奇數(shù)時(shí)，把 1，2，3，n j = 1，2，3，k）當(dāng) i = 1，2 時(shí)：E(i, 1) = i + 1；E(3, 1) = 1；一個(gè) 3 行 k 列的矩陣：E(i, j)（i = 1，2，3；當(dāng) i = 1，2，3；j = 2，4，k 1 時(shí)：E(i, j) = 3

28、(j i) + i；當(dāng) i = 1，2，3；j = 1，3，k 2 時(shí)：E(i, j) = 3j i + 1； E(1, k) = 1；當(dāng) i = 2，3 時(shí)：E(i, k) = n + i 4；1121254123612196679469927110756105581036013114119101171211510261100639865101629964976671209118111161411316111181091085510657104599568937091721126312451224978517653741432014122139241323113033128353889408

29、742854384458247801372613528133301382537903988418613132129341273614473O1O6O4O7第二象限第一象限J7J4J6J1O5O2O8O3第三象限第四象限J3J8J2J5令 E 陣的 j 列上的元素，依次為 A 陣中間行的第 3j 2，3j 1，3j 列上的元素。A 陣中間行上方的行由下向上一列一列地填寫。當(dāng)列數(shù) j n 1 時(shí)，上一行的第 j 列的2數(shù)是下一行的第 j n 1 列的數(shù)；當(dāng)列數(shù) j n 1 時(shí)，上一行的第 j 列的數(shù)是下一行的第22j n 1 列的數(shù)。2A 陣中間行下方的行由上向下填寫。當(dāng)列數(shù) j n 1 時(shí)，上一

30、行的第 j 列的數(shù)是下一行2的第 j n 1 列的數(shù)；當(dāng)列數(shù) j n 1 時(shí)，上一行的第 j 列的數(shù)是下一行的第 j n 1 列的222數(shù)。由 H(i, j) = n(A(i, j) 1) + B(i, j)，其中構(gòu)造成的方陣即所要構(gòu)造的幻方。以九階幻方為例，A 陣如下圖所示：構(gòu)造完成后的九階幻方：構(gòu)造完美幻方的方法在以往完美幻方中，常采用拉理論，但只限于 n 為素?cái)?shù)時(shí)，可直接n 階完）美幻方。對(duì)于 n 為合數(shù)時(shí)，則以編制二個(gè)廣義全等和拉正交數(shù)陣（或稱全等和完美幻方，但至今未找到編制的簡(jiǎn)便方法。在采用馬步法中，只限于 n 為奇數(shù)時(shí)，且 n 不含 3 的因子時(shí)，可以編制出完美幻方。目前尚無(wú)數(shù)的

31、n 階完美幻方。的方法編制 n 3，n 為非單偶123294452816068131978596710212354354208344551775864125076556611267364273576540467556712453137487462283947806172221303853798238269782385697823456978231782314569經(jīng)研究表明，當(dāng) n 為非單偶數(shù)，n 3 的任何數(shù)都可以由長(zhǎng)方基磚組n 階廣義全等和拉。且存在正交方陣，進(jìn)而n 階完美幻方（純幻n 階完美幻方（兼對(duì)稱）。定義一：由自然數(shù) 1，2，3，p1p2，（p1 p2）排成 p1 行 p2 列的長(zhǎng)

32、方數(shù)陣，若任 1p p ) ，則稱該長(zhǎng)方數(shù)陣為長(zhǎng)方基磚，記為 G(i, j)。一行各數(shù)和相等，其和1222例： 由 1 ， 2 ， 3 ， ， 15 組成三行、五列的長(zhǎng)方數(shù)陣，且每行各數(shù)之和： S 1 5 (3 5 1 4 ，則該數(shù)陣2長(zhǎng)方基磚，見(jiàn)圖 1。圖 1長(zhǎng)方基磚不是唯一的。下面給出長(zhǎng)方基磚最簡(jiǎn)易表達(dá)式，同時(shí)可以直接編寫。長(zhǎng)方基磚1、n 3，n 為奇數(shù)時(shí)（1）n = p 型，p 為素?cái)?shù)，長(zhǎng)方基磚為一行，1，2，3，p（2）n = p2 型，p 為素?cái)?shù)，長(zhǎng)方基磚為 p 行 p 列。長(zhǎng)方基磚表達(dá)式：G1(i, j) = i + (p + 1)(j 1)其中：i = 1，2，3，p；j = 1

33、，2，3，p + 1 i G2(i, j) = i + (p + 1)(j 2) + 1其中：i = 1，2，3，p；j = p i + 2，j = p i + 3，pn = p2 的長(zhǎng)方基磚可直接由二個(gè)自然數(shù)陣粗體數(shù)字右斜線將粗體數(shù)字行，作為長(zhǎng)方基磚的列。，見(jiàn)圖 2（n = 25），長(zhǎng)方基磚圖 2（3）n = p1p2 型，p1 為 n 中最小素?cái)?shù)，p1 p2，p2 為任何一個(gè)奇數(shù)，那么此長(zhǎng)方基1312345789106131415111219201617182521222324123451234567891067891011121314151112131415161718192016171

34、81920212223242521222324251691081213磚為 p1 行 p2 列。2n = p1p2 = p1 + p1(p2 p1)分解為 p1 長(zhǎng)方基磚和 p1(p2 p1)長(zhǎng)方基磚組成，p1(p2 p1)表達(dá)式如下：12G (i, j) p( p p )(i 1) ( j p )312112其中： i 1 ，2，p1；j = p1 + 1，p1 + 2， 1 ( p p )122G (i, j) p p 1 ( p p )(i 1) ( p j)41 22122其中： i 1 ，2，p ； j ( p p ) 1 ， 1 ( p p ) 2 ，p211121222例：n =

35、 65 = 52 + 5 (13 5)，解 G1(i, j)，G2(i, j)，G3(i, j)，G4(i, j)得五行十三列長(zhǎng)方基磚，見(jiàn)圖 3。圖 32、n 為雙偶數(shù)時(shí)n = 4p 型，p 為不含 3 因子的正整數(shù)，此長(zhǎng)方基磚為 2 行 2p 列長(zhǎng)方基磚。長(zhǎng)方基磚表達(dá)式如下：G5(i, j) = p(i 1) + j其中：i = 1，2；j = 1，2，p G6(i, j) = 4p p(i +1) + j其中：i = 1，2；j = p + 1，p + 2，2p例：n = 16 = 2 8 為二行八列長(zhǎng)方基磚，解 G5(i, j)，G6(i, j)，得圖 4：圖 43、n 為單偶數(shù)時(shí)單偶數(shù)

36、長(zhǎng)方基磚不存在，因?yàn)橛啥?，p（p 為奇數(shù)）的長(zhǎng)方數(shù)陣，若每行各數(shù)和相等，則 S 1 p(2 p 1) 。因 2p + 1 和 p 都是奇數(shù)，其乘積仍然是奇數(shù)，不能被 2 整除。而每行各2數(shù)均為整數(shù)。所以單偶數(shù)不存在長(zhǎng)方基磚。廣義全等和拉定義二：由 n 個(gè) 1，2，3，n 組成的 n n 方陣，若任一行任一列及所有泛對(duì)角線141234891011121713192526272829626364652814202130313233585960613915162234353637545556574101117233839404150515253561218244243444546474849上的各

37、數(shù)都是由 1，2，3，n 組成的一種排列，無(wú)重復(fù)數(shù)出現(xiàn)，其和均相等 S 1 n(n 1) ，2則稱該方陣為純拉，記為 l(i, j)。若任一行任一列及所有泛對(duì)角線允許出現(xiàn)重復(fù)數(shù)，但其和仍相等，則稱該方陣為 n 階廣義全等和拉5，圖 6 所示。，記為 L(i, j)，或稱全等和。如圖圖 5圖 6定義三：設(shè) n 階廣義全等和拉，若將其第一列，第二列，第 n 列作為新方陣的第一行，第二行，第 n 行，則稱新方陣 LT(i, j)為 L(i, j)方陣的轉(zhuǎn)置方陣。見(jiàn)圖 7。LT(i, j)L(i, j)圖 7定義四：設(shè) L1(i, j)，L2(i, j)為同階廣義全等和拉，若把 L1(i, j)到 L

38、2(i, j)上，若。疊加后所有的序?qū)幌嗤?，則稱 L1(i, j)，L2(i, j)為正交廣義全等和拉如圖 17（a）與圖 17（b），其所有序?qū)θ缦拢?1,1)，(4,2)，(1,4)，(4,3)，(2,4)，(3,3)，(2,1)，(3,2)，(4,1)，(1,2)，(4,4)，(1,3)，(3,4)，(2,3)，(3,1)，(2,2)。1、n 階廣義全等和拉方法：n 階廣義全等和拉，可由 n 個(gè)相同的 n = p1p2 長(zhǎng)方基磚組合而成，方法如下：（1）將 p2 個(gè)長(zhǎng)方基磚向上，每砌一層向外伸出一列。見(jiàn)圖 8a。（2）以最上一層長(zhǎng)方基磚為基準(zhǔn)取齊，成豎立長(zhǎng)方塊。見(jiàn)圖 8b。（3）由

39、p1 個(gè)豎立長(zhǎng)方塊并排組廣義全等和拉L(i, j)。見(jiàn)圖 8c。例：n = 2 4 長(zhǎng)方基磚組廣義全等和拉。如下：1543124312341323212345451232345ab圖 8c圖 8c 為廣義全等和拉。其特點(diǎn)：1）任一行各數(shù)和均相等到， S 1 n(n 1) ，且任一行每個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn) p1 次。2任一列各數(shù)是由 1，2，3，n 組成的一種排列，各數(shù)和 S 1 n(n 1) 。2所有的左右泛對(duì)角線上各數(shù)均是由 1，2，3，n 組成的一種排列，各數(shù)和S 1 n(n 1) 。2該方陣與其轉(zhuǎn)置方陣為正交方陣。即將該方陣 i 列，作為新方陣的 i 行。記為 LT(i, j)。K 2 p2定理

40、一： 由 n 個(gè)長(zhǎng)方基磚 n = p1p2 組合而成的 n 階方陣，若： K ，1p 11K p2 ( p1 K 2 ) 其中：K1 = 0，1，p2 1；K2 = 0，1，p1 1；K1，K2 無(wú)同時(shí)為零1p 11的整數(shù)解，即 p2 與 p1 + 1，p1 1 無(wú)公因子，則該方陣為廣義全等和拉（全等和）。證明：（1）根據(jù)長(zhǎng)方基磚定義，任一行各數(shù)和均相等，所以由長(zhǎng)方基磚組合而成的 n階方陣任一行各數(shù)和均等于 S 1 n(n 1) 。2長(zhǎng)方基磚組合的 n 階方陣，任一列都是由 1，2，3，n 的一種排列，所以任一列各數(shù)和均相等， S 1 n(n 1) 。2現(xiàn)證明 n 階方陣左，右泛對(duì)角線上的各數(shù)

41、均是由 1，2，3，n 的一種排列。無(wú)重復(fù)數(shù)出現(xiàn)。 證明如下： 在 n 階方陣左上角長(zhǎng)方基磚內(nèi)任取一數(shù) L(i1, j1)，則該數(shù)在 n 階方陣內(nèi)共有 n 個(gè)。 其位置為 L(i1 + K1 p1, j1 + K1 + K2 p2)。與 L(i1, j1)同在左泛對(duì)角線位置上的各數(shù)為：L(i1 + L, j1 + L)與 L(i1, j1)同在右泛對(duì)角線位置上的各數(shù)為 L(i1 + L, j1 + n L)（注：從上而下，從右至左的泛對(duì)角線為右泛對(duì)角線。從上而下，從左至右的泛對(duì)角線為左泛對(duì)角線。）。（i）若 L(i1, j1)在左泛對(duì)角線上存在重復(fù)數(shù)，則有：L(i1 + K1 p1, j1 +

42、 K1 + K2 p2) = L(i1 + L, j1 + L)，i1 + K1 p1 = i1 + L， j1 + K1 + K2 p2 = j1 + L，K 2 p2解得： K 1p 11其中 K1 = 0，1，p2 1；K2 = 0，1，p1 1。278127834563456812781276345634578127812563456342781278634563345681276345781256342781345612783456127834561278（ii）若 L(i1, j1)在右泛對(duì)角線上存在重復(fù)數(shù)，則有：L(i1 + K1 p1, j1 + K1 + K2 p2) = L

43、(i1 + L, j1 + n L)，i1 + K1 p1 = i1 + L，j1 + K1 + K2 p2 = j1 + n L，p2 ( p1 K 2 )解得： K 1p 11其中 K1 = 0，1，p2 1；K2 = 0，1，p1 1。若方程，中 K1，K2 無(wú)同時(shí)為零的整數(shù)解，則說(shuō)明與 L(i1, j1)相同的其它數(shù) L(i1 + K1 p1, j1 + K1 + K2 p2)，都不在 L(i1, j1)的左右對(duì)角線 L(i1 + L, j1 + L)，L(i1 + L, j1 + n L)上。即在 L(i1, j1)的左，右泛對(duì)角線上無(wú)重復(fù)數(shù)出現(xiàn)。是由 1，2，3，n 的一種排列，其

44、和S 1 n(n 1) 。證畢。2推論 1：n 為奇數(shù)，由 n = p1p2 長(zhǎng)方基磚組合而成的 n 階方陣， 當(dāng) p1 小于或等于 p2 中的最小素?cái)?shù)，p2 與 p1 + 1，p1 1 無(wú)公約數(shù)，則 K1，K2 無(wú)同時(shí)為零的整數(shù)解，該方陣為 n 階廣義全等和拉。K 2 p2證明：（i） K （左泛對(duì)角線），K1 = 0，1，p2 1；K2 = 0，1，p1 1。1p 11當(dāng) K2 = 0 時(shí) K1 = 0，當(dāng) K2 = p1 1 時(shí)，K1 = p2，與 K1 = 0，1，p2 1 相，當(dāng) K2 p1K 2 1，因 p1 小于或等于 p2 中最小素?cái)?shù)，p2 與 p1 1 無(wú)公約數(shù)。所以 K1

45、與 K2 1 時(shí)，p1 1無(wú)不同時(shí)為零的整數(shù)解。則方陣左泛對(duì)角線上各數(shù)，不存在重復(fù)數(shù)。（ii） K p2 ( p1 K 2 ) （右泛對(duì)角線），K1 = 0，1，p2 1；K2 = 0，1，p1 1。1p 11p2當(dāng)取 K2 = p1 1 時(shí)，K ，因 p2 為奇數(shù)，p1 + 1 為偶數(shù)，所以 K1 無(wú)整數(shù)解。當(dāng)取 K2 3, n 為奇數(shù)時(shí)及完美幻方舉例（1）n 為素?cái)?shù)，例 n = 7，長(zhǎng)方基磚為一行。G(i, j)LT(i, j)L(i, j)192753536427531642123456734573456412345677 階完美幻方 H(i, j)（2）n 為素?cái)?shù)平方，例 n = 25

46、，長(zhǎng)方基磚為 5 行 5 列。G(i, j)L(i, j)豎向五個(gè)長(zhǎng)方塊內(nèi)的數(shù)分布均一樣25 階廣義全等和拉轉(zhuǎn)置正交方陣 LT(i, j)由上表五層相同的數(shù)組成。201152303454605251713224736241917031646761813164315461612715830946060632183334485506261773284795055019634749852444195341492518381893404865126321436538653757208359385531512023533795307522137239854969220366392543942452664

47、175688823926541156282233259410556762724235745806012153304455625211723234746192016631746861314165311462607815931045650733184335481501271783294805254619734849951945191342493513391903364875386421536138753258209360381526522033543805507122237339954470216367393569952412674185638924026141255783234260406551

48、772282544055759624727342443045160231543054756212217332446962016167318463614151613124576089160306482508341853314765022817933050052147198349494520411923434885144018633738853965211362382533592103563765275320435540054672223374394545662173684195709124226841356490236262407558842352564015527822925542557197

49、248274595116426577103129280301452603415532547162223174319470616171683134646151116230745860910156332483509351813264775032918035049652248199344495516421933384895153618712345252122232491067891061910612345252122232425212223249106123451713192528142021391723561218241131823354045374951015273224294146214191

50、1473820253042343944712172221263136484925 階完美幻方 H(i, j)（3）n = p1p2，p1 為 n 中最小素?cái)?shù)，p2 為任意奇數(shù)，例 n = 27：G(i, j)262726713481617591011122526242671348161759101112252324267134816175910111222232426713數(shù)的分布同左數(shù)的分布同左11122526272324267134816101112252627232426723242623242481627 階廣義全等和拉L(i, j)21262726713481617181920213

51、633895406121235738353460206351377528542053753965477322436939554167218269420566922432634145658623725740855985231251402553792302754215729824944559111742757810413015130245360451753214726232416932046661718163314465611121573084596106182333484510311763274785043020034649752349194345491517431883394905113721

52、33643905366220735838453556201352378529552253713975487421937039154268244270416567932382644155618723225840956081226252403554802502714225739910512327 24 21 26 23 20 25 22856456412327 24 21 26 23 20 25 228978525 22856412327 24 21 26 23 2026 23 20 25 22856412327 24 2127 24 21 26 23 20 25 228564123數(shù)的分布同上數(shù)

53、的分布同上27 階廣義全等和拉轉(zhuǎn)置正交方陣 LT(i, j)作 27 階完美幻方，其幻和為 9855，以紀(jì)念中國(guó)幻方研究者月 5 日。成立1998 年 5Bn 為雙偶數(shù)n = 4p，p 不含 3 因子的正整數(shù)。例 p = 16，長(zhǎng)方基磚為 2 行 8 列。G(i, j)L(i, j)22123489101112161234891011151612348910數(shù)分布同左91011125678489101112567348910111256234891011125123489101112LT(i, j)121486020721923825021522624666232180728310311413

54、8157169273249424355519421422524521817418677891001201431552231932132402522172282483233454142889911951199210230241532446320322223425392040116140931054557196216227247222335320822023925114261101221418798118129913143622022212332448193950198209229256129610812713516 階完美幻方Cn 為雙偶數(shù) n = 4p，p 為含 3 因子的正整數(shù)。由特殊長(zhǎng)方基

55、磚組成廣義全等和拉及正交方陣，完美幻方。特殊長(zhǎng)方基磚的編制留給讀者探索， 現(xiàn)給 n =24 階的完美幻方。2317551442911055085662912750246872853044778112525563442984032251963261492711903483842484103033902322133231642821713493612574315745424377911851657632122495462642153945290995175534114349047542229339123820433615226618334237626141930840221920531316128

56、717835536924446370125524407411151056845135294499510652356128134485252432296386231198328165275188354363253409305407226211321148278173343382488458636544453831165225553712149747958195374368610151157436144375246424303473802584113013852332153221632731723503652474303004082241943271234934576523538451811005

57、185573125434388811751557218133737726341830739322020631715128618036036824242329440023720333214533439941085285602611548450751095052741873453642544132954062282163201462791743523812514283063872291933291254874786024536434871025205733515454558211516121514837261516121511612數(shù)分布同上24 階完美幻方至此，當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，n 為雙偶數(shù)（n

58、 不含 3 的因子時(shí)），可以由長(zhǎng)方基磚廣義全等及其正交方陣，進(jìn)而完美幻方，當(dāng) n 為雙偶數(shù)且含 3 的因子時(shí)，可由特殊長(zhǎng)方和拉基磚組成廣義全等和拉值得一游。及正交方陣，完美幻方，現(xiàn)留給讀者探索，那里別有洞天，采用長(zhǎng)方基磚進(jìn)行巧妙的組合，不論是素?cái)?shù)，奇數(shù)及雙偶數(shù)都可編成 n 階完美幻方，其方法簡(jiǎn)單，都可以通過(guò)計(jì)算程序，計(jì)算出方陣中所有數(shù)的分布。完美幻方的變換及構(gòu)造完美幻方（兼對(duì)稱）長(zhǎng)方基磚上的數(shù)位置變動(dòng)，行與行交換位置都可以得到新的完美幻方。進(jìn)一步研究表明：變換長(zhǎng)方基磚數(shù)的分布，可構(gòu)造完美幻方（兼對(duì)稱）。1、n = 3k，k 是奇數(shù)時(shí)，長(zhǎng)方基磚組合完美幻方（兼對(duì)稱）n = 9n =n = 21n

59、 = 27n = 33上面的長(zhǎng)方基磚可按照以下公式求得（證明略）： gji) Gji k 1) ，其中 i = 1，2，224671582493911710153569111316213575912481167101621232628312427303224710141868111315826917535837226441629039922220833315528418633937324142531139423520131610352656448128482471541654944392114507565259532446773241682721703513662564292994042341

60、953251452811913463792494123023892232148098519558403541433891195145713312449446155225404562073181602851793563782434212894012392023311532681823413672624203123922184489310752457027105474417611050955946330147277169353383250427297388230197319166276192344362255414304405546435859752157534553545484120512554